数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|MAT322 Nonlinear Boundary Value Problems

如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equation MAT322这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中,常微分方程(ODE)是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能涉及一个以上的独立变量。

常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中,线性微分方程起着突出的作用,原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解(见整体函数)。当用非线性方程对物理现象进行建模时,一般用线性微分方程来近似,以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE,一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的(见,例如Riccati方程)。

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Theorem $32.3$ provides necessary and sufficient conditions for the existence of a unique solution to the linear boundary value problem (6.6), (32.1). Unfortunately, this result depends on the explicit knowledge of two linearly independent solutions $y_1(x)$ and $y_2(x)$ to the homogeneous DE (6.1), which may not always be available. The purpose of this and the following lecture is to provide easily verifiable sets of sufficient conditions so that the second-order nonlinear DE
$$
y^{\prime \prime}=f(x, y)
$$
together with the boundary conditions (32.3) has at least and/or at most one solution.

We begin with the following examples which indicate possible difficulties that may arise in nonlinear problems.
Example 40.1. The boundary value problem
$$
y^{\prime \prime}=b e^{a y}, \quad y(0)=y(1)=0
$$
arises in applications involving the diffusion of heat generated by positive temperature-dependent sources. For instance, if $a=1$, it arises in the analysis of Joule losses in electrically conducting solids, with $b$ representing the square of the constant current and $e^y$ the temperature-dependent resistance, or in frictional heating with $b$ representing the square of the constant shear stress and $e^y$ the temperature dependent fluidity.
If $a b=0$, the problem (40.2) has a unique solution:
(i) If $b=0$, then $y(x) \equiv 0$.
(ii) If $a=0$, then $y(x)=(b / 2) x(x-1)$.
If $a b<0$, the problem (40.2) has as many solutions as the number of roots of the equation $c=\sqrt{2|a b|} \cosh c / 4$, and also for each such $c_i$, the solution is
$$
y_i(x)=-\frac{2}{a}\left{\ln \left(\cosh \left(\frac{1}{2} c_i\left(x-\frac{1}{2}\right)\right)\right)-\ln \left(\cosh \left(\frac{1}{4} c_i\right)\right)\right} .
$$

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Picard’s method of successive approximations for the initial value problems discussed in Lecture 8 is equally useful for the boundary value problem $(40.1)$, (32.3). For this, from Problem $33.7$ we note that this problem is equivalent to the integral equation
$$
y(x)=\ell(x)+\int_\alpha^\beta G(x, t) f(t, y(t)) d t,
$$
where
$$
\ell(x)=\frac{(\beta-x)}{(\beta-\alpha)} A+\frac{(x-\alpha)}{(\beta-\alpha)} B
$$
and the Green’s function $G(x, t)$ is defined in (33.25).
The following result provides sufficient conditions on the function $f(x, y)$ so that the sequence $\left{y_m(x)\right}$ generated by the iterative scheme
$$
\begin{aligned}
y_0(x) &=\ell(x) \
y_{m+1}(x) &=\ell(x)+\int_\alpha^\beta G(x, t) f\left(t, y_m(t)\right) d t, \quad m=0,1,2, \ldots
\end{aligned}
$$
converges to the unique solution of the integral equation (41.1).
Theorem 41.1. Suppose that the function $f(x, y)$ is continuous and satisfies a uniform Lipschitz condition (7.3) in $[\alpha, \beta] \times \mathbb{R}$, and in addition
$$
\theta=\frac{1}{8} L(\beta-\alpha)^2<1 .
$$
Then the sequence $\left{y_m(x)\right}$ generated by the iterative scheme (41.3) converges to the unique solution $y(x)$ of the boundary value problem (40.1), (32.3). Further, for all $x \in[\alpha, \beta]$ the following error estimate holds:
$$
\left|y(x)-y_m(x)\right| \leq \frac{\theta^m}{1-\theta} \max {\alpha \leq x \leq \beta}\left|y_1(x)-y_0(x)\right|, \quad m=0,1,2, \ldots . $$ Proof. From (41.3) it is clear that the successive approximations $y_m(x)$ exist as continuous functions in $[\alpha, \beta]$. We need to prove that $$ \left|y{m+1}(x)-y_m(x)\right| \leq \theta^m \max _{\alpha \leq x \leq \beta}\left|y_1(x)-y_0(x)\right|
$$

When $m=1,(41.3)$ gives
$$
\begin{aligned}
\left|y_2(x)-y_1(x)\right| & \leq \int_\alpha^\beta|G(x, t)|\left|f\left(t, y_1(t)\right)-f\left(t, y_0(t)\right)\right| d t \
& \leq L \int_\alpha^\beta|G(x, t)|\left|y_1(t)-y_0(t)\right| d t \
& \leq L \max {\alpha \leq x \leq \beta}\left|y_1(x)-y_0(x)\right| \int\alpha^\beta|G(x, t)| d t \
& \leq \frac{1}{8} L(\beta-\alpha)^2 \max {\alpha \leq x \leq \beta}\left|y_1(x)-y_0(x)\right| \end{aligned} $$ where we have used the Lipschitz condition and Problem 33.7. Thus, (41.6) holds for $m=1$. Now let (41.6) be true for $m=k \geq 1$; then from (41.3), we have $$ \begin{aligned} \left|y{k+2}(x)-y_{k+1}(x)\right| & \leq \int_\alpha^\beta|G(x, t)|\left|f\left(t, y_{k+1}(t)\right)-f\left(t, y_k(t)\right)\right| d t \
& \leq L \int_\alpha^\beta|G(x, t)|\left|y_{k+1}(t)-y_k(t)\right| d t \
& \leq L \theta^k \max {\alpha \leq x \leq \beta}\left|y_1(x)-y_0(x)\right| \int\alpha^\beta|G(x, t)| d t \
& \leq \frac{1}{8}(\beta-\alpha)^2 \theta^k \max {\alpha \leq x \leq \beta}\left|y_1(x)-y_0(x)\right| \ & \leq \theta^{k+1} \max {\alpha \leq x \leq \beta}\left|y_1(x)-y_0(x)\right|
\end{aligned}
$$

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常微分方程代写

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定理 $32.3$ 为线性边值问题 (6.6), (32.1) 的唯一解的存在提供了必要和充分条件。不幸的是, 这个结果依赖于 两个线性独立解的显式知识 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 到可能并不总是可用的同质 DE (6.1)。本课和下一课的目的是提 供易于验证的充分条件集, 以便二阶非线性 DE
$$
y^{\prime \prime}=f(x, y)
$$
与边界条件 (32.3) 一起具有至少和/或至多一个解。
我们从以下示例开始,这些示例表明非线性问题中可能出现的困难。
例 40.1。边值问题
$$
y^{\prime \prime}=b e^{a y}, \quad y(0)=y(1)=0
$$
在涉及由正温度相关源产生的热黑扩散的应用中出现。例如, 如果 $a=1$, 它出现在导电固体中焦耳损失的 分析中, 其中 $b$ 表示恒定电流的平方和 $e^y$ 与温度相关的电阻, 或在摩擦加热中 $b$ 表示恒定剪应力的平方和 $e^y$ 随温度变化的流动性。
如果 $a b=0$, 问题 (40.2) 有一个唯一解:
(i) 如果 $b=0$ ,然后 $y(x) \equiv 0$.
(ii) 如果 $a=0$ ,然后 $y(x)=(b / 2) x(x-1)$.
如果 $a b<0$, 问题 (40.2) 的解与方程的根数一样多 $c=\sqrt{2|a b|} \cosh c / 4$, 并且对于每一个这样的 $c_i$, 解决 方案是

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第 8 课中讨论的初值问题的 Picard 逐次逼近法对边值问题同样有用(40.1), (32.3)。为此, 从问题33.7我 们注意到这个问题等价于积分方程
$$
y(x)=\ell(x)+\int_\alpha^\beta G(x, t) f(t, y(t)) d t,
$$
在哪里
$$
\ell(x)=\frac{(\beta-x)}{(\beta-\alpha)} A+\frac{(x-\alpha)}{(\beta-\alpha)} B
$$
和格林函数 $G(x, t)$ 在 (33.25) 中定义。
$$
y_0(x)=\ell(x) y_{m+1}(x) \quad=\ell(x)+\int_\alpha^\beta G(x, t) f\left(t, y_m(t)\right) d t, \quad m=0,1,2, \ldots
$$
收敛到积分方程 (41.1) 的唯一解。
定理 41.1。假设函数 $f(x, y)$ 是连续的并且满足一致的 Lipschitz 条件 $(7.3)[\alpha, \beta] \times \mathbb{R}$, 此外
$$
\theta=\frac{1}{8} L(\beta-\alpha)^2<1 .
$$
(32.3) 。此外,对于所有 $x \in[\alpha, \beta]$ 以下误差估计成立:
$$
\left|y(x)-y_m(x)\right| \leq \frac{\theta^m}{1-\theta} \max \alpha \leq x \leq \beta\left|y_1(x)-y_0(x)\right|, \quad m=0,1,2, \ldots .
$$
证明。从 (41.3) 可以清楚地看出, 逐次逼近 $y_m(x)$ 作为连续函数存在于 $[\alpha, \beta]$. 我们需要证明
$$
\left|y m+1(x)-y_m(x)\right| \leq \theta^m \max {\alpha \leq x \leq \beta}\left|y_1(x)-y_0(x)\right| $$ 什么时候 $m=1,(41.3)$ 给 $$ \left|y_2(x)-y_1(x)\right| \leq \int\alpha^\beta|G(x, t)|\left|f\left(t, y_1(t)\right)-f\left(t, y_0(t)\right)\right| d t \quad \leq L \int_\alpha^\beta|G(x, t)|\left|y_1(t)-y_0(t)\right|-d t
$$
这里我们使用了 Lipschitz 条件和问题 33.7。因此, (41.6) 成立 $m=1$. 现在让 (41.6) 为真 $m=k \geq 1$; 然后从 (41.3), 我们有
$$
\left|y k+2(x)-y_{k+1}(x)\right| \leq \int_\alpha^\beta|G(x, t)|\left|f\left(t, y_{k+1}(t)\right)-f\left(t, y_k(t)\right)\right| d t \quad \leq L \int_\alpha^\beta|G(x, t)| \mid y_{k+1}(t)
$$

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微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



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什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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