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2 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|BESSEL FUNCTIONS OF INTEGRAL ORDERS

3 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Generating function

4 常微分方程代写

4.1 数学代写常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|BESSEL FUNCTIONS OF INTEGRAL ORDERS

4.2 数学代写常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Generating function

如果你也在怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equation MA26600这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中，常微分方程（ODE）是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能涉及一个以上的独立变量。

常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中，线性微分方程起着突出的作用，原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解（见整体函数）。当用非线性方程对物理现象进行建模时，一般用线性微分方程来近似，以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE，一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的（见，例如Riccati方程）。

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数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|MA26600 BESSEL FUNCTIONS OF INTEGRAL ORDERS

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|BESSEL FUNCTIONS OF INTEGRAL ORDERS

If $n$ is an integer or zero, in (4.2) the contributions to the integral by $L(-\infty,-1)$ and $L(-1,-\infty)$ cancel each other, and we get
$$
J_n(z)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{K(0 ; 1)} u^{-n-1} e^{\frac{z}{2}}\left(u-\frac{1}{u}\right) d u
$$
for $\operatorname{Re}{z}>0$ but continues to hold for all values of $z$ since both sides are analytic in the whole $z$-plane as $n$ is integral.
Now the unit circle $K(0 ; 1)$ is given by $u(\theta)=e^{i \theta} \quad(\theta \in[-\pi, \pi])$. Then $u^{\prime}(\theta)=i e^{i \theta}, u(\theta)-1 / u(\theta)=2 i \sin \theta$ and (5.1) transforms to
$$
\begin{aligned}
J_n(z) &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-i n \theta+i z \sin \theta} d \theta \
&=\frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi e^{-i n \theta+i z \sin \theta} d \theta+\frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi e^{i n \theta-i z \sin \theta} d \theta
\end{aligned}
$$
or
$$
J_n(z)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \theta-z \sin \theta) d \theta
$$
which holds for all $z$ if $n$ is an integer or 0.This is called Bessel ‘s integral for $J_n(z)$ of integral order.

It follows from (5.2) that if $n$ is an integer or 0 and $x$ is real, then $\left|J_n(x)\right| \leq 1$.
Similarly, if $n$ is an integer or 0 , Schlaeli’s integral (4.3) simplifies to
$$
J_n(z)=\frac{z^n}{2^{n+1} \pi i} \oint_{K(0 ; 1)} t^{-n-1} e^{t-z^2 / 4 t} d t
$$

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Generating function

For any fixed $z$, the function $e^{\frac{z}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right)}$ is analytic in the whole $u$-plane except $u=0$, and hence by Laurent expansion theorem
$$
e^{\frac{z}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n u^n
$$
where
$$
a_n=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{K(0 ; 1)} u^{-n-1} e^{\frac{z}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right)} d u=J_n(z)
$$
by (5.1). Thus we have the following result.
Theorem 5.1 For any fixed value of $z$,
$$
e^{\frac{z}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(z) u^n
$$
which holds in the whole $u$-plane except $u=0$.
Definition 5.1 The function $e^{\frac{z}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right)}$, where $z$ is any fixed complex number, is called the generating function for Bessel functions $J_n(z)$ of integral orders.
Some useful relations
If $n$ is an integer or zero,
(5.5) $J_n(-z)=J_{-n}(z)=(-1)^n J_n(z)$
which is obvious.
We shall prove the following relations.
(5.6) $\quad \dot{1}=J_0+2 \sum_{k=1}^{\infty} J_{2 k}$
(5.7) $\quad z=2 \sum_{k=0}^{\infty}(2 k+1) J_{2 k+1}$
(5.8) $\quad 1=J_0^2+2 \sum_{n=1}^{\infty} J_n^2$
(5.9) $\quad J_n\left(z+z^{\prime}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} J_m(z) J_{n-m}\left(z^{\prime}\right)$
where $J_n=J_n(z)$.

常微分方程代写

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如果 $n$ 是整数或雺, 在 (4.2) 中对积分的贡献为 $L(-\infty,-1)$ 和 $L(-1,-\infty)$ 互相取消, 我们得到
$$
J_n(z)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{K(0 ; 1)} u^{-n-1} e^{\frac{z}{2}}\left(u-\frac{1}{u}\right) d u
$$
为了 $\operatorname{Re} z>0$ 但继续保持所有的价值 $z$ 因为双方在整体上都是分析的 $z$-平面为 $n$ 是积分。
现在单位圆 $K(0 ; 1)$ 是 (谁) 给的 $u(\theta)=e^{i \theta} \quad(\theta \in[-\pi, \pi])$. 然后
$u^{\prime}(\theta)=i e^{i \theta}, u(\theta)-1 / u(\theta)=2 i \sin \theta$ 和 (5.1) 转换为
$J_n(z)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-i n \theta+i z \sin \theta} d \theta \quad=\frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi e^{-i n \theta+i z \sin \theta} d \theta+\frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi e^{i n \theta-i z \sin \theta} d \theta$
或者
$$
J_n(z)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \theta-z \sin \theta) d \theta
$$
这适用于所有人 $z$ 如果 $n$ 是整数或 0。这称为 Bessel 积分 $J_n(z)$ 的积分顺序。
从 (5.2) 可以得出, 如果 $n$ 是整数或 0 并且 $x$ 是真实的, 那么 $\left|J_n(x)\right| \leq 1$.
同样, 如果 $n$ 是整数或 0, Schlaeli 积分 (4.3) 简化为
$$
J_n(z)=\frac{z^n}{2^{n+1} \pi i} \oint_{K(0 ; 1)} t^{-n-1} e^{t-z^2 / 4 t} d t
$$

数学代写常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Generating function

对于任何固定 $z$, 功能 $e^{\frac{2}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right)}$ 是整体分析的 $u$ – 平面除外 $u=0$, 因此由 Laurent展开定理
$$
e^{\frac{z}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n u^n
$$
在哪里
$$
a_n=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{K(0 ; 1)} u^{-n-1} e^{\frac{2}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right)} d u=J_n(z)
$$
由(5.1)。因此我们有以下结果。
定理 $5.1$ 对于任何固定值 $z$,
$$
e^{\frac{z}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(z) u^n
$$
这在整体上成立 $u$ – 平面除外 $u=0$.
定义 $5.1$ 函数 $e^{\frac{x}{2}\left(u-\frac{1}{v}\right)}$, 在哪里 $z$ 是任何固定的复数, 称为贝塞尔函数的生成函数 $J_n(z)$ 积分订单。
一些有用的关系
如果 $n$ 是整数或零，
(5.5) $J_n(-z)=J_{-n}(z)=(-1)^n J_n(z)$
这是显而易见的。
我们将掯明以下关系。

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机器学习（ML）是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关，统计学专注于使用计算机进行预测，但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。

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统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多，包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。