数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|ENEM28001 Central Difference Algorithm

如果你也在 怎样代写有限元Finite Element Method ENEM28001个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。有限元Finite Element Method是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元Finite Element Method是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|ENEM28001 Central Difference Algorithm

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Central Difference Algorithm

We first write the system equation in the form
$$
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{D}}=\mathbf{F}-[\mathbf{C D}+\mathbf{K D}]=\mathbf{F}-\mathbf{F}^{\mathrm{int}}=\mathbf{F}^{\text {residual }}
$$
where $\mathbf{F}^{\text {residual }}$ is the residual force vector, and
$$
\mathbf{F}^{\text {int }}=[\mathbf{C D}+\mathbf{K D}]
$$
is defined as the internal force at time $t$. The acceleration, $\ddot{\mathbf{D}}$, can be simply obtained by
$$
\ddot{\mathbf{D}}=\mathbf{M}^{-1} \mathbf{F}^{\text {residual }}
$$
In practice, the above equation does not usually require solving of the matrix equation, since lumped masses are usually used which forms a diagonal mass matrix [Petyt, 1990].

The solution to Eq. (3.110) is thus trivial, and the matrix equation is the set of independent equations for each degree of freedom $i$ as follows:
$$
d_i=\frac{f_i^{\text {residual }}}{m_i}
$$
where $f_i^{\text {residual }}$ is the residual force, and $m_i$ is the lumped mass corresponding to the $i$ th DOF.
We now introduce the following finite central difference equations:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{D}{t+\Delta t} &=2(\Delta t) \dot{\mathbf{D}}_t+\mathbf{D}{t-\Delta t} \
\dot{\mathbf{D}}{t+\Delta t} &=2(\Delta t) \ddot{\mathbf{D}}_t+\dot{\mathbf{D}}{t-\Delta t} \
\ddot{\mathbf{D}}t &=\frac{1}{(\Delta t)^2}\left(\mathbf{D}{t+\Delta t}-2 \mathbf{D}t+\mathbf{D}{t-\Delta t}\right)
\end{aligned}
$$
By eliminating $\mathbf{D}{t+\Delta t}$ from Eqs. (3.112) and (3.114), we have $$ \mathbf{D}{t-\Delta t}=\mathbf{D}t-(\Delta t) \dot{\mathbf{D}}_t+\frac{(\Delta t)^2}{2} \ddot{\mathbf{D}}_t $$ To explain the time stepping procedure, refer to Figure $3.5$, which shows an arbitrary plot of either displacement or velocity against time. The time stepping/marching procedure in the central difference method starts at $t=0$, and computes the acceleration $\ddot{\mathbf{D}}_0$ using Eq. (3.110): $$ \ddot{\mathbf{D}}_0=\mathbf{M}^{-1} \mathbf{F}_0^{\text {residual }} $$ For given initial conditions, $\mathbf{D}_0$ and $\dot{\mathbf{D}}_0$ are known. Substituting $\mathbf{D}_0, \dot{\mathbf{D}}_0$ and $\ddot{\mathbf{D}}_0$ into Eq. (3.115), we find $\mathbf{D}{-\Delta t}$. Considering a half of the time step and using the central difference equations $(3.112)$ and $(3.113)$, we have
$$
\begin{aligned}
&\mathbf{D}{t+\Delta t / 2}=(\Delta t) \dot{\mathbf{D}}_t+\mathbf{D}{t-\Delta t / 2} \
&\dot{\mathbf{D}}{t+\Delta t / 2}=(\Delta t) \ddot{\mathbf{D}}_t+\dot{\mathbf{D}}{t-\Delta t / 2}
\end{aligned}
$$
The velocity, $\dot{\mathbf{D}}{-\Delta t / 2}$ at $t=-\Delta t / 2$ can be obtained by Eq. (3.117) by performing the central differencing at $t=-\Delta t / 2$ and using values of $\mathbf{D}{-\Delta t}$ and $\mathbf{D}0$ : $$ \dot{\mathbf{D}}{-\Delta t / 2}=\frac{\mathbf{D}0-\mathbf{D}{-\Delta t}}{(\Delta t)}
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Newmark’s Method (Newmark, 1959)

Newmark’s method is the most widely used implicit algorithm. The example software used in this book, ABAQUS, also uses the Newmark’s method as its implicit solver except that the equilibrium equation defined in Eq. (3.106) is modified with the introduction of an operator defined by Hilber, Hughes and Taylor [1978]. In this book, we will introduce the standard Newmark’s method as follows. It is first assumed that
$$
\begin{aligned}
\mathbf{D}{t+\Delta t} &=\mathbf{D}_t+(\Delta t) \dot{\mathbf{D}}_t+(\Delta t)^2\left[\left(\frac{1}{2}-\beta\right) \ddot{\mathbf{D}}_t+\beta \ddot{\mathbf{D}}{t+\Delta t}\right] \
\dot{\mathbf{D}}{t+\Delta t} &=\dot{\mathbf{D}}_t+(\Delta t)\left[(1-\gamma) \ddot{\mathbf{D}}_t+\gamma \ddot{\mathbf{D}}{t+\Delta t}\right]
\end{aligned}
$$
where $\beta$ and $\gamma$ are constants chosen by the analyst. Equations (3.122) and (3.123) are then substituted into the system equation (3.106) to give
$$
\begin{aligned}
\mathbf{K} &\left{\mathbf{D}t+(\Delta t) \dot{\mathbf{D}}_t+(\Delta t)^2\left[\left(\frac{1}{2}-\beta\right) \ddot{\mathbf{D}}_t+\beta \ddot{\mathbf{D}}{t+\Delta t}\right]\right} \
&+\mathbf{C}\left{\dot{\mathbf{D}}t+(\Delta t)\left[(1-\gamma) \ddot{\mathbf{D}}_t+\gamma \ddot{\mathbf{D}}{t+\Delta t}\right]\right}+\mathbf{M} \ddot{\mathbf{D}}{t+\Delta t}=\mathbf{F}{t+\Delta t}
\end{aligned}
$$
If we group all the terms involving $\ddot{\mathbf{D}}{t+\Delta t}$ on the left and shift the remaining terms to the right, we can write where $$ \begin{aligned} &\mathbf{K}{\mathrm{cm}} \ddot{\mathbf{D}}{t+\Delta t}=\mathbf{F}{t+\Delta t}^{\text {residual }} \
&=\left[\mathbf{K} \beta(\Delta t)^2+\mathbf{C} \gamma \Delta t+\mathbf{M}\right]
\end{aligned}
$$
and
$$
\begin{aligned}
\mathbf{F}{t+\Delta t}^{\text {residual }}=& \mathbf{F}{t+\Delta t}-\mathbf{K}\left{\mathbf{D}t+(\Delta t) \dot{\mathbf{D}}_t+(\Delta t)^2\left(\frac{1}{2}-\beta\right) \ddot{\mathbf{D}}_t\right} \ &-\mathbf{C}\left{\dot{\mathbf{D}}_t+(\Delta t)(1-\gamma) \ddot{\mathbf{D}}_t\right} \end{aligned} $$ The accelerations $\ddot{\mathbf{D}}{t+\Delta t}$ can then be obtained by solving matrix system equation (3.125):
$$
\ddot{\mathbf{D}}{t+\Delta t}=\mathbf{K}{\mathrm{cm}}^{-1} \mathbf{F}_{t+\Delta t}^{\text {residual }}
$$
Note that the above equation involves matrix inversion, and hence it is analogous to solving a matrix equation. This makes it an implicit method.

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|ENEM28001 Central Difference Algorithm

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Central Difference Algorithm

我们首先将系统方程写成形式
$$
\mathbf{M D}=\mathbf{F}-[\mathbf{C D}+\mathbf{K D}]=\mathbf{F}-\mathbf{F}^{\text {int }}=\mathbf{F}^{\text {residual }}
$$
在哪里 $\mathbf{F}^{\text {residual }}$ 是残余力向量, 并且
$$
\mathbf{F}^{\mathrm{int}}=[\mathbf{C D}+\mathbf{K D}]
$$
被定义为时间的内力 $t$. 加速度, $\ddot{\mathrm{D}}$, 可以简单地得到
$$
\ddot{\mathbf{D}}=\mathbf{M}^{-1} \mathbf{F}^{\text {residual }}
$$
在实践中, 上述方程通常不需要求解矩阵方程, 因为通常使用形成对角质量矩阵的集总质量 [Petyt, 1990]。
方程的解决方案。因此 (3.110) 是微不足道的,矩阵方程是每个自由度的独立方程组 $i$ 如下:
$$
d_i=\frac{f_i^{\text {residual }}}{m_i}
$$
在哪里 $f_i^{\text {residual }}$ 是残余力, 并且 $m_i$ 是对应于的集中质量 $i$ 自由度。
我们现在引入以下有限中心差分方程 :
$$
\mathbf{D} t+\Delta t=2(\Delta t) \dot{\mathbf{D}}_t+\mathbf{D} t-\Delta t \dot{\mathbf{D}} t+\Delta t \quad=2(\Delta t) \ddot{\mathbf{D}} t+\dot{\mathbf{D}} t-\Delta t \ddot{\mathbf{D}} t=\frac{1}{(\Delta t)^2}\left(\mathbf{D} t+\Delta t-2 \mathbf{D}^2\right.
$$
通过消除 $\mathrm{D} t+\Delta t$ 从方程式。(3.112) 和 (3.114), 我们有
$$
\mathbf{D} t-\Delta t=\mathbf{D} t-(\Delta t) \dot{\mathbf{D}}_t+\frac{(\Delta t)^2}{2} \ddot{\mathbf{D}}_t
$$
要解释时间步进过程, 请参阅图3.5, 它显示了位移或速度对时间的任意图。中心差分法中的时间步进/行进 过程开始于 $t=0$, 并计算加速度 $\ddot{\mathbf{D}}_0$ 使用方程式。 (3.110):
$$
\ddot{\mathbf{D}}_0=\mathbf{M}^{-1} \mathbf{F}_0^{\text {residual }}
$$
对于给定的祀始条件, $\mathbf{D}_0$ 和 $\dot{\mathbf{D}}_0$ 是已知的。替代 $\mathbf{D}_0, \dot{\mathbf{D}}_0$ 和 $\ddot{\mathbf{D}}_0$ 进入方程。(3.115), 我们发现 $\mathbf{D}-\Delta t$. 考虑 一半的时间步并使用中心差分方程 $(3.112)$ 和 $(3.113)$, 我们有
$$
\mathbf{D} t+\Delta t / 2=(\Delta t) \dot{\mathbf{D}}_t+\mathbf{D} t-\Delta t / 2 \quad \dot{\mathbf{D}} t+\Delta t / 2=(\Delta t) \ddot{\mathbf{D}}_t+\dot{\mathbf{D}} t-\Delta t / 2
$$
速度, $\dot{\mathrm{D}}-\Delta t / 2$ 在 $t=-\Delta t / 2$ 可以通过方程式获得。(3.117) 通过在 $t=-\Delta t / 2$ 并使用 $\mathrm{D}-\Delta t$ 和 $\mathbf{D} 0$ :
$$
\dot{\mathbf{D}}-\Delta t / 2=\frac{\mathbf{D} 0-\mathbf{D}-\Delta t}{(\Delta t)}
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Newmark’s Method (Newmark, 1959)

Newmark方法是底用最广泛的隐式算法。本书中使用的示例软件 ABAQUS 也使用 Newmark方法作为 其隐式求解器, 但方程中定义的平衡方程除外。(3.106) 通过引入由 Hilber、Hughes 和 Taylor [1978] 定 义的算子进行了修改。在本书中, 或们将介绍标准的纽马克方法如下。首先假设
$$
\mathbf{D} t+\Delta t=\mathbf{D}t+(\Delta t) \dot{\mathbf{D}}_t+(\Delta t)^2\left[\left(\frac{1}{2}-\beta\right) \ddot{\mathbf{D}}_t+\beta \ddot{\mathbf{D}} t+\Delta t\right] \dot{\mathbf{D}} t+\Delta t \quad \dot{\mathbf{D}}_t+(\Delta t)[(1-\gamma) $$ 在哪里 $\beta$ 和 $\gamma$ 是分析师选择的常数。然后将方程 (3.122) 和 (3.123) 代入系允方程 (3.106) 得到 如果我们将所有涉及的术语分组 $\ddot{\mathrm{D}} t+\Delta t$ 在左边并将剩余的顶向右移动, 我们可以写 where $$ \mathbf{K} c m \ddot{\mathbf{D}} t+\Delta t=\mathbf{F} t+\Delta t^{\text {residual }} \quad=\left[\mathbf{K} \beta(\Delta t)^2+\mathbf{C} \gamma \Delta t+\mathbf{M}\right] $$ 和 加速度 $\ddot{\mathrm{D}} t+\Delta t$ 然后可以通过求解矩阵系统方程 (3.125) 得到: $$ \ddot{\mathbf{D}} t+\Delta t=\mathbf{K c m}^{-1} \mathbf{F}{t+\Delta t}^{\text {residual }}
$$
请注意, 上述方程涉及矩阵求逆, 因此它类似于求解矩阵方程。这使它成为一种隐式方法。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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