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有限元Finite Element Method是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Element Matrices in the Local Coordinate System
Once the strain matrix $\mathbf{B}$ has been obtained, the stiffness matrix for truss elements can be obtained using Eq. (3.71) in the previous chapter:
$$
\mathbf{k}e=\int{V_e} \mathbf{B}^T \mathbf{c B} \mathrm{d} V=A_e \int_0^{l_e}\left[\begin{array}{c}
-1 / l_e \
1 / l_e
\end{array}\right] E\left[\begin{array}{ll}
-1 / l_e & 1 / l_e
\end{array}\right] \mathrm{d} x=\frac{A E}{l_e}\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \
-1 & 1
\end{array}\right]
$$
where $A$ is the area of the cross-section of the truss element. Note that the material constant matrix c reduces to the elastic modulus, $E$, for the one-dimensional truss element (see Eq. (2.39)). It is noted that the element stiffness matrix as shown in Eq. (4.15) is symmetrical. This confirms the proof given in Eq. (3.73). Making use of the symmetry of the stiffness matrix, only half of the terms in the matrix need to be evaluated and stored during computation.
The mass matrix for truss elements can be obtained using Eq. (3.75):
$$
\mathbf{m}e=\int{V_e} \rho \mathbf{N}^T \mathbf{N} \mathrm{d} V=A \rho l \int_0^{l_e}\left[\begin{array}{ll}
N_1 N_1 & N_1 N_2 \
N_2 N_1 & N_2 N_2
\end{array}\right] \mathrm{d} x=\frac{A \rho l_e}{6}\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \
1 & 2
\end{array}\right]
$$
Similarly, the mass matrix is found to be symmetrical. The nodal force vector for truss elements can be obtained using Eqs. (3.78), (3.79) and (3.81). Suppose the element is loaded by an evenly distributed force $f_x$ along the $x$-axis, and two concentrated forces $f_{\mathrm{s} 1}$ and $f_{s 2}$, respectively, at two nodes 1 and 2, as shown in Figure 4.1; the total nodal force vector becomes
$$
\mathbf{f}e=\int{V_e} \mathbf{N}^T f_b \mathrm{~d} V+\int_{S_e} \mathbf{N}^T f_s \mathrm{~d} S=f_x \int_0^{l_e}\left[\begin{array}{l}
N_1 \
N_2
\end{array}\right] \mathrm{d} x+\left{\begin{array}{l}
f_{s 1} \
f_{s 2}
\end{array}\right}=\left{\begin{array}{l}
f_x l_e / 2+f_{s 1} \
f_x l_e / 2+f_{s 1}
\end{array}\right}
$$
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Element Matrices in the Global Coordinate System
Element matrices in Eqs. (4.15), (4.16) and (4.17) were formulated based on the local coordinate system, where the $x$-axis coincides with the mid axis of the bar $1-2$, shown in Figure 4.1. In practical trusses, there are many bars of different orientations and at different locations. To assemble all the element matrices to form the global system matrices, a coordinate transformation has to be performed for each element to formulate its element matrix based on the global coordinate system for the whole truss structure. The following performs the transformation for both spatial and planar trusses.
Spatial trusses
Assume that the local nodes 1 and 2 of the element correspond to the global nodes $i$ and $j$, respectively, as shown in Figure 4.1. The displacement at a global node in space should have three components in the $X, Y$ and $Z$ directions, and numbered sequentially. For example, these three components at the $i$ th node are denoted by $D_{3 i-2}, D_{3 i-1}$ and $D_{3 i}$. The coordinate transformation gives the relationship between the displacement vector $\mathbf{d}_e$ based on the local coordinate system and the displacement vector $\mathbf{D}e$ for the same element, but based on the global coordinate system $X Y Z$ : $$ \mathbf{d}_e=\mathbf{T D}_e $$ where $$ \mathbf{D}_e=\left{\begin{array}{c} D{3 i-2} \
D_{3 i-1} \
D_{3 i} \
D_{3 j-2} \
D_{3 j-1} \
D_{3 j}
\end{array}\right}
$$
and $\mathbf{T}$ is the transformation matrix for the truss element, given by
$$
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cccccc}
l_{i j} & m_{i j} & n_{i j} & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & l_{i j} & m_{i j} & n_{i j}
\end{array}\right]e $$ in which $$ \begin{aligned} l{i j} &=\cos (x, X)=\frac{X_j-X_i}{l_e} \
m_{i j} &=\cos (x, Y)=\frac{Y_j-Y_i}{l_e} \
n_{i j} &=\cos (x, Z)=\frac{Z_j-Z_i}{l_e}
\end{aligned}
$$
are the direction cosines of the axial axis of the element. It is easy to confirm that
$$
\mathbf{T T}^T=\mathbf{I}
$$
where $\mathbf{I}$ is an identity matrix of $2 \times 2$. Therefore, matrix $\mathbf{T}$ is an orthogonal matrix. The length of the element, $l_e$, can be calculated using the global coordinates of the two nodes of the element by
$$
l_e=\sqrt{\left(X_j-X_i\right)^2+\left(Y_j-Y_i\right)^2+\left(Z_j-Z_i\right)^2}
$$
有限元代写
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Element Matrices in the Local Coordinate System
一旦应变矩阵 B已经获得, 桁架单元的刚度矩阵可以使用方程获得。(3.71)上一章：
在哪里 $A$ 是桁架单元的横截面面积。请注意, 材料常数矩阵 $\mathrm{c}$ 减少为弹性模荲, $E$, 对于一维桁架单元（见 公式 (2.39)）。需要注意的是, 单元刚度矩阵如方程式所示。(4.15) 是对称的。这证实了方程式中给出的 证明。(3.73)。利用刚度矩阵的对称性, 在计算过程中只需要计算和存储矩阵中的一半项。 桁架单元的质量矩阵可以使用方程式获得。(3.75):
类似地, 质荲矩阵被发现是对称的。桁架单元的节点力矢荲可以使用方程式获得。(3.78)、(3.79) 和 (3.81)。假设单元由均匀分布的力加载 $f_x$ 沿着 $x$ 轴和两个集中力 $f_{\mathrm{s} 1}$ 和 $f_{s 2}$, 分别在两个节点 1 和 2 , 如图 $4.1$ 所示; 总节点力向量变为
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Element Matrices in the Global Coordinate System
方程中的元素矩阵。(4.15)、(4.16)和(4.17)是基于局部坐标系制定的, 其中 $x$-轴与条的中轴重合 $1-2$, 如 图 $4.1$ 所示。在实际㭖架中, 有许多不同方向和不同位置的钢筋。为了将所有单元矩阵组装成全局系统矩 阵, 必须对每个单元进行坐标变换, 以基于整个桁架结构的全局坐标系来制定其单元矩阵。下面执行空间和 平面桁架的变换。
空间㭖架
假设单元的局部节点 1 和 2 对应于全局节点 $i$ 和 $j$, 分别如图 $4.1$ 所示。空间中全局节点处的位移应具有三个 分量 $X, Y$ 和 $Z$ 方向, 并按顺序编号。例如, 这三个组件在 $i$ th 节点表示为 $D_{3 i-2}, D_{3 i-1}$ 和 $D_{3 i}$. 坐标变换给 出了位移矢荲之间的㚏系 $\mathbf{d}e$ 基于局部坐标系和位移矢荲 $\mathrm{D} e$ 对于相同的元素, 但基于全局坐标系 $X Y Z:$ $$ \mathbf{d}_e=\mathbf{T D}_e $$ 在呢里 $\backslash$ mathbf ${\mathrm{D}}$ _e $=\backslash$ left $\left{\backslash\right.$ begin ${a r r a y}{c} \quad D{3 \mathrm{i}-2} \backslash D{-}{3 \mathrm{i}-1} \backslash D_{-}{3 \mathrm{i}} \backslash D_{-}{3 \mathrm{j}-2} \backslash D_{-}{3 \mathrm{j}-1} \backslash D_{-}{3 \mathrm{j}} \backslash \mathrm{end}{$ 数组 $} \backslash$ right $}$
和 $\mathbf{T}$ 是桁架单元的变换矩阵, 由下式给出
其中
$$
l i j=\cos (x, X)=\frac{X_j-X_i}{l_e} m_{i j} \quad=\cos (x, Y)=\frac{Y_j-Y_i}{l_e} n_{i j}=\cos (x, Z)=\frac{Z_j-Z_i}{l_e}
$$
是单元轴的方向余弦。很穼易确认
$$
\mathrm{T}^T=\mathbf{I}
$$
在哪里 $\mathbf{I}$ 是一个单位矩阵 $2 \times 2$. 因此, 矩阵 $\mathbf{T}$ 是一个正交矩阵。元責的长度, $l_e$, 可以使用元責的两个节点 的全局坐标计算
$$
l_e=\sqrt{\left(X_j-X_i\right)^2+\left(Y_j-Y_i\right)^2+\left(Z_j-Z_i\right)^2}
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。