如果你也在 怎样代写数论Number theory MATH2301学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|The Linear Equation ax+b y=c
Before describing the Diffie-Hellman method, we need to investigate the multiplicative structure of $\mathbb{Z}_p$ where $p$ is prime. Fermat’s Theorem tells us that if $a$ is a non-zero element of $\mathbb{Z}_p$, the integers modulo $p$, then $a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$. A question is: Is $p-1$ the smallest exponent on $a$ for which the reduced answer is 1? Let’s look at a couple of examples.
Example 6.2. (a) For each non-zero element $a$ of $\mathbb{Z}{11}$, the following chart shows the smallest power $k$ for which $a^k \equiv 1(\bmod 11)$ : \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} $a$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \ \hline$k$ & 1 & 10 & 5 & 5 & 5 & 10 & 10 & 10 & 5 & 2. \end{tabular} We see then that four of the ten non-zero elements $(2,6,7$ and 8) of $\mathbb{Z}{11}$ need to be raised all the way to the 10 -th power to get to 1 . Such an element will be called a primitive root of $\mathbb{Z}_{11}$ (see the general definition below). We also note that the number of primitive roots here, namely 4 , is given by $\phi(11-1)=4(\phi$ of course being Euler’s Function). This will in fact be true in general: the number of primitive roots of the prime $p$ is $\phi(p-1)$. Hence we have a way of counting how many primitive roots there are in $\mathbb{Z}_p$, but not necessarily an easy way to identify which elements they are.
数学代写|数论代写Number Theory代考|The Linear Equation ax+b y=c
We first consider the simplest Diophantine equation, namely a linear equation where we seek integers $x$ and $y$ so that for given integers $a, b, c$, we have $a x+b y=c$. The problem is rather trivial if one of $a$ or $b$ is 0 . For example if $a=0$, then the equation $b y=c$ has an integer solution if and only if $b$ divides $c$. Hence we assume that neither $a$ nor $b$ is zero. If $d=\operatorname{gcd}(a, b)$, the greatest common divisor of the integers $a$ and $b$, then the above linear equation has no solution if $d$ does not divide $c$ since $d$ clearly does divide $a x+b y$.
Suppose then that $d=\operatorname{gcd}(a, b)$ divides $c$. We can now use the following procedure to first find an initial solution to our equation and then find out how to generate infinitely many solutions from that initial one:
(1) Since $d$ divides $c$, we can divide our equation through by $d$, and the resulting equation will have the exact same solutions as the original equation. For simplicity, we shall denote the new reduced equation by the symbols $a x+b y=c$, where now $a$ and $b$ are relatively prime.
(2) Use either trial and error or the Euclidean Algorithm to find a solution $\left(x_0, y_0\right)$ of the equation $a x+b y=1$. For a reminder of how to find $\left(x_0, y_0\right)$ using the Euclidean Algorithm, see the discussion following Example 1.5 as well as Solved Problems $1.10$ and $1.11$. (3) Multiplying both sides of the solved equation in (2) by $c$, we obtain the equation $a\left(c x_0\right)+b\left(c y_0\right)=c$, and so we have found our initial solution $\left(x_1=c x_0, y_1=c y_0\right)$ of the given equation.
(4) We can now use the solution $\left(x_1, y_1\right)$ to generate infinitely many solutions, basically by having the $x$ solution go up and the $y$ solution go down, or vice versa. Letting $t$ be any integer, we claim that $\left(x_1+b t, y_1-a t\right)$ is also a solution. Checking this:
$a\left(x_1+b t\right)+b\left(y_1-a t\right)=a x_1+a b t+b y_1-a b t=a x_1+b y_1=c$.
Since $t$ can range over all integers, we obtain infinitely many solutions of our equation.
Here we illustrate this procedure.
数论代写
数学代写数论代写Number Theory代 考|The Linear Equation ax+b y=c
在描述 Diffie-Hellman 方法之前, 我们需要研究 $\mathbb{Z}p$ 在哪里 $p$ 是素数。费马定理告讬涐们, 如果 $a$ 是一个非 零元素 $\mathbb{Z}_p$, 整数模 $p$, 然后 $a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$. 一个问题是: 是 $p-1$ 上的最小指数 $a$ 减少的答安是 $1 ?$ 让 戈们看几个例子。 例 6.2。(a) 对于每个非零元素 $a$ 的 $\mathbb{Z} 11$, 下图显示最小功率 $k$ 为此 $a^k \equiv 1(\bmod 11)$ : $\backslash$ begin ${$ 表格 $}{c|c| c|c| c|c| c|c| c|c| c \mid c} \$ a \$ \& 1 \& 2 \& 3 \& 4 \& 5 \& 6 \& 7 \& 8 \& 9$ \& $10 \backslash \backslash h l i n e \$ k \$ \& 1 \& 10 \& 5 \& 5 \& 5 \& 10 \& 10 \& 10 \&$ 然后我们看到十个非䨐元素中的四个 $(2,6,7$ 和 8) 的 $\mathbb{Z} 11$ 需要一直提高到 10 次方才能达到 1 。这样的元素 将被称为原始根 $\mathbb{Z}{11}$ (见下面的一般定义) 。我们还注意到这里的原始根数, 即 4 , 由下式给出 $\phi(11-1)=4(\phi$ 当然是欧拉函数 $)$ 。这实际上通常是正确的: 素数的原始根的数量 $p$ 是 $\phi(p-1)$. 因 此, 我们有一种方法可以计算有多少原始根 $\mathbb{Z}_p$, 但不一昰是识别它们是哪些元素的简单方法。
数学代写数论代写 Number Theory代 考|The Linear Equation $a x+b \quad y=c$
涐们首先考虑最简单的丢番图方程, 即求整数的线性方程 $x$ 和 $y$ 所以对于给定的整数 $a, b, c$, 涐们有 $a x+b y=c$. 如果其中之一, 这个问题是相当微不足道的 $a$ 或者 $b$ 是 0 。例如, 如果 $a=0$, 那么方程 $b y=c$ 有整数解当且仅当 $b$ 划分 $c$. 因此我们假设两者都不 $a$ 也不 $b$ 为零。如果 $d=\operatorname{gcd}(a, b)$, 整数的最大公 约数 $a$ 和 $b$, 那么上面的线性方程汥有解如果 $d$ 不分 $c$ 自从 $d$ 显然确实有分歧 $a x+b y$.
那么假设 $d=\operatorname{gcd}(a, b)$ 划分 $c$. 我们现在可以使用以下过程首先找到方程的祀始解, 然后找出如何从该祒始 解生成无限多个解:
(1) 因为 $d$ 划分 $c$, 涐们可以将方程除以d, 得到的方程将具有与原始方程完全相同的解。为简单起见, 我们 将用符号表示新的简化方程 $a x+b y=c$, 现在在哪里 $a$ 和 $b$ 是相对优质的。
(2) 使用试错法或欧几里得算法找到解决方安 $\left(x_0, y_0\right)$ 方程的 $a x+b y=1$. 提示如何查找 $\left(x_0, y_0\right)$ 使用欧 几里得算法, 请参阅示例 $1.5$ 之后的讨论以及已解决的问题 $1.10$ 和 $1.11$. (3) 将(2)中解方程的两边乘以 $c$, 涐们得到方程 $a\left(c x_0\right)+b\left(c y_0\right)=c$, 所以我们找到了我们的祀始解决方案 $\left(x_1=c x_0, y_1=c y_0\right)$ 给定 方程的。
(4) 找们现在可以使用解决方案 $\left(x_1, y_1\right)$ 产生无限多的解决方案, 基本上是通过 $x$ 解决方案上升和 $y$ 解决方案 下降, 反之亦然。让 $t$ 是任何整数, 我们声称 $\left(x_1+b t, y_1-a t\right)$ 也是一种解决方案。检查这个: $a\left(x_1+b t\right)+b\left(y_1-a t\right)=a x_1+a b t+b y_1-a b t=a x_1+b y_1=c$. 自从 $t$ 可以在所有整数范围内, 我们得到涐们方程的无限多个解。 这里我们说明这个过程。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。