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加性组合Additive Combinatorics另一个典型问题是为 |A+B|按照 |A+B| 这可以看作是给定信息的逆问题 |A+B|}足够小，那么结构结论的形式是一个或者乙是空集；然而，在文献中，这些问题有时也被认为是直接问题。这种类型的例子包括Erdős-Heilbronn 猜想（对于有限的 sumset）和Cauchy-Davenport 定理。用于解决此类问题的方法通常来自许多不同的数学领域，包括组合数学、遍历理论、分析、图论、群论以及线性代数和多项式方法。
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数学代写|加性组合代写Additive Combinatorics代考|The Lovász local lemma
Let $\left(A_i\right){i \in V}$ be a finite collection of events in a probabilistic space; we will later view the index set $V$ as the vertex set of a graph. In many situations, it is desirable to show that there is a chance that the complementary events $\left(\bar{A}_i\right){i \in V}$ hold simultaneously, i.e. that $\mathbf{P}\left(\bigwedge_{i \in V} \bar{A}i\right)>0$. This is particularly useful when the $A_i$ are bad events that we would like to avoid. If the $A_i$ are mutually independent, then the problem is trivial, as we have $$ \mathbf{P}\left(\bigwedge{i \in V} \bar{A}i\right)=\prod{i \in V} \mathbf{P}\left(\bar{A}i\right)=\prod{v \in V}\left(1-\mathbf{P}\left(A_i\right)\right),
$$
which is positive if $\mathbf{P}\left(A_i\right)$ are all strictly less than one. On the other hand, mutual independence is a very strong assumption which rarely holds.
One may expect that something similar to (1.30) is still true if we allow a sufficiently “local” dependence among the $A_i$ s, so that we still have good control on $\mathbf{P}\left(A_i\right)$ even after conditioning on most of the events $\bar{A}_j$. This is indeed possible, as shown by Lovász in 1975 in a joint paper with Erdôs [93]. We present a modern version of this lemma as follows.
数学代写|加性组合代写Additive Combinatorics代考|Colorings of the real line
We now give an application of Corollary $1.26$. This is the original result from the paper [93] of Erdôs and Lovász, which motivated the development of the local lemma.
Let us use $k$ colors $[1, k]$ to color the real numbers. (Thus, a coloring is a map from $\mathbf{R}$ to $[1, k]$.) A subset $T$ of $\mathbf{R}$ is called colorful if it contains all $k$ colors.
Theorem 1.27 Let $m$ and $k$ be two positive integers satisfying
$$
e(m(m-1)+1) k\left(1-\frac{1}{k}\right)^m \leq 1 .
$$
Then for any set $S$ of real numbers with $|S|=m$, and any set $X \subset \mathbf{R}$ (possibly infinite), there is a $k$-coloring of $\mathbf{R}$ such that the translates $x+S$ of $S$ are colorful for every $x \in X$.
Proof We first prove this theorem in the special case when $X$ is finite, and then use a compactness argument to handle the general case (of course, the theorem is strongest when $X=\mathbf{R}$ ). The point is that the bound (1.33) does not depend on the cardinality of $X$
Fix $X$ to be finite; thus $X+S$ is also finite. Note that we only need to color the real numbers in $X+S$, since the real numbers outside of $X+S$ are irrelevant. For each element $y$ in $X+S$, we color it randomly and independently: $y$ receives each of the colors in $[1, k]$ with the same probability $1 / k$. Let $A_x$ be the event that the translate $x+S$ is not colorful. We need to show that
$$
\mathbf{P}\left(\bigwedge_{x \in X} \bar{A}_x\right)>0
$$
加性组合代写
数学代写|加性组合代写Additive Combinatorics代考|The Lovász local lemma
让 $\left(A_i\right) i \in V$ 是概率空间中事件的有限集合; 我们稍后将查看索引集 $V$ 作为图的顶点集。在许多情况下, 希望表明互补事件有可能发生 $\left(\bar{A}i\right) i \in V$ 同时保持, 即 $\mathbf{P}\left(\bigwedge{i \in V} \bar{A} i\right)>0$. 这在 $A_i$ 是涐们希望避免的不 良事件。如果 $A_i$ 是相互独立的, 那么问题是微不足道的，因为涐们有
$$
\mathbf{P}(\bigwedge i \in V \bar{A} i)=\prod i \in V \mathbf{P}(\bar{A} i)=\prod v \in V\left(1-\mathbf{P}\left(A_i\right)\right),
$$
如果 $\mathbf{P}\left(A_i\right)$ 都严格小于一。另一方面，相互独立是一个非常强的假设，很少成言。
如果我们允许在 $A_i \mathrm{~s}$, 这样我们仍然可以很好地控制 $\mathbf{P}\left(A_i\right)$ 即使在调整了大多数事件之后 $\bar{A}j$. 这确实是可 能的, 正如 Lovász 在 1975 年与 Erdôs [93] 的联合论文中所表明的那样。我们提出这个引理的现代版本 如下。
数学代写|加性组合代写Additive Combinatorics代考|Colorings of the real line
我们现在给出推论的应用 $1.26$. 这是 Erdôs 和 Lovász 的论文 [93] 的原始结果, 它推动了局部引理的发 展。 让我们使用 $k$ 㟍色 $[1, k]$ 为实数着色。（因此, 着色是来自 $\mathbf{R}$ 至 $[1, k]$.) 一个子集 $T$ 的 $\mathbf{R}$ 如果它包含所有, 则 称为采夿 $k$ 谚包。 昰理 $1.27$ 让 $m$ 和 $k$ 是两个满足的正整数 $$ e(m(m-1)+1) k\left(1-\frac{1}{k}\right)^m \leq 1 $$ 然后对于任何集合 $S$ 实数与 $|S|=m$, 和任何集合 $X \subset \mathbf{R}$ (可能无限)，有一个 $k$ – 着色 $\mathbf{R}$ 这样翻译 $x+S$ 的 $S$ 对每个人来说都是丰富多彩的 $x \in X$. 证明 我们首先在特殊情况下证明这个定理 $X$ 是有限的, 然后使用紧珎性参数来处理一般情况（当然, 当 $X=\mathbf{R}$ ）。关键是边界 (1.33) 不依赖于基数 $X$ 使固定 $X$ 是有限的; 因此 $X+S$ 也是有限的。请注意, 涐们只需要为实数着色 $X+S$, 因为实数在 $X+S$ 无关紧要。对于每个元素 $y$ 在 $X+S$, 我们随机独立地给它上色： $y$ 接收每种硕色 $[1, k]$ 以相同的概率 $1 / k$. 让 $A_x$ 是翻译的事件 $x+S$ 不是五颜六色的。我们需要证明 $$ \mathbf{P}\left(\bigwedge{x \in X} \bar{A}_x\right)>0
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。