数学代写|复几何代写Complex Geometry代考|COMP5045 Soft Sheaves

如果你也在 怎样代写复几何Complex Geometry COMP5045这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复几何Complex Geometry在数学中,复数几何是研究由复数产生或描述的几何结构和构造的。特别是,复数几何涉及到空间的研究,如复数流形和复数代数品种,几个复数变量的函数,以及全形结构,如全形矢量束和相干舍。超验方法在代数几何中的应用,以及复数分析的更多几何方面,都属于这一类。

复几何Complex Geometry学位于代数几何学、微分几何学和复杂分析的交叉点,并使用所有三个领域的工具。由于融合了各个领域的技术和思想,复杂几何学的问题往往比一般的问题更容易解决或更具体。例如,通过最小模型程序和构建模空间对复流形和复代数品种进行分类,使该领域有别于微分几何,在微分几何中,对可能的光滑流形进行分类是一个明显困难的问题。此外,复杂几何学的额外结构允许,特别是在紧凑环境下,全局分析结果被成功证明,包括丘成桐对卡拉比猜想的证明、希钦-小林对应关系、非标量霍奇对应关系,以及凯勒-爱因斯坦度量和恒标量曲率凯勒度量的存在结果。这些结果经常反馈到复杂代数几何学中,例如最近利用K-稳定性对法诺流形进行的分类就从分析和纯二元几何学的技术中获得了巨大的好处。

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We introduce the class of soft sheaves, whose definition is similar to the class of flasque sheaves. The main advantage is that unlike flasque sheaves, the soft sheaves often occur “in nature.” We assume throughout this section that $X$ is a metric space, although the results hold under the weaker assumption that $X$ is paracompact and Hausdorff.

Definition 4.3.1. A sheaf $\mathscr{F}$ is called soft if the map $\mathscr{F}(X) \rightarrow \mathscr{F}(S)$ is surjective for all closed sets, where $\mathscr{F}(S)$ was defined in (3.7.1).

Lemma 4.3.2. If $0 \rightarrow \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{B} \rightarrow \mathscr{C} \rightarrow 0$ is an exact sequence of sheaves with $\mathscr{A}$ soft, then $\mathscr{B}(X) \rightarrow \mathscr{C}(X)$ is surjective.

Proof. The proof is very similar to the proof of Lemma 4.1.4. We just indicate the modifications. Let $\gamma \in \mathscr{C}(X)$. We can assume that the open cover $\left{U_i \mid i<\kappa\right}$, such that $\left.\gamma\right|{U_i}$ lifts to $\mathscr{B}$, consists of open balls. We can also assume that this cover is locally finite, which means that every point has a neighborhood that intersects finitely many members of the cover. This follows from Stone’s theorem $[112,70]$ that metric spaces are paracompact. In fact, we are mostly interested in the case of locally compact spaces, where this fact is trivial. Let $\left{V_i\right}$ be a new open cover where we shrink the radii of each ball, so that $\bar{V}_i \subset U_i$. We can define $$ \sigma_i \in \mathscr{B}\left(\cup{j<i} \bar{V}j\right) $$ inductively as before, so that $\sigma\kappa$ maps to $\gamma$.

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We want to prove that the sheaf of $C^{\infty}$ functions on a manifold is soft. We start with a few lemmas.

Lemma 4.4.1. Given $\varepsilon>0$, there exists an $\mathbb{R}$-linear “smoothing” operator $\Sigma_{\varepsilon}$ : $\operatorname{Cont}\left(\mathbb{R}^n\right) \rightarrow C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ such that if $f(x)$ is constant for all points $x$ in an $\varepsilon$ ball about $x_0$, then $\Sigma_{\varepsilon}(f)\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)$.

Proof. Let $\psi$ be a $C^{\infty}$ function on $\mathbb{R}^n$ with support in $|x|<1$ such that $\int \psi d x=1$. Rescale this by setting $\phi(x)=\varepsilon^n \psi(x / \varepsilon)$. Then the convolution
$$
\Sigma_{\varepsilon}(f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) \phi(x-y) d y
$$
will have the desired properties.
Lemma 4.4.2. Let $S \subset \mathbb{R}^n$ be a compact subset, and let $U$ be an open neighborhood of $S$. Then there exists a $C^{\infty}$ function $\rho: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ that is 1 on $S$ and 0 outside $U$.
Proof. We constructed a continuous function $\rho_1: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ with these properties in the previous section. Now set $\rho=\Sigma_{\varepsilon}\left(\rho_1\right)$ with $\varepsilon$ sufficiently small.

We want to extend this to a manifold $X$. For this, we need the following construction. Let $\left{U_i\right}$ be a locally finite open cover of $X$, which means that every point of $X$ is contained in a finite number of $U_i$ ‘s. A partition of unity subordinate to $\left{U_i\right}$ is a collection of $C^{\infty}$ functions $\phi_i: X \rightarrow[0,1]$ such that

  1. The support of $\phi_i$ lies in $U_i$.
  2. $\sum \phi_i=1$ (the sum is meaningful by local finiteness).
    Partitions of unity always exist for any locally finite cover; see [110, 117] or the exercises.
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代数几何代写

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我们介绍软滑轮类, 其定义类似于扁平滑轮类。主要优点是与扁平滑轮不同, 软滑轮通常“在自然界中”出 现。我们在本节中假设 $X$ 是一个度量空间, 尽管结果在较弱的假设下成立 $X$ 是paracompact和 Hausdorff。
定义 4.3.1。一捆 $\mathscr{F}$ 如果地图被称为软 $\mathscr{F}(X) \rightarrow \mathscr{F}(S)$ 对所有闭集都是满射的, 其中 $\mathscr{F}(S)$ 在 (3.7.1) 中 定义。
引理 4.3.2。如果 $0 \rightarrow \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{B} \rightarrow \mathscr{C} \rightarrow 0$ 是一个精确的滑轮序列 $\mathscr{A}$ 软, 然后 $\mathscr{B}(X) \rightarrow \mathscr{C}(X)$ 是主观 的。
证明。该证明与引理 $4.1 .4$ 的证明非常相似。我们只是指出修恣。让 $\gamma \in \mathscr{C}(X)$. 我们可以假设开盖 的,这意味着每个点都有一个邻域与覆盖的有限多个成员相交。这遵循斯通定理 $[112,70]$ 度量空间是准紧 的。事实上, 涐们最感兴趣的是局部紧致空间的情况, 在这种情况下这个事实是微不足道的。让 $\backslash$ left $\left{\mathrm{V}{-} \backslash \backslash\right.$ right $}$ 是一个新的开盖,

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我们缩小每个球的半径, 所以 $\bar{V}_i \subset U_i$. 我们可以定义 $$ \sigma_i \in \mathscr{B}(\cup j0$, 存在一个近-线性“平滑”算子 $\Sigma{\varepsilon}: \operatorname{Cont}\left(\mathbb{R}^n\right) \rightarrow C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 这样如果 $f(x)$ 对所有 点都是常数 $x$ 在一个 $\varepsilon$ 球约 $x_0$, 然后 $\Sigma_{\varepsilon}(f)\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)$.
证明。让 $\psi$ 做一个 $C^{\infty}$ 功能开启 $\mathbb{R}^n$ 在支持下 $|x|<1$ 这样 $\int \psi d x=1$. 通过设置重新缩放 $\phi(x)=\varepsilon^n \psi(x / \varepsilon)$. 然后卷积
$$
\Sigma_{\varepsilon}(f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) \phi(x-y) d y
$$
将具有所需的属性。
引理 4.4.2。让 $S \subset \mathbb{R}^n$ 是一个紧子集, 并且让 $U$ 成为一个开放的社区 $S$. 那么存在一个 $C^{\infty}$ 功能 $\rho: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 即 1 上和 0 外面 $U$.
证明。我们构造了一个连续函数 $\rho_1: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 与上一节中的这些属性。现在设置 $\rho=\Sigma_{\varepsilon}\left(\rho_1\right)$ 和 $\varepsilon$ 足够 小。
我们想把它扩展到一个流形 $X$. 为此, 我们需要以下构造。让 \left } { \cup _ { – } i \backslash r i g h t } \text { 是一个局部有限开覆盖 } X \text { , 这 } $\phi_i: X \rightarrow[0,1]$ 这样

  1. 的支持 $\phi_i$ 在于 $U_i$.
  2. $\sum_i \phi_i=1$ (总和对局部有限性有意义)。
    对于任何局部有限覆盖, 单位分区总是存在的; 参见 $[110,117]$ 或练习。
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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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