数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|MAST90097 Remarks on higher-dimensional resultants

如果你也在 怎样代写代数几何Algebraic Geometry MAST90097这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数几何Algebraic Geometry是数学的一个分支,经典地研究多变量多项式的零点。现代代数几何的基础是使用抽象代数技术,主要来自换元代数,以解决有关这些零点集的几何问题。

代数几何Algebraic Geometry的基本研究对象是代数品种,它是多项式方程组解的几何表现形式。研究最多的代数品种的例子是:平面代数曲线,包括直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线、立方曲线如椭圆曲线,以及四元曲线如勒芒斯和卡西尼椭圆。如果平面上的一个点的坐标满足一个给定的多项式方程,那么它就属于一条代数曲线。基本问题包括研究特殊的兴趣点,如奇异点、拐点和无穷大的点。更高级的问题涉及曲线的拓扑结构和不同方程所给出的曲线之间的关系。

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数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|MAST90097 Remarks on higher-dimensional resultants

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Remarks on higher-dimensional resultants

Suppose that $F_1, F_2, F_3 \in k\left[x_0, x_1, x_2\right]$ are homogeneous polynomials of degrees $m_1, m_2, m_3$. When do the equations
$$
F_1=F_2=F_3=0
$$
admit nontrivial common solutions over some extension of $k$ ?

In light of our analysis in the univariate case, it is natural to consider the linear transformation
$$
\begin{aligned}
\delta_0(d): S_{d-m_1} \oplus S_{d-m_2} \oplus S_{d-m_3} & \rightarrow S_d \
\left(A_1, A_2, A_3\right) & \mapsto A_1 F_1+A_2 F_2+A_3 F_3
\end{aligned}
$$
where $S_d$ is the vector space of homogeneous polynomials of degree $d$ in $x_0, x_1, x_2$ and (cf. Exercise 1.4)
$$
\operatorname{dim} S_d=\left(\begin{array}{c}
d+2 \
d
\end{array}\right)=\frac{(d+2)(d+1)}{2} .
$$
Naively, one might expect image $\left(\delta_0(d)\right)$ to have dimension
$$
\left(\begin{array}{c}
d-m_1+2 \
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
d-m_2+2 \
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
d-m_3+2 \
2
\end{array}\right)
$$
However, this does not take into account syzygies among $F_1, F_2, F_3$, which correspond to elements in $\operatorname{ker} \delta_0(d)$ for various values of $d$. For example, we have the following obvious syzygies
$$
\left(F_2,-F_1, 0\right), \quad\left(0, F_3,-F_2\right), \quad\left(F_3, 0,-F_1\right) .
$$
Therefore, defining
$$
\begin{gathered}
\delta_1(d): S_{d-m_1-m_2} \oplus S_{d-m_2-m_3} \oplus S_{d-m_3-m_1} \rightarrow S_{d-m_1} \oplus S_{d-m_2} \oplus S_{d-m_3} \
\left(A_{12}, A_{23}, A_{31}\right) \mapsto\left(A_{12} F_2+A_{31} F_3,-A_{12} F_1+A_{23} F_3,-A_{23} F_2-A_{31} F_1\right)
\end{gathered}
$$
we have
$$
\operatorname{image}\left(\delta_1(d)\right) \subset \operatorname{ker}\left(\delta_0(d)\right)
$$

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Existence of the decomposition

Definition 6.1 A variety $V$ is reducible if we can write it as a union of closed proper subsets
$$
V=V_1 \cup V_2, \quad V_1, V_2 \subsetneq V
$$
It is irreducible if there is no such representation.
If $V$ is irreducible and $V=\cup_{i=1}^r V_i$, a union of closed subsets, then $V=V_i$ for some $i$.
Example $6.2$

  1. The affine variety $V={(x, y): x y(x-y)(x+y)=0} \subset \mathbb{A}^2(\mathbb{Q})$ is reducible
    $$
    V={x=0} \cup{y=0} \cup{x=y} \cup{x=-y} .
    $$
  2. Any finite set $\left{p_1, \ldots, p_n\right}, n>1$, is reducible; it is a union of singleton sets.
    Remark 6.3 When $k$ is finite our definition is problematic: any subset of $\mathbb{A}^n(k)$ is the union of its points!
    Theorem 6.4 Let $V \subset \mathbb{A}^n(k)$ be a variety. Then we can write
    $$
    V=V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_r
    $$
    as a finite union of irreducible closed subsets. This representation is unique up to permutation provided it is irredundant, i.e., $V_i \not \subset V_j$ for any $i \neq j$.
    The $V_j$ are called the irreducible components of $V$.
    Proof (Existence) We consider the process of decomposing a variety into a union of closed proper subsets:
    $$
    V=W_1 \cup W_1^{\prime}, \quad W_1, W_1^{\prime} \subsetneq V .
    $$
    Since $V$ is not irreducible, such a decomposition is possible. Either $W_1$ and $W_1^{\prime}$ are irreducible or, after reordering, we can write
    $$
    W_1=W_2 \cup W_2^{\prime}, \quad W_2, W_2^{\prime} \subsetneq W_1
    $$
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代数几何代写

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假设 $F_1, F_2, F_3 \in k\left[x_0, x_1, x_2\right]$ 是次数的齐次多项式 $m_1, m_2, m_3$. 什么时候做方程
$$
F_1=F_2=F_3=0
$$
在某些扩展上承认非平凡的共同解蚇方案 $k$ ?
根据我们在单变荲情况下的分析, 很自然地考虑线性变换
$$
\delta_0(d): S_{d-m_1} \oplus S_{d-m_2} \oplus S_{d-m_3} \rightarrow S_d\left(A_1, A_2, A_3\right) \quad \mapsto A_1 F_1+A_2 F_2+A_3 F_3
$$
在哪里 $S_d$ 是齐/欠多项式的向量空间 $d$ 在 $x_0, x_1, x_2$ 和 (参见练习 1.4)
$$
\operatorname{dim} S_d=(d+2 d)=\frac{(d+2)(d+1)}{2}
$$
天真地, 人们可能会期望图像 $\left(\delta_0(d)\right)$ 有维度
$$
\left(d-m_1+22\right)+\left(d-m_2+22\right)+\left(d-m_3+22\right)
$$
然而, 这并沽有考虑到 $F_1, F_2, F_3$, 对应于元素 $\operatorname{ker} \delta_0(d)$ 对于不同的值 $d$. 例如, 我们有以下明显的 syzygies
$$
\left(F_2,-F_1, 0\right), \quad\left(0, F_3,-F_2\right), \quad\left(F_3, 0,-F_1\right) .
$$
因此,昰 \%
$$
\delta_1(d): S_{d-m_1-m_2} \oplus S_{d-m_2-m_3} \oplus S_{d-m_3-m_1} \rightarrow S_{d-m_1} \oplus S_{d-m_2} \oplus S_{d-m_3}\left(A_{12}, A_{23}, A_{31}\right) \mapsto\left(A_{12} F_2\right.
$$
戓们有
$\operatorname{image}\left(\delta_1(d)\right) \subset \operatorname{ker}\left(\delta_0(d)\right)$


数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Existence of the decomposition


昰义 $6.1$ 品种 $V$ 如果我们可以把它写成封闭真子集的并集, 它是可约的
$$
V=V_1 \cup V_2, \quad V_1, V_2 \subsetneq V
$$
如果沽有这样的表示,它是不可约的。
如果 $V$ 是不可约的并且 $V=\cup_{i=1}^r V_i$ ,闭合子集的并集,则 $V=V_i$ 对于一些 $i$.
例子 $6.2$

  1. 仿射品种 $V=(x, y): x y(x-y)(x+y)=0 \subset \mathbb{A}^2(\mathbb{Q})$ 是可约的
  2. 任何有限集 $\backslash$ left $\left{p_1 1, \backslash\right.$ dots, $\left.p_{-} n \backslash r i g h t\right}, n>1$, 是可约的; 官是单例集的并集。
    备注 $6.3$ 何时 $k$ 是有限的, 涐们的定义是有问题的: $\mathbb{A}^n(k)$ 是官的联合点!
    昰理 $6.4$ 让 $V \subset \mathbb{A}^n(k)$ 成为一个品种。然后涐们可以写
    $$
    V=V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_r
    $$
    作为不可咆闭子集的有限联合。如果它是元余的, 则该表示在置换之前是唯一的, 即 $V_i \not \subset V_j$ 对于任何 $i \neq j$
    这 $V_j$ 被称为不可约成分 $V$.
    证月明 (存在性) 秫们考虑将一个变体分解为闭合真子集的并集的过程:
    $$
    V=W_1 \cup W_1^{\prime}, \quad W_1, W_1^{\prime} \subsetneq V
    $$
    自从 $V$ 不是不可约的, 这样的分解是可能的。任何一个 $W_1$ 和 $W_1^{\prime}$ 是不可约的, 或者, 在重新排 序之后, 涐们可以与
    $$
    W_1=W_2 \cup W_2^{\prime}, \quad W_2, W_2^{\prime} \subsetneq W_1
    $$
数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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