数学代写|多变量微积分和常微分方程代考Multivariate Calculus & Ordinary Differential Equations代写|MATH422 Preliminaries to Stability of Solutions

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多变量微积分和常微分方程Multivariate Calculus & Ordinary Differential Equations在常微分方程中,线性微分方程起着突出的作用,原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解(见整体函数)。当用非线性方程对物理现象进行建模时,一般用线性微分方程来近似,以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE,一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的。

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数学代写|多变量微积分和常微分方程代考Multivariate Calculus & Ordinary Differential Equations代写|Preliminaries to Stability of Solutions

In Lecture 16 we have provided smoothness conditions so that the solution $u\left(x, x_0, u^0\right)$ of the initial value problem (15.4) is a continuous function of $x, x_0$, and $u^0$ at the point $\left(x, x_0, u^0\right)$, where $x$ is in some finite interval $J=\left[x_0, x_0+\alpha\right]$. Geometrically, this means that for all $\epsilon>0$ there exists $\left|\Delta u^0\right|$ sufficiently small so that the solution $u\left(x, x_0, u^0+\Delta u^0\right)$ remains in a strip of width $2 \epsilon$ surrounding the solution $u\left(x, x_0, u^0\right)$ for all $x \in\left[x_0, x_0+\alpha\right]$. Thus, a small change in $u^0$ brings about only a small change in the solutions of (15.4) in a finite interval $\left[x_0, x_0+\alpha\right]$. However, the situation is very much different when the finite interval $\left[x_0, x_0+\alpha\right]$ is replaced by $\left[x_0, \infty\right)$. For example, let us consider the initial value problem $y^{\prime}=a y, y(0)=y_0$ whose unique solution is $y\left(x, 0, y_0\right)=y_0 e^{a x}$. It follows that
$$
|\Delta y|=\left|y\left(x, 0, y_0+\Delta y_0\right)-y\left(x, 0, y_0\right)\right|=\left|\Delta y_0\right| e^{a x}
$$
for all $x \geq 0$. Hence, if $a \leq 0$ then $|\Delta y|=\left|\Delta y_0\right| e^{a x} \leq \epsilon$ for all $x \geq 0$ provided $\left|\Delta y_0\right| \leq \epsilon$. But, if $a>0$, then $|\Delta y| \leq \epsilon$ holds only if $\left|\Delta y_0\right| \leq \epsilon e^{-a x}$, which is possible only for finite values of $x$ no matter how small $\left|\Delta y_0\right|$ is, i.e., $|\Delta y|$ becomes large for large $x$ even for small values of $\left|\Delta y_0\right|$.

A solution $u\left(x, x_0, u^0\right)$ of the initial value problem (15.4) existing in the interval $\left[x_0, \infty\right)$ is said to be stable if small changes in $u^0$ bring only small changes in the solutions of (15.4) for all $x \geq x_0$. Otherwise, we say that the solution $u\left(x, x_0, u^0\right)$ is unstable. Thus, the solution $y(x)=y_0 e^{a x}$ of the problem $y^{\prime}=a y, y(0)=y_0$ is stable only if $a \leq 0$, and unstable for $a>0$. We shall now give a few definitions which classify various types of behavior of solutions.

数学代写|多变量微积分和常微分方程代考Multivariate Calculus & Ordinary Differential Equations代写|Quasi-Linear Systems

In Problems $22.9$ and $22.10$ we have considered the differential systems (22.16) and (22.17) as the perturbed systems of (18.6) and (17.3), respectively, and provided sufficient conditions on the nonlinear perturbed function $g(x, v)$ so that the asymptotic properties of the unperturbed systems are maintained for the perturbed systems. Analogously, we expect that under certain conditions on the function $g(x, v)$ stability properties of the unperturbed systems carry through for the perturbed systems. For obvious reasons, systems (22.16) and (22.17) are called quasi-linear differential systems.
Let the function $g(x, v)$ satisfy the condition
$$
|g(x, v)|=o(|v|)
$$
uniformly in $x$ as $|v|$ approaches zero. This implies that for $v$ in a sufficiently small neighborhood of the origin, $|g(x, v)| /|v|$ can be made arbitrarily small. Condition (24.1) assures that $g(x, 0) \equiv 0$, and hence $v(x) \equiv 0$ is a solution of the perturbed differential systems.

We begin with an interesting example which shows that the asymptotic stability of the trivial solution of the unperturbed system (17.3) and the condition (24.1) do not imply the asymptotic stability of the trivial solution of the perturbed system (22.17).
Example 24.1. Consider the differential system
$$
\begin{aligned}
&u_1^{\prime}=-a u_1 \
&u_2^{\prime}=(\sin 2 x+2 x \cos 2 x-2 a) u_2, \quad 1<2 a<3 / 2 \end{aligned} $$ whose general solution is $$ \begin{aligned} &u_1(x)=c_1 e^{-a x} \\ &u_2(x)=c_2 \exp ((\sin 2 x-2 a) x) \end{aligned} $$ Since $a>1 / 2$, every solution of (24.2) tends to zero as $x \rightarrow \infty$, and hence the trivial solution of (24.2) is asymptotically stable.

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多变量微积分和常微分方程代写

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在第 16 课中, 我们提供了平滑条件, 使得解 $u\left(x, x_0, u^0\right)$ 的初值问题 (15.4) 是一个连续函数 $x, x_0$, 和 $u^0$ 在这一点上 $\left(x, x_0, u^0\right)$, 在哪里 $x$ 处于某个有限区间 $J=\left[x_0, x_0+\alpha\right]$. 在几何上, 这意味着对于所有 $\epsilon>0$ 那里存在 $\left|\Delta u^0\right|$ 足够小, 使得解决方案 $u\left(x, x_0, u^0+\Delta u^0\right)$ 保持在一条宽度的 $2 \epsilon$ 围绕解决方案 $u\left(x, x_0, u^0\right)$ 对所有人 $x \in\left[x_0, x_0+\alpha\right]$.于是, 一个小小的改变 $u^0$ 在有限区间内仅导致 (15.4) 的解的微 小变化 $\left[x_0, x_0+\alpha\right]$. 然而, 当有限区间 $\left[x_0, x_0+\alpha\right]$ 被替换为 $\left[x_0, \infty\right)$. 例如, 让我们考虑初始值问题 $y^{\prime}=a y, y(0)=y_0$ 其唯一解是 $y\left(x, 0, y_0\right)=y_0 e^{a x}$. 它遵循
$$
|\Delta y|=\left|y\left(x, 0, y_0+\Delta y_0\right)-y\left(x, 0, y_0\right)\right|=\left|\Delta y_0\right| e^{a x}
$$
对所有人 $x \geq 0$. 因此, 如果 $a \leq 0$ 然后 $|\Delta y|=\left|\Delta y_0\right| e^{a x} \leq \epsilon$ 对所有人 $x \geq 0$ 假如 $\left|\Delta y_0\right| \leq \epsilon$. 但是, 如 果 $a>0$, 然后 $|\Delta y| \leq \epsilon$ 仅当 $\left|\Delta y_0\right| \leq \epsilon e^{-a x}$, 这仅对有限值是可能的 $x$ 无论多小 $\left|\Delta y_0\right|$ 是, 即, $|\Delta y|$ 变 大变大 $x$ 即使对于小的值 $\left|\Delta y_0\right|$.
一个解法 $u\left(x, x_0, u^0\right)$ 区间内存在的初值问题 (15.4) $\left[x_0, \infty\right)$ 如果变化很小, 就说是稳定的 $u^0$ 对所有人 的 (15.4) 的解决方案只带来很小的变化 $x \geq x_0$. 否则, 我们说解决方案 $u\left(x, x_0, u^0\right)$ 不稳定。因此, 解 决方案 $y(x)=y_0 e^{a x}$ 问题的 $y^{\prime}=a y, y(0)=y_0$ 只有当 $a \leq 0$, 不稳定 $a>0$. 我们现在将给出一些定 义, 对解决方案的各种行为进行分类。


数学代写|多变量微积分和常微分方程代 考Multivariate Calculus \& Ordinary Differential Equations代写|QuasiLinear Systems


在问题 $22.9$ 和 $22.10$ 我们将微分系统 (22.16) 和 (22.17) 分别视为 (18.6) 和 (17.3) 的摄动系统, 并为 非线性摄动函数提供了充分条件 $g(x, v)$ 使得末扰动系统的渐近性质对扰动系统保持不变。类似地, 我们期 望在函数的某些条件下 $g(x, v)$ 末扰动系统的稳定性特性贯穿于扰动系统。出于显而易见的原因, 系统 (22.16) 和 (22.17) 被称为准线性微分系统。 让函数 $g(x, v)$ 满足条件
$$
|g(x, v)|=o(|v|)
$$
均匀地在 $x$ 作为 $|v|$ 接近于零。这意味着对于 $v$ 在原点足够小的邻域中, $|g(x, v)| /|v|$ 可以任意小。条件 (24.1) 确保 $g(x, 0) \equiv 0$, 因此 $v(x) \equiv 0$ 是扰动溦分系统的解。
我们从一个有輙的例子开始, 它表明末扰动系统 (17.3) 和条件 (24.1) 的平凡解的渐近稳定性并不意味着 扰动系统 (22.17) 的平凡解的渐近稳定性。
例 24.1。考虑微分系统
$$
u_1^{\prime}=-a u_1 \quad u_2^{\prime}=(\sin 2 x+2 x \cos 2 x-2 a) u_2, \quad 1<2 a<3 / 2 $$ 其一般解是 $$ \begin{aligned} &u_1(x)=c_1 e^{-a x} \\ &u_2(x)=c_2 \exp ((\sin 2 x-2 a) x) \end{aligned} $$ 自从 $a>1 / 2,(24.2)$ 的每个解都趋于零, 因为 $x \rightarrow \infty$, 因此 (24.2) 的平凡解是渐近稳定的。

数学代写|多变量微积分和常微分方程代考Multivariate Calculus & Ordinary Differential Equations代写

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机器学习(ML)是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域,也就是说,利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关,统计学专注于使用计算机进行预测,但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。



统计推断代写

统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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