数学代写|多变量微积分和常微分方程代考Multivariate Calculus & Ordinary Differential Equations代写|MATH340 Existence Theorems

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多变量微积分和常微分方程Multivariate Calculus & Ordinary Differential Equations在常微分方程中,线性微分方程起着突出的作用,原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解(见整体函数)。当用非线性方程对物理现象进行建模时,一般用线性微分方程来近似,以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE,一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的。

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数学代写|多变量微积分和常微分方程代考Multivariate Calculus & Ordinary Differential Equations代写|Existence Theorems

As promised in Lecture 7 , here we shall prove that the continuity of the function $f(x, y)$ alone is sufficient for the existence of a solution of the initial value problem (7.1).

Theorem 9.1 (Peano’s Existence Theorem). Let $f(x, y)$ be continuous and bounded in the strip $T:\left|x-x_0\right| \leq a,|y|<\infty$. Then the initial value problem (7.1) has at least one solution in $\left|x-x_0\right| \leq a$.

Proof. We shall give the existence proof in the interval $\left[x_0, x+a\right]$, and its extension to $\left[x_0-a, x_0\right]$ is immediate. We define a sequence of functions $\left{y_m(x)\right}$ by the scheme
$$
\begin{array}{r}
y_m(x)=y_0, \quad x_0 \leq x \leq x_0+\frac{a}{m} \
y_m(x)=y_0+\int_{x_0}^{x-(a / m)} f\left(t, y_m(t)\right) d t, \quad x_0+k \frac{a}{m} \leq x \leq x_0+(k+1) \frac{a}{m}, \
k=1,2, \ldots, m-1 .
\end{array}
$$
The first equation defines $y_m(x)$ in $\left[x_0, x_0+a / m\right]$; then the second equation defines $y_m(x)$ at first in $\left[x_0+a / m, x_0+2 a / m\right]$ and then in $\left[x_0+\right.$ $\left.2 a / m, x_0+3 a / m\right]$ and so on. Since $f(x, y)$ is bounded in $T$, we can assume that $|f(x, y)| \leq M$ for all $(x, y) \in T$. Now for any two points $x_1, x_2$ in $\left[x_0, x_0+a\right]$, we have
$$
\begin{aligned}
&\left|y_m\left(x_2\right)-y_m\left(x_1\right)\right| \
&=0 \quad \text { if } x_1, x_2 \in\left[x_0, x_0+\frac{a}{m}\right] \
&=\left|\int_{x_0}^{x_2-(a / m)} f\left(t, y_m(t)\right) d t\right| \leq M\left|x_2-\frac{a}{m}-x_0\right| \leq M\left|x_2-x_1\right| \
&\quad \text { if } x_1 \in\left[x_0, x_0+\frac{a}{m}\right], \quad x_2 \in\left[x_0+k \frac{a}{m}, x_0+(k+1) \frac{a}{m}\right] \
&=\left|\int_{x_1-(a / m)}^{x_2-(a / m)} f\left(t, y_m(t)\right) d t\right| \leq M\left|x_2-x_1\right| \quad \text { otherwise. }
\end{aligned}
$$

数学代写|多变量微积分和常微分方程代考Multivariate Calculus & Ordinary Differential Equations代写|Uniqueness Theorems

In our previous lectures we have proved that the continuity of the function $f(x, y)$ in the closed rectangle $\bar{S}$ is sufficient for the existence of at least one solution of the initial value problem (7.1) in the interval $J_h$, and to achieve the uniqueness (i.e., existence of at most one solution) some additional condition on $f(x, y)$ is required. In fact, continuous functions $f(x, y)$ have been constructed (see Lavrentev [30], Hartman [20]) so that from any given point $\left(x_0, y_0\right)$ the equation $y^{\prime}=f(x, y)$ has at least two solutions in every neighborhood of $\left(x_0, y_0\right)$. In Theorem $8.1$ this additional condition was assumed to be the Lipschitz continuity. In the following, we shall provide several such conditions which are sufficient for the uniqueness of the solutions of (7.1).

Theorem 10.1 (Lipschitz Uniqueness Theorem). Let $f(x, y)$ be continuous and satisfy a uniform Lipschitz condition (7.3) in $\bar{S}$. Then $(7.1)$ has at most one solution in $\left|x-x_0\right| \leq a$.

Proof. In Theorem $8.1$ the uniqueness of the solutions of (7.1) is proved in the interval $J_h$; however, it is clear that $J_h$ can be replaced by the interval $\left|x-x_0\right| \leq a$

Theorem $10.2$ (Peano’s Uniqueness Theorem). Let $f(x, y)$ be continuous in $\bar{S}_{+}: x_0 \leq x \leq x_0+a,\left|y-y_0\right| \leq b$ and nonincreasing in $y$ for each fixed $x$ in $x_0 \leq x \leq x_0+a$. Then (7.1) has at most one solution in $x_0 \leq x \leq x_0+a$.

Proof. Suppose $y_1(x)$ and $y_2(x)$ are two solutions of $(7.1)$ in $x_0 \leq$ $x \leq x_0+a$ which differ somewhere in $x_0 \leq x \leq x_0+a$. We assume that $y_2(x)>y_1(x)$ in $x_1y_1(x)$. This greatest lower bound exists because the set $A$ is bounded below by $x_0$ at least. Thus, for all $x \in\left(x_1, x_1+\epsilon\right)$ we have $f\left(x, y_1(x)\right) \geq f\left(x, y_2(x)\right)$; i.e., $y_1^{\prime}(x) \geq y_2^{\prime}(x)$. Hence, the function $z(x)=y_2(x)-y_1(x)$ is nonincreasing, since if $z\left(x_1\right)=0$ we should have $z(x) \leq 0$ in $\left(x_1, x_1+\epsilon\right)$. This contradiction proves that $y_1(x)=y_2(x)$ in $x_0 \leq x \leq x_0+a$.

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多变量微积分和常微分方程代写

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正如第 7 讲所承诺的, 这里我们将证明函数的连续性 $f(x, y)$ 仅存在一个初始值问题 (7.1) 的解就足够了。
定理 9.1 (皮亚诺存在定理)。让 $f(x, y)$ 在带中是连续有界的 $T:\left|x-x_0\right| \leq a,|y|<\infty$. 那么初值问题 (7.1)至少有一个解 $\left|x-x_0\right| \leq a$. 证明。我们将在区间内给出存在性证明 $\left[x_0, x+a\right]$, 及其扩展为 $\left[x_0-a, x_0\right]$ 是即时的。我们定义了一系列 函数 \left } { y _ { – } \mathrm { m } ( \mathrm { x } ) \backslash \text { \right } } \text { 按计划 } $$ y_m(x)=y_0, \quad x_0 \leq x \leq x_0+\frac{a}{m} y_m(x)=y_0+\int_{x_0}^{x-(a / m)} f\left(t, y_m(t)\right) d t, \quad x_0+k \frac{a}{m} \leq x \leq x_0+(k $$ 第一个方程定义 $y_m(x)$ 在 $\left[x_0, x_0+a / m\right]$; 然后第二个方程定义 $y_m(x)$ 起初在 $\left[x_0+a / m, x_0+2 a / m\right]$ 然后在 $\left[x_0+2 a / m, x_0+3 a / m\right]$ 等等。自从 $f(x, y)$ 有界 $T$, 我们可以假设 $|f(x, y)| \leq M$ 对所有人 $(x, y) \in T$. 现在对于任意两点 $x_1, x_2$ 在 $\left[x_0, x_0+a\right]$, 我们有 $$ \left|y_m\left(x_2\right)-y_m\left(x_1\right)\right| \quad 0 \quad \text { if } x_1, x_2 \in\left[x_0, x_0+\frac{a}{m}\right]=\left|\int_{x_0}^{x_2-(a / m)} f\left(t, y_m(t)\right) d t\right| \leq M \mid x_2- $$

数学代官多变量微积分和常崿分分程代 考Multivariate Calculus \& Ordinary Differential Equations代 ‘冖与|Uniqueness Theorems

在我们之前的讲座中, 我们已经证明了函数的连续性 $f(x, y)$ 在封闭的矩形中 $\bar{S}$ 足以在区间内至少存在一个 初值问题 (7.1) 的解 $J_h$, 并在 $f(x, y)$ 是必须的。实际上,连续函数 $f(x, y)$ 已被构造 (参见 Lavrentev [30]、Hartman [20]), 因此从任何给定点 $\left(x_0, y_0\right)$ 方程 $y^{\prime}=f(x, y)$ 在 的每个邻域中至少有两个解 $\left(x_0, y_0\right)$. 定理8.1这个附加条件被假定为 Lipschitz 连续性。下面, 我们将提供几个这样的条件, 它们足以 满足 (7.1) 解的唯一性。 定理 $10.1$ (Lipschitz 唯一性定理)。让 $f(x, y)$ 是连续的并且满足一致的 Lipschitz 条件 (7.3) $\bar{S}$. 然后 $(7.1)$ 最多有一个解决方案 $\left|x-x_0\right| \leq a$. 证明。昰理8.1(7.1) 解的唯一性在区间证明 $J_h$; 然而, 很明显 $J_h$ 可以用区间代替 $\left|x-x_0\right| \leq a$ 定理 $10.2$ (皮亚诺唯一性定理) 。让 $f(x, y)$ 连续在 $\bar{S}_{+}: x_0 \leq x \leq x_0+a,\left|y-y_0\right| \leq b$ 并且不增加 $y$ 对于每个固定 $x$ 在 $x_0 \leq x \leq x_0+a$. 那么 (7.1) 至多有一个解 $x_0 \leq x \leq x_0+a$. 证明。认为 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是两个解决方案 $(7.1)$ 在 $x_0 \leq x \leq x_0+a$ 在某处有所不同 $x_0 \leq x \leq x_0+a$. 我们假设 $y_2(x)>y_1(x)$ 在 $x_1 y_1(x)$. 这个最大的下界存在是因为集合 $A$ 下界为 $x_0$ 至少。因此, 对于所有 $x \in\left(x_1, x_1+\epsilon\right)$ 我们有 $f\left(x, y_1(x)\right) \geq f\left(x, y_2(x)\right) ; \operatorname{IE}^2 y_1^{\prime}(x) \geq y_2^{\prime}(x)$. 因此, 函数 $z(x)=y_2(x)-y_1(x)$ 是非增加的, 因为如果 $z\left(x_1\right)=0$ 我们本应该 $z(x) \leq 0$ 在 $\left(x_1, x_1+\epsilon\right)$. 这个矛 盾证明 $y_1(x)=y_2(x)$ 在 $x_0 \leq x \leq x_0+a$.

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机器学习(ML)是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域,也就是说,利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关,统计学专注于使用计算机进行预测,但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。



统计推断代写

统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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