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数学分析Mathematical Analysis MTH131LR这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。
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In section 3.7. we established the spectral theorem for normal operators on finite-dimensional inner product spaces. The question now is how much of the finite-dimensional theory can be generalized to self-adjoint (generally, normal) operators on a separable Hilbert space.
Self-adjoint operators on an infinite-dimensional separable Hilbert space share some of the properties of Hermitian matrices. For example, the eigenvalues of such an operator are real, and eigenvalues corresponding to distinct eigenvalues are orthogonal. However, the spectral theorem does not extend to self-adjoint operators for a simple reason: A self-adjoint operator on an infinite-dimensional separable Hilbert space may not have any eigenvalues. The following example assumes familiarity with the space $\mathfrak{Q}^2(0,1)$ of (Lebesgue) square integrable functions on $[0,1]$, with the inner product $\langle f, g\rangle=\int_0^1 f(x) \overline{g(x)} d x$. The unfamiliar reader can think of $\mathfrak{Q}^2(0,1)$ as the completion of $\mathcal{C}[0,1]$ with respect to the given inner product. See theorem 7.1.10 and example 4 in section 7.2.
Example 1. The operator $T$ on $\mathfrak{Q}^2(0,1)$ defined by $(T u)(x)=x u(x)$ is clearly selfadjoint and has no eigenvalues.
In this section, we study compact operators in some depth. The culmination of the section is the spectral theorem for compact self-adjoint operators.
Definition. A linear operator $T$ on a separable Hilbert space $H$ is compact if it maps bounded sets into relatively compact sets. Thus $T$ is compact if whenever $A$ is a bounded subset of $H$, then $\overline{T(A)}$ is compact.
Example 2. (a) Compact operators are clearly bounded.
(b) The identity operator, $I$, on an infinite-dimensional Hilbert space is never compact. The image of the unit ball, which is bounded, is itself. But, in infinite-dimensional space, no ball is relatively compact, so $I$ is not compact.
(c) Define $T: l^2 \rightarrow l^2$ as follows: for $x=\left(x_n\right) \in l^2, T(x)=\left(x_1, 0, x_3, 0, x_5, \ldots\right)$. The set $A=\left{e_{2 n-1}: n \in \mathbb{N}\right}$ is bounded, but its image $T(A)=A$ is not relatively compact. Hence $T$ is not a compact operator.
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We will adopt the following standing assumptions for the remainder of this section: $T$ is a compact operator on a separable Hilbert space $H$, and $\lambda$ is a nonzero complex number. We also use the following notation: $L=T-\lambda I, L^=T^-\bar{\lambda} I$; $N_L=\operatorname{Ker}(L) ; R_L=\Re(L) ; N_{L^}=\operatorname{Ker}\left(L^\right) ; R_{L^}=\Re\left(L^\right)$.
In the calculations in the rest of this section, we repeatedly use the fact that $T$ commutes with the powers of $L$. This is because the powers of $T$ commute.
Theorem 7.4.9. $R_L$ is closed.
Proof. Let $X_1$ be a complement of $N_L$ in $H$. One exists by example 6 in section 6.4. We can choose $X_1=N_L^{\perp}$, but we are not making this election because the rest of the proof below works well with any complement of $N_L$. We first prove the following fact: There exists a constant $\delta>0$ such that $|L u| \geq \delta|u|$ for every $u \in X_1$. Suppose not. Then there exists a sequence $\left(u_n\right)$ in $X_1$ such that $\left|u_n\right|=$ $1,\left|L u_n\right|<1 / n$. Clearly, $L u_n \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$. Since $T$ is compact, Tun contains a convergent subsequence, Tw $w_n$. Thus $w_n=\frac{1}{\lambda} T w_n-\frac{1}{\lambda} L w_n$ is convergent. Let $w=\lim _n w_n$. Since $X_1$ is closed, $w \in X_1$. Now $w=\lim _n w_n=\frac{1}{\lambda} \lim _n\left(T w_n-\right.$ $\left.L w_n\right)=\frac{1}{\lambda} T w$. Thus $T w=\lambda w$; hence $w \in N_L \cap X_1={0}$. This contradicts the fact that $|w|=\lim _n\left|w_n\right|=1$ and establishes the fact. We now prove that $R_L$ is closed.
Suppose $L y_n$ is a convergent sequence in $R_L$. We need to show that $\lim _n L y_n \in R_L$. Write $y_n=u_n+w_n$, where $u_n \in X_1$, and $w_n \in N_L$. Note that $L y_n=L u_n$, so $L u_n$ is convergent. By the above fact, $\left|u_n-u_m\right| \leq \frac{1}{\delta}\left|L u_n-L u_m\right| \rightarrow 0$ as $m, n \rightarrow \infty$. Thus $u_n$ is a Cauchy sequence, so $u=\lim u_n$ exists. Finally, $\lim _n L u_n=L u$.
Remarks. (a) An immediate consequence of theorem 7.4.9 is that $H=N_{L^} \oplus R_L$, because, by theorem 7.3.12, $\bar{R}L=N{L^}^{\perp}$. Since $R_L$ is closed, $R_L=N_{L^}^{\perp}$, which is the result we seek. (b) Since $L^=T^-\bar{\lambda} I$, and $T^$ is compact, the above theorem implies that $N_{L^}$ is finite dimensional and that $R_{L^}$ is closed. As in remark a, $H=N_L \oplus R_{L^}$. (c) By the above remarks, $\operatorname{codim}\left(R_L\right)=\operatorname{dim}\left(N_{L^}\right)$, and $\operatorname{codim}\left(R_{L^}\right)=\operatorname{dim}\left(N_L\right)$. It is also true that $\operatorname{dim}\left(N_L\right)=\operatorname{dim}\left(N_{L^}\right)$. It follows that the numbers $\operatorname{dim}\left(N_L\right), \operatorname{dim}\left(N_{L^}\right), \operatorname{codim}\left(R_L\right)$, and $\operatorname{codim}\left(R_{L^}\right)$ are all finite and equal. The proof that $\operatorname{dim}\left(N_{L^*}\right)=\operatorname{dim}\left(N_L\right)$ appears at the end of this subsection. See theorem 7.4.15.
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在第 $3.7$ 节中。我们在有限维内积空间上建立了正规算子的谱定理。现在的问题是有多少有限维理论可以推 广到可分离希尔伯特空间上的自伴 (通常是正规) 算子。
无限维可分 Hilbert 空间上的自伴算子共享 Hermitian 矩阵的一些性质。例如，这种算子的特征值是实 数, 不同特征值对应的特征值是正交的。然而, 谱定理没有扩展到自伴算子, 原因很简单: 无限维可分希尔 伯特空间上的自伴算子可能没有任何特征值。以下示例假定您孰悉该空间 $\mathfrak{Q}^2(0,1)$ 的 (Lebesgue) 平方可 积函数 $[0,1]$, 内积 $\langle f, g\rangle=\int_0^1 f(x) \overline{g(x)} d x$. 不熟悉的读者可以想到 $\mathfrak{Q}^2(0,1)$ 作为完成 $\mathcal{C}[0,1]$ 关于给定 的内积。见定理 $7.1 .10$ 和 $7.2$ 节中的示例 4。
示例 1. 运算符 $T$ 上殠 ${ }^2(0,1)$ 被定义为 $(T u)(x)=x u(x)$ 显然是自伴的并且没有特征值。
在本节中, 我们将深入研究紧凑算子。该部分的高潮是紧致自伴算子的谱定理。
定义。线性算子 $T$ 在可分离的希尔伯特空间上 $H$ 如果它将有界集合映射为相对紧凑的集合, 则它是紧凑的。
因此 $T$ 是紧凑的, 如果无论何时 $A$ 是有界子集 $H$, 然后 $T(A)$ 紧凑。
示例 2. (a) 坚致运算符有明确的界限。
(b) 身份运算符, $I$, 在无限维希尔伯特空间上永远不会是紧致的。有界的单位球的形象就是它本身。但 是, 在无限维空间中, 没有球是相对紧凑的, 所以 $I$ 不紧凑。
(c) 定义 $T: l^2 \rightarrow l^2$ 如下: 对于 $x=\left(x_n\right) \in l^2, T(x)=\left(x_1, 0, x_3, 0, x_5, \ldots\right)$. 套装
$\left.\mathrm{A}=\backslash \mathrm{left}_{{\mathrm{e}}{2 \mathrm{n}-1}: \mathrm{n} \backslash \mathrm{in} \backslash \mathrm{mathbb}{\mathrm{N}} \backslash \operatorname{right}^{\prime}\right}$ 是有界的, 但它的形象 $T(A)=A$ 不是比较紧凑。因此 $T$ 不是 刹凑运算符。
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对于本节的其余部分，我们将采用以下常规假设： $T$ 是可分希尔伯特空间上的紧算子 $H$ ，和 $\lambda$ 是一个非零复 数。我们还使用以下符号: $L=T-\lambda I, L^{-} T^{-} \bar{\lambda} I$;
N_L= $L$ 运营商名称 ${$ Ker $}(L) ; R_{-} L=\backslash \operatorname{Re}(L) ; N_{-}\left{L^{\wedge}\right}=\backslash$ operatorname ${$ Ker $} \backslash$ left $\left(L^{\wedge} \backslash \operatorname{right}\right) ; R_{-}\left{L^{\wedge}\right}=\backslash \operatorname{Re} \backslash \operatorname{left}\left(L^{\wedge} \backslash \operatorname{right}\right)$
在本节其余部分的计算中, 我们反复使用以下事实: $T$ 通勤与权力 $L$. 这是因为权力 $T$ 改变 定理 7.4.9。 $R_L$ 已经关了。
证明。让 $X_1$ 成为一个补充 $N_L$ 在 $H$.一个存在于第 $6.4$ 节中的示例 6 中。我们可以选择 $X_1=N_L^{\perp}$, 但我 们没有进行此选择，因为以下证明的其余部分适用于任何补充 $N_L$. 我们首先证明以下事实: 存在一个常数 $\delta>0$ 这样 $|L u| \geq \delta|u|$ 对于每个 $u \in X_1$. 假设不是。那么存在一个序列 $\left(u_n\right)$ 在 $X_1$ 这样 $\left|u_n\right|=$ $1,\left|L u_n\right|<1 / n$. 清楚地, $L u_n \rightarrow 0$ 作为 $n \rightarrow \infty$. 自从 $T$ 是紧致的, Tun 包含一个收敛子序列, $w w w_n$. 因此 $w_n=\frac{1}{\lambda} T w_n-\frac{1}{\lambda} L w_n$ 是收敛的。让 $w=\lim n w_n$. 自从 $X_1$ 已经关了, $w \in X_1$. 现在 $w=\lim _n w_n=\frac{1}{\lambda} \lim _n\left(T w_n-L w_n\right)=\frac{1}{\lambda} T w$. 因此 $T w=\lambda w ;$ 因此 $w \in N_L \cap X_1=0$. 这与以 下事实相矛盾 $|w|=\lim _n\left|w_n\right|=1$ 并确立事实。我们现在证明 $R_L$ 已经关了。 认为 $L y_n$ 是一个收敛序列 $R_L$. 我们需要证明 $\lim _n L y_n \in R_L$. 写 $y_n=u_n+w_n$, 在哪里 $u_n \in X_1$, $w_n \in N_L$. 注意 $L y_n=L u_n$, 所以 $L u_n$ 是收敛的。综上所述, $\left|u_n-u_m\right| \leq \frac{1}{\delta}\left|L u_n-L u_m\right| \rightarrow 0$ 作为 $m, n \rightarrow \infty$. 因此 $u_n$ 是一个柯西序列，所以 $u=\lim u_n$ 存在。最后， $\lim _n L u_n=L u$. 作为 $m, n \rightarrow \infty$. 因此 $u_n$ 是一个柯西序列, 所以 $u=\lim u_n$ 存在。最后, $\lim _n L u_n=L u$. 评论。(a) 定理 7.4.9 的直接结果是 $\mathrm{H}=\mathrm{N}{\text {_ }\left{\mathrm{L}^{\wedge}\right} \text { \oplus R_L }}$, 因为, 根据定理 7.3.12,
$\backslash$ bar ${R} L=N\left{L^{\wedge}\right}^{\wedge}{\backslash p e r p}$. 自从 $R_L$ 已经关了, $R_{-} L^{\prime}=N_{-}\left{L^{\wedge}\right}^{\wedge}{\backslash p e r p}$, 这就是涐们寻求的结果。(b) 由于 $L^{-} T^{-} \bar{\lambda} I$, 和 $\left[T^{\wedge} \mid\right.$ 是紧致的, 上述定理意味着 $\left[N_{-}\left{L^{\wedge}\right}\right.$ 是有限维的, 并且 $R_{-}\left{L^{\wedge}\right}$ 已经关]。如备注 $a$, $\mathrm{H}=\mathrm{N}2 L$ loplus R{L^ $}$. (c) 根据上述说明,
在本小节的末尾。见定理 7.4.15。
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。