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数学分析Mathematical Analysis MTH131LR这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的,它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学;然而,它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间(拓扑空间)或对象之间的特定距离(公制空间)。

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数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Orthonormal Bases and Fourier Series

In the introduction to section $7.1$, we made the case for the existence of a maximal orthonormal sequence $\left{u_1, u_2, \ldots\right}$ in a Hilbert space $H$. As you will see in this section, some Hilbert spaces do not admit countable maximal orthonormal subsets. Perhaps we must first tackle the problem of the existence of a maximal orthogonal subset of $H$, then examine the problem of which Hilbert spaces possess a countable such subset. In this section, we provide solutions to both problems and reveal the basic structure of a Hilbert space, hence paving the way to answer the problems posed in section $4.10$.
The proof of the following theorem can be seen in section 3.7.
Theorem 7.2.1. An orthogonal subset $S$ of a Hilbert space $H$ is independent.
Definition. An orthonormal basis for a Hilbert space $H$ is a maximal orthonormal subset of $H$. An orthonormal subset of $H$ is maximal if it is not properly contained in another orthonormal subset of $H$.
Example 1. We show that $\left{e_n: n \in \mathbb{N}\right}$ is an orthonormal basis for $l^2$.
It is clear that $S$ is orthonormal. If $x=\left(x_n\right) \in l^2$ is orthogonal to $S$, then, for every $n \in \mathbb{N}, x_n=\left\langle x, e_n\right\rangle=0$, and hence $x=0$.

In the theorem below, we prove a little more than the existence of an orthonormal basis for an arbitrary Hilbert space.

数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Self-Adjoint Operators

This section establishes the broad characteristics of self-adjoint operators. We also study projection operators and prove a theorem (7.3.11) which produces ample examples of self-adjoint operators. Self-adjoitness (more generally, normality) is not nearly sufficient to produce a result resembling the spectral theorem for normal operators on finite-dimensional inner product spaces. The complete picture emerges in the next section.

In the finite-dimensional case, the definition of the adjoint is straightforward, owing to the simplicity of the characterization of linear functional on a finitedimensional inner product spaces (see example 9 in section 3.7). The definition below in the infinite-dimensional case requires the full power of the Riesz representation theorem. Let $H$ be a separable Hilbert space, and let $T \in \mathcal{L}(H)$. For a fixed element $y \in H$, define a functional $\lambda_y$ by $\lambda_y(x)=\langle T x, y\rangle$. It is clear that $\lambda_y$ is linear. In fact, $\lambda_y$ is bounded since $\left|\lambda_y(x)\right|=|\langle T x, y\rangle| \leq|T x|||y|\leq| T|| x||| y||$. By the Riesz representation theorem, there exists a unique element $T^* y \in H$ such that, for all $x \in H, \lambda_y(x)=\left\langle x, T^* y\right\rangle$. We therefore have a function $T^: H \rightarrow H$ defined by the requirement that $$ \langle T x, y\rangle=\left\langle x, T^ y\right\rangle
$$
for all $x, y \in H$.
The above equation is the defining property of the adjoint operator $T^*$ of $T$. The reader can easily see that the definition is consistent with the definition of the adjoint operator on a Banach space that was introduced in section 6.6.

It is easy to verify that $T^$ is linear. For example, $$ \begin{aligned} \left\langle x, T^\left(y_1+y_2\right)\right\rangle &=\left\langle T x, y_1+y_2\right\rangle=\left\langle T x, y_1\right\rangle+\left\langle T x, y_2\right\rangle \
&=\left\langle x, T^* y_1\right\rangle+\left\langle x, T^* y_2\right\rangle=\left\langle x, T^* y_1+T^* y_2\right\rangle
\end{aligned}
$$
This shows that $T^\left(y_1+y_2\right)=T^\left(y_1\right)+T^\left(y_2\right)$. We now show that $T^ \in \mathcal{L}(H)$. $\left|T^* y\right|^2=\left\langle T^* y, T^* y\right\rangle=\left\langle T\left(T^* y\right), y\right\rangle \leq\left|T\left(T^* y\right)\right||y| \leq|T|\left|T^* y\right||y|$. Thus $\left|T^* y\right| \leq$ $|T||y|$ for every $y \in H$. Hence $T^* \in \mathcal{L}(H)$, and $\left|T^*\right| \leq|T|$.

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数学分析代写

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在介绍部分 $7.1$, 我们证明了最大正交序列的存在 \left {u_1, u_2, \dots $\backslash$ right $}$ 在希尔伯特空间 $H$. 正如您将 在本节中看到的, 一些希尔伯特空间不允许可数最大正交子集。也许我们必须首先解决存在的最大正交子集 的问题 $H$ ,然后检查哪些希尔伯特空间具有可数这样的子集的问题。在本节中,我们提供了这两个问题的解
以下定理的证明见第 $3.7$ 节。 定理 7.2.1。正交子集 $S$ 希尔伯特空间 $H$ 是独立的。
定义。希尔伯特空间的标准正交基 $H$ 是的最大正交子集 $H$. 的正交子集 $H$ 如果它汥有正确包含在另一个正交 子集中,则它是最大的 $H$.
示例 1. 我们证明了 \eft $\left{\mathrm{e} \mathrm{n}: \mathrm{n} \backslash\right.$ in \mathbb $\left.{\mathrm{N}} \backslash \operatorname{right}^2\right}$ 是一个正交基 $l^2$. 很清楚 $S$ 是正交的。如果 $x=\left(x_n\right) \in l^2$ 正交于 $S$, 那么, 对于每个 $n \in \mathbb{N}, x_n=\left\langle x, e_n\right\rangle=0$, 因此 $x=0$.
在下面的定理中, 我们证明的不仅仅是任意希尔伯特空间的正交基的存在。


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本节确立了自伴算子的广泛特征。我们还研究了投影算子并证明了一个定理 (7.3.11),该定理产生了自伴
算子的大量示例。自伴随性 (更一般地说, 正态性) 不足以产生类似于有限维内积空间上的正态算子的谱定 理的结果。完整的画面出现在下一节中。
在有限维的情况下, 伴随的定义很简单, 因为在有限维内积空间上线性泛函的表征很简单(参见第 $3.7$ 节中
的示例 9)。下面在无限维情况下的定义需要 Riesz 表示定理的全部力量。让 $H$ 是一个可分离的希尔伯特空
间, 并且让 $T \in \mathcal{L}(H)$. 对于固定元素 $y \in H$, 定义一个泛函 $\lambda_y$ 经过 $\lambda_y(x)=\langle T x, y\rangle$.很清楚 $\lambda_y$ 是线性
的。实际上, $\lambda_y$ 是有界的, 因为 $\left|\lambda_y(x)\right|=|\langle T x, y\rangle| \leq|T x||y| \leq|T||x||| y |$. 根据 Riesz 表示定理, 存在唯一元素 $T^* y \in H$ 这样,对于所有人 $x \in H, \lambda_y(x)=\left\langle x, T^* y\right\rangle$. 因此我们有一个函数 $T^{:} H \rightarrow H$ 由要求定义
$$
\langle T x, y\rangle=\left\langle x, T^y\right\rangle
$$
对所有人 $x, y \in H$.
上式是伴随算子的定义性质 $T^$ 的 $T$. 读者可以很容易地看出,该定义与 $6.6$ 节介绍的 Banach 空间上的伴随 算子的定入是一致的。 很穼易验证 $T^{\wedge}$ 是线性的。例如, $$ \left\langle x, T^{\left(y_1+y_2\right)}\right\rangle=\left\langle T x, y_1+y_2\right\rangle=\left\langle T x, y_1\right\rangle+\left\langle T x, y_2\right\rangle \quad=\left\langle x, T^ y_1\right\rangle+\left\langle x, T^* y_2\right\rangle=\left\langle x, T^* y_1+T^{\ominus}\right.
$$
这表明 $T^{\left(y_1+y_2\right)}=T^{\left(y_1\right)}+T^{\left(y_2\right)}$. 我们现在证明 $T^{\in} \mathcal{L}(H)$.
$\left|T^* y\right|^2=\left\langle T^* y, T^* y\right\rangle=\left\langle T\left(T^* y\right), y\right\rangle \leq\left|T\left(T^* y\right)\right||y| \leq|T|\left|T^* y\right||y|$. 因此 $\left|T^* y\right| \leq|T||y|$ 对于 每个 $y \in H$. 因此 $T^* \in \mathcal{L}(H)$, 和 $\left|T^\right| \leq|T|$. 每个 $y \in H$. 因此 $T^ \in \mathcal{L}(H)$, 和 $\left|T^*\right| \leq|T|$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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