数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|MA3205 CONSTRUCTING PAIRS OF PATCHES

如果你也在 怎样代写曲线和曲面Curves And Surfaces MA3205这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。曲线和曲面Curves And Surfaces是指在一个平面上平滑地画出的线条,其中有一个弯曲或转弯。面是物体的一个平面或区域。曲线是一维的。一个表面是二维的。测量曲面上某一点的高斯曲率的一个方法是,在曲面上取一个半径为r的小圆,圆心在该点,计算圆的周长或面积。

曲线和曲面Curves And Surfaces在数学中,曲线(在较早的文本中也称为曲线)是一种类似于直线的物体,但它不一定是直线。直观地说,曲线可以被认为是一个移动的点所留下的痕迹。这是2000多年前出现在欧几里德《元素》中的定义。”[弯曲的]线[a]是[……]第一种量,它只有一个维度,即长度,没有任何宽度或深度,而且无非是点的流动或运行,[……]将从其假想的移动中留下一些长度上的痕迹,免除任何宽度。”

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Now we are getting closer to practical constructions of pairs of patches whose junctions are of class $G^1$ and $G^2$. A higher order continuity is rarely needed and, if necessary, the constructions described below may be extended in the obvious way. We use Bézier representation of the patches.
A key element of the construction is the auxiliary patch, denoted by $p$. One of its boundary curves (corresponding to $t=0$ in all examples in this section) becomes the common curve (corresponding to $v=0$ ) of the two patches $p^*$ to be constructed. The tangent plane of the auxiliary patch at each point of this curve will be their tangent plane. If the final patches are supposed to form a surface of class $G^2$, then the auxiliary patch determines also their normal curvature in all directions. The cross-boundary derivatives of each element of the pair will be constructed with its own set of polynomial junction functions. Their degrees are limited by the maximal degree of the final patch in the way explained with examples below.

The first example is a construction of polynomial patches shown in Figure 3.6, whose junction is of class $G^1$. The degree of the auxiliary patch is $(3,1)$, and the degree of the final patches with respect to the parameter $u$ is 5 . The Bézier representation of the common boundary curve of the final patches is obtained by degree elevation (from $n=3$ to $n^=5$, see Section A.2.3) of the boundary curve of the auxiliary patch. The first-order cross-boundary derivatives of the final patches are obtained using the formula $$ \boldsymbol{p}_v^=b_1 \overline{\boldsymbol{p}}_s+c_1 \overline{\boldsymbol{p}}_t .
$$
The degree of the product of polynomial functions is the sum of degrees of the factors. We do not assume any degree reduction (due to cancellation of the terms of the highest degree), nor the possibility of dividing the expression on the right-hand side by any polynomial $d$ of degree greater than 0 ; the reasons were explained in the previous section. The degree of the function $\bar{p}_s$, which is the derivative of the boundary curve of the auxiliary patch, is $n-1=2$, and the crossboundary derivative $\overline{\boldsymbol{p}}_t$ is of degree 3 . Hence, in our example the degrees of the polynomials $b_1$ and $c_1$ must not exceed 3 and 2 respectively to guarantee that the cross-boundary derivative $\boldsymbol{p}_v^*$ is at most quintic. Two polynomials $c_1$ used to obtain the cross-boundary derivatives of the two final patches must have constant and opposite signs in the interval $[0,1]$ in order to avoid getting a cusp-like junction; one of the final patches makes a cusp-like junction with the auxiliary patch. Apart from that, the junction polynomials may be arbitrary.

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We consider two bicubic B-spline patches denoted by $\boldsymbol{q}$ and $\boldsymbol{r}$. The domains of the parametrisations $\boldsymbol{q}(u, v)$ and $\boldsymbol{r}(u, v)$ are the rectangles $[c, d] \times[a, b]$ and $[e, f] \times[a, b]$ respectively; the range of the parameter $v$ for both patches is the same interval $[a, b]$, though the sequences of ” $v$ ” knots for the two patches may be different. Our purpose is to fill the gap between the boundary curves $\overline{\boldsymbol{q}}(v)=\boldsymbol{q}(d, v)$ and $\boldsymbol{r}(v)=\boldsymbol{r}(e, v)$ with another spline patch, $\boldsymbol{s}$, whose domain is $[0,1] \times[a, b]$ and whose two boundary curves, $s(v)=\boldsymbol{s}(0, v)$ and $\overline{\boldsymbol{s}}(v)=\boldsymbol{s}(1, v)$, coincide with the curves $\overline{\boldsymbol{q}}$ and $\boldsymbol{r}$. Our goal is to obtain a surface of class $G^1$ made of the patches $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{r}$ and $\boldsymbol{s}$.

We might easily construct a spline patch $s$ whose all curves of constant parameter $v$ are cubic polynomial curves, with the boundary curves $\boldsymbol{s}=\overline{\boldsymbol{q}}$ and $\overline{\boldsymbol{s}}=\boldsymbol{r}$ and with the cross-boundary derivatives $\boldsymbol{s}_u=\overline{\boldsymbol{q}}_u$ and $\overline{\boldsymbol{s}}_u=\boldsymbol{r}_u{ }^7$ The trouble is that the width of the gap varies with $v$, and the length of the cross-boundary derivative vectors of the given patches also varies in a way unrelated to the gap width. A patch filling the gap, obtained as mentioned above, will probably have an unsatisfactory shape.

Let the function $d$ describe the distance between the corresponding points of the boundary curves of the given patches: $d(v)=|\overline{\boldsymbol{q}}(v)-\boldsymbol{r}(v)|_2$. To obtain a good result often (though not always) it suffices to rescale the cross-boundary derivatives $\overline{\boldsymbol{q}}_u$ and $\boldsymbol{r}_u$ and obtain the crossboundary derivatives of the patch $s$ such that $\left|\boldsymbol{s}_u(v)\right|_2=\left|\overline{\boldsymbol{s}}_u(v)\right|_2=d(v)$ for all $v \in[a, b]$. The construction may be done by taking
$$
\boldsymbol{s}_u(v)=c_1(v) \overline{\boldsymbol{q}}_u(v) \quad \text { and } \quad \overline{\boldsymbol{s}}_u(v)=g_1(v) \boldsymbol{r}_u(v),
$$
where
$$
c_1(v)=\frac{d(v)}{\left|\overline{\boldsymbol{q}}_u(v)\right|_2} \quad \text { and } \quad g_1(v)=\frac{d(v)}{\left|\boldsymbol{q}_u(v)\right|_2} .
$$
Formulae (3.16) are variants of (3.3), with the zero junction functions multiplying the derivative of the boundary curve. The scaling factors $c_1$ and $g_1$ are the junction functions multiplying the cross-boundary derivatives. They are transcendental because of the square root in the formula used to define the norm. An example is shown in Figure 3.10. To obtain spline vector functions which describe cross-boundary derivatives, and then a spline patch filling the gap, we have two ways.

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曲线和曲面代写

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以明显的方式扩展下面描述的结构。我们使用衴丁的贝塞尔表示。 建筑的一个关键元素是辅助补丁, 表示为 $p$. 其边界曲线之- (对爫于 $t=0$ 在本节的所有示例中) 成为公共 曲线 (对应于 $v=0$ ) 的两个补丁 $p^*$ 被建造。该曲线每个点的辅助面片的切面将是它们的切面。如果最终的 补丁应该形成一个类的表面 $G^2$, 那么辅助面片也确定了它们在所有方向上的法线曲率。该对中每个元素的 跨界导数将使用其目己的一组多项式连接㖤数来构造。它们的度数営到最终补丁的最大数的限制,如下面 跨界导数将使用其自口
第一个例子是如图 3.6所示的多项式补丁的构造,它的连接是类 $G^1$. 辅助补丁的程度是 $(3,1)$, 以及最终补
$n=5$, 见辅助贴片边界曲线的 A.2.3 节) 。使用公式 $\$ \$ \backslash$ boldsymbol{p $}$. $v^{\wedge}=b_{-} 1$
和 $c_1$ 不能分别超过 3 和 2 以保证跨界导数 $\$ \leq$ boldsymbol ${\mathrm{p}}$ }_ $\mathrm{v}^{\wedge *}$
isatmostquintic. Twopolynomialsc_1
usedtoobtainthecross – boundaryderivativesofthetwofinalpatchesmusthaveconstantar
${[0,1]$ 以以避灷 $} $ 以是任意的。


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我们考虑两个双三次 B 样条补丁, 表示为 $q$ 和 $r$. 参数化的领域 $q(u, v)$ 和 $r(u, v)$ 是矩形 $[c, d] \times[a, b]$ 和
$[e, f] \times[a, b]$ 分别; 㕕数范围 $v$ 对于两个补丁是相同的间隔 $[a, b]$, 尽管” 的序列 $v$ “两个补丁的结可能不同。
我们的目的是填补边界曲线之间的空隙 $\bar{q}(v)=q(d, v)$ 和 $\$ \lesseqgtr$ boldsymbol ${\mathrm{r}} .(\mathrm{v})=\backslash$ boldsymbol ${\mathrm{r}}(\mathrm{e}, \mathrm{v})$ withanothersplinepatch, $\backslash$ boldsymbol ${\mathrm{s}}$, whosedomainis $[0,1] \backslash \uparrow \mathrm{imes}[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$
withanothersplinepatch, $\backslash$ boldsymbol ${\mathrm{s}}$, whosedomainis $[0,1] \backslash$ times $[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$
$\backslash$ boldsymbol{q}, \boldsymbol{r}and $\backslash$ boldsymbol{s} $\$$ 。
我们可以很容易地构造一个样条补丁 $s$ 其所有恒定参数曲线 $v$ 是三次多项式曲线, 边界曲线 $\$$ Thetroubleisthatthewidthofthegapvarieswith $\vee \$$, 并且给定补丁的跨界导数门 间隙宽度无关的方式变化。如上所述获得的填充间隙的贴片可能具有不今人满意的形状。
让函数 $d$ 描述给定块的边
|boldsymbol{r}. (v)|2 . Toobtainagoodresultoften(thoughnotalways)itsufficestorescalethecross – boundaryderiva loverline ${\backslash$ boldsymbol{q}}__uand $\$ boldsymbol ${$ r $}$.
andobtainthecrossboundaryderivativesofthepatch $s s u c h t h a t \backslash \frac{1}{1} \mid \leq$ boldsymbol ${$ s $}$.
where $g_{\$ \$} 1(v)=\backslash$ frac ${d(v)}{\backslash l e f t \mid \backslash$ boldsymbol ${g}$. $u(v) \backslash$ right|_2 。
$\$ 4$
公式 (3.16) 是 (3.3) 的变体, 其中零连接函数䉾以边界曲线的导数。比例因子 $c_1$ 和 $g_1$ 是与跨界导数相乘的连
接函数。官们是超越的, 因为用于昰义规范的公式中的平方根。图 $3.10$ 显示了一个示例。为了获得描述跨 界导数的样条向亶函数, 然后使用样条补丁填补空白, 我们有两种方法。

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微观经济学代写

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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