如果你也在 怎样代写实分析Real Analysis MATHS2100这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析Real Analysis在数学中，实分析是数学分析的一个分支，研究实数、实数序列和实数函数的行为。实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平稳性、可微分性和可整定性。
实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如，将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间，将实分析与一般拓扑学领域联系起来，而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物，导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念，以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。
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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Pointwise Convergence of Fourier Series
We now turn our attention to the question of pointwise convergence of a Fourier series to its defining function. It is known that even if the function is continuous, this is not always possible; additional hypothesis on the function $f$ will be required. As was indicated in the introduction, Dirichlet was the first to find sufficient conditions on the function $f$ so that the Fourier series of $f$ converges to $f$. For the proof of his result we need several preliminary lemmas.
LEMMA 9.5.1 Let $f$ be a periodic real-valued function on $\mathbb{R}$ of period $2 \pi$ with $f \in \mathcal{R}[-\pi, \pi]$. Fix $x \in \mathbb{R}$. Then for any real number $A$,
$$
S_n(x)-A=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi\left[\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-A\right] D_n(t) d t,
$$
where $D_n$ is the Dirichlet kernel and $S_n$ is the nth partial sum of the Fourier series of $f$.
Proof. By Theorem 9.4.1,
$$
S_n(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) D_n(x-t) d t,
$$
which by the change of variable $s=x-t$,
$$
=-\frac{1}{\pi} \int_{x+\pi}^{x-\pi} f(x-s) D_n(s) d s=\frac{1}{\pi} \int_{x-\pi}^{x+\pi} f(x-s) D_n(s) d s .
$$
Since both $f$ and $D_n$ are periodic of period $2 \pi$, by Theorem 8.6.3
$$
\frac{1}{\pi} \int_{x-\pi}^{x+\pi} f(x-s) D_n(s) d s=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-s) D_n(s) d s .
$$
Therefore,
$$
S_n(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 f(x-s) D_n(s) d s+\frac{1}{\pi} \int_0^\pi f(x-s) D_n(s) d s .
$$
In the first integral set $u=-s$. Then since $D_n(-u)=D_n(u)$,
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 f(x-s) D_n(s) d s &=-\frac{1}{\pi} \int_\pi^0 f(x+u) D_n(u) d u \
&=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi f(x+s) D_n(s) d s .
\end{aligned}
$$
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Dirichlet’s Theorem
Before we state and prove Dirichlet’s theorem, we briefly review some notation introduced in Chapter 4. For a real-valued function $f$ defined in a neighborhood of a given point $p$, the right and left limits of $f$ at $p$, denoted $f(p+)$ and $f(p-)$ respectively, are defined by
$$
f(p+)=\lim {x \rightarrow p^{+}} f(x) \quad \text { and } \quad f(p-)=\lim {x \rightarrow p^{-}} f(x),
$$
provided of course that the limits exist.
THEOREM 9.5.3 (Dirichlet) Let $f$ be a real-valued periodic function on $\mathbb{R}$ of period $2 \pi$ with $f \in \mathcal{R}[-\pi, \pi]$. Suppose $x_o \in \mathbb{R}$ is such that
(a) $f\left(x_o+\right)$ and $f\left(x_o-\right)$ both exist, and
(b) there exists a constant $M$ and a $\delta>0$ such that
$$
\left|f\left(x_o+t\right)-f\left(x_o+\right)\right| \leq M t \quad \text { and } \quad\left|f\left(x_o-t\right)-f\left(x_o-\right)\right| \leq M t
$$
for all $t, 0<t \leq \delta$, then
$$
\lim {n \rightarrow \infty} S_n\left(x_o\right)=\frac{1}{2}\left[f\left(x_o+\right)+f\left(x_o-\right)\right] . $$ Remark. If $f$ is continuous at $x_o$, then $\frac{1}{2}\left[f\left(x_o+\right)+f\left(x_o-\right)\right]=f\left(x_o\right)$, and thus $$ \lim {n \rightarrow \infty} S_n\left(x_o\right)=f\left(x_o\right),
$$
provided of course that the inequalities (10) hold.
Proof. Set $A=\frac{1}{2}\left[f\left(x_o+\right)+f\left(x_o-\right)\right]$. By Lemma 9.5.1
$$
\begin{aligned}
&S_n\left(x_o\right)-A=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi\left[\frac{f\left(x_o+t\right)+f\left(x_o-t\right)}{2}-A\right] D_n(t) d t \
&=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi\left[\left(f\left(x_o+t\right)-f\left(x_o+\right)\right)+\left(f\left(x_o-t\right)-f\left(x_o-\right)\right)\right] \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) t}{2 \sin \frac{t}{2}} d t \
&=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi g_1(t) \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) t d t+\frac{1}{\pi} \int_0^\pi g_2(t) \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) t d t
\end{aligned}
$$
where
$$
g_1(t)=\frac{f\left(x_o+t\right)-f\left(x_o+\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} \quad \text { and } \quad g_2(t)=\frac{f\left(x_o-t\right)-f\left(x_o-\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} .
$$
To prove the result, it suffices to show that the functions $g_1$ and $g_2$ are Riemann integrable on $[0, \pi]$. If this is the case, then by Lemma 9.5.2,
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \int_0^\pi g_i(t) \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) t d t=0, \quad i=1,2 . $$ Therefore, $$ \lim {n \rightarrow \infty} S_n\left(x_o\right)=A=\frac{1}{2}\left[f\left(x_o+\right)+f\left(x_o-\right)\right]
$$
实分析代写
数学代写|实分析代写Real Analysis代 考|Pointwise Convergence of Fourier Series
我们现在将注意力转向傅里叶级数到其定义函数的逐点收敛问题。众所周知, 即使函数是连续的, 这也不总 是可能的; 关于函数的附加假设 $f$ 将被要求。正如引言中所指出的, 狄利克雷是第一个找到函数的充分条件 的人 $f$ 使得傅里叶级数 $f$ 收敛到 $f$. 为了证明他的结果, 我们需要几个初步的引理。
引理 9.5.1 让 $f$ 是一个周期实值函数 $\mathbb{R}$ 期间 $2 \pi$ 和 $f \in \mathcal{R}[-\pi, \pi]$. 使固定 $x \in \mathbb{R}$. 那么对于任何实数 $A$,
$$
S_n(x)-A=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi\left[\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-A\right] D_n(t) d t
$$
在娜里 $D_n$ 是狄利克雷核和 $S_n$ 是傅里叶级数的第 $\mathrm{n}$ 个部分和 $f$.
证明。根据定理 9.4.1,
$$
S_n(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) D_n(x-t) d t,
$$
通过变量的变化 $s=x-t$,
$$
=-\frac{1}{\pi} \int_{x+\pi}^{x-\pi} f(x-s) D_n(s) d s=\frac{1}{\pi} \int_{x-\pi}^{x+\pi} f(x-s) D_n(s) d s .
$$
由于两者 $f$ 和 $D_n$ 是周期性的 $2 \pi$, 由定理 $8.6 .3$
$$
\frac{1}{\pi} \int_{x-\pi}^{x+\pi} f(x-s) D_n(s) d s=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x-s) D_n(s) d s .
$$
所以，
$$
S_n(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 f(x-s) D_n(s) d s+\frac{1}{\pi} \int_0^\pi f(x-s) D_n(s) d s .
$$
在第一积分集中 $u=-s$. 那么自从 $D_n(-u)=D_n(u)$ ，
$$
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 f(x-s) D_n(s) d s=-\frac{1}{\pi} \int_\pi^0 f(x+u) D_n(u) d u=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi f(x+s) D_n(s) d s .
$$
数学代写|实分析代写Real Analysis代 考|Dirichlet’s Theorem
在我们陈述和证明 Dirichlet 定理之前, 我们简要回顾一下第 4 章介绍的一些符号。对于实值函数 $f$ 在给定 点的邻域中定义 $p$, 的右边界和左边界 $f$ 在 $p$, 表示 $f(p+)$ 和 $f(p-)$ 分别定义为
$$
f(p+)=\lim x \rightarrow p^{+} f(x) \text { and } f(p-)=\lim x \rightarrow p^{-} f(x),
$$
当然, 前提是存在限制。
定理 $9.5 .3$ (Dirichlet) 让 $f$ 是一个实值周期函数 $\mathbb{R}$ 期间 $2 \pi$ 和 $f \in \mathcal{R}[-\pi, \pi]$. 认为 $x_o \in \mathbb{R}$ 是这样的
(a) $f\left(x_o+\right)$ 和 $f\left(x_o-\right)$ 两者都存在, 并且
(b) 存在一个常数 $M$ 和一个 $\delta>0$ 这样
$$
\left|f\left(x_o+t\right)-f\left(x_o+\right)\right| \leq M t \quad \text { and } \quad\left|f\left(x_o-t\right)-f\left(x_o-\right)\right| \leq M t
$$
对所有人 $t, 0<t \leq \delta$, 然后
$$
\lim n \rightarrow \infty S_n\left(x_o\right)=\frac{1}{2}\left[f\left(x_o+\right)+f\left(x_o-\right)\right] .
$$
评论。如果 $f$ 是连续的 $x_o$, 然后 $\frac{1}{2}\left[f\left(x_o+\right)+f\left(x_o-\right)\right]=f\left(x_o\right)$, 因此
$$
\lim n \rightarrow \infty S_n\left(x_o\right)=f\left(x_o\right),
$$
当然, 前提是不等式 (10) 成立。
证明。放 $A=\frac{1}{2}\left[f\left(x_o+\right)+f\left(x_o-\right)\right]$. 引理 9.5.1
$$
S_n\left(x_o\right)-A=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi\left[\frac{f\left(x_o+t\right)+f\left(x_o-t\right)}{2}-A\right] D_n(t) d t \quad=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi\left[\left(f\left(x_o+t\right)-f\left(x_o+(t)\right)\right.\right.
$$
在哪里
$$
g_1(t)=\frac{f\left(x_o+t\right)-f\left(x_o+\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} \quad \text { and } \quad g_2(t)=\frac{f\left(x_o-t\right)-f\left(x_o-\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} .
$$
为了证明结果, 只需证明函数 $g_1$ 和 $g_2$ 黎曼可积在 $[0, \pi]$. 如果是这种情况, 那么根据引理 9.5.2,
$$
\lim n \rightarrow \infty \int_0^\pi g_i(t) \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) t d t=0, \quad i=1,2 .
$$
所以，
$$
\lim n \rightarrow \infty S_n\left(x_o\right)=A=\frac{1}{2}\left[f\left(x_o+\right)+f\left(x_o-\right)\right]
$$
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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。