如果你也在 怎样代写数论Number theory MAST90136学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Computation of Class Number
In this section, some applications of Theorem $8.14$ are given. First we define signature of an algebraic number field $K$.
Definition. Let $K$ be an algebraic number field of degree $n=r_1+2 r_2$ having $r_1$ real isomorphisms and $2 r_2$ non-real isomorphisms, then $\left[r_1, r_2\right]$ is called the signature of $K$.
Example 8.18 We compute the class number of $K=\mathbb{Q}(\theta)$, where $\theta$ satisfies the polynomial $X^3-X+1$. In view of Example $2.19, d_K=-23$. Since the discriminant is negative, all the isomorphisms of $K$ into $\mathbb{C}$ can’t be real. So signature of $K$ is $[1,1]$. By Theorem $8.14$, in every ideal class of $K$, there exists an (integral)ideal $B$ such that $N(B) \leq\left(\frac{4}{\pi}\right) \frac{3 !}{3^3} \sqrt{23}<2$. So $N(B)=1$ and hence $B=\mathcal{O}_K$. Therefore there is only one ideal class namely $P(K)$ i.e., the class number of $K$ is one.
Example 8.19 We compute the class number of $K=\mathbb{Q}(\sqrt{10})$. Here $d_K=40$. By Theorem 8.14, in every ideal class of $K$, there exists an ideal $B$ such that $N(B) \leq$ $\frac{2 !}{2^2} \sqrt{40}<4$. We first look for ideals of $\mathcal{O}K$ having norm 2. In view of Theorem $4.11$, $2 \mathcal{O}_K=\mathfrak{p}_2^2$ with $N\left(\mathfrak{p}_2\right)=2$. We check whether $\mathfrak{p}_2$ is a principal ideal or not. Note that $\mathfrak{p}_2$ is principal if and only if there exist $a, b \in \mathbb{Z}$ such that $2=N\left(\mathfrak{p}_2\right)=\mid N{K / \mathbb{Q}}(a+$ $b \sqrt{10}) \mid$ i.e., $\mathfrak{p}2$ is principal if and only if $a^2-10 b^2=\pm 2$ for some $a, b \in \mathbb{Z}$, which is impossible because the congruence $x^2 \equiv \pm 2(\bmod 5)$ is not solvable. Next we look for ideals of norm 3. By Theorem $4.11,3 \mathcal{O}_K=\mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}_3^{\prime}$ where $\mathfrak{p}_3, \mathfrak{p}_3^{\prime}$ are distinct prime ideals with $N\left(\mathfrak{p}_3\right)=N\left(\mathfrak{p}_3^{\prime}\right)=3$. If $\mathfrak{p}_3$ or $\mathfrak{p}_3^{\prime}$ is principal ideal, then $a^2-10 b^2=\pm 3$ for some $a, b \in \mathbb{Z}$ which is again impossible as the congruence $x^2 \equiv \pm 3(\bmod 5)$ is not solvable. So $\mathfrak{p}_3$ and $\mathfrak{p}_3^{\prime}$ are not principal ideals. Keeping in mind that $N{K / \mathbb{Q}}(2+$ $\sqrt{10})=-6$, it follows that $\langle 2+\sqrt{10}\rangle$ is the product of $\mathfrak{p}_2$ with an ideal of norm 3 , say $\sqrt{10})=-6$, it follows that $\langle 2+\sqrt{10}\rangle$ is the product of $\mathfrak{p}_2$ with an ideal of norm 3 , say $\langle 2+\sqrt{10}\rangle=\mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3$. Since $\langle 2+\sqrt{10}\rangle \neq\langle 2-\sqrt{10}\rangle$, we see that $\langle 2-\sqrt{10}\rangle=\mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3^{\prime}$. So $\mathfrak{p}_3, \mathfrak{p}_3^{\prime}$ lie in the ideal class of $\mathfrak{p}_2^{-1}$ which is same as the ideal class of $\mathfrak{p}_2$. Hence there are only two ideal classes $P(K), \mathfrak{p}_2 P(K)$. Therefore the class number of $K$ is 2.
数学代写|数论代写Number Theory代考|Hermite’s Theorem on Discriminant
In this section, we prove a well known theorem which was first proved by Hermite in 1857 using quadratic forms. About 30 years later, Minkowski gave a different proof of this theorem. The proof given here resembles with the one given by Minkowski and makes use of Minkowski’s convex body theorem.
Theorem 8.27 (Hermite). Only a finite number of algebraic number fields can have the same discriminant.
Proof In view of Corollary $8.15$, it suffices to show that there exist only finitely many algebraic number fields with a fixed degree $n=r_1+2 r_2$ whose discriminant has a given value $d_0$. Let $K$ be one such field. We shall show that $K$ has finitely many choices. In the space $\mathbb{R}^n$ consisting of all points $\left(x_1, \ldots, x_{r_1}, y_1, z_1, \ldots, y_{r_2}, z_{r_2}\right)$, consider the subset $S$ defined in case $r_1>0$ by
$$
\left|x_1\right|<\sqrt{\left|d_0\right|+1},\left|x_k\right|<1,2 \leq k \leq r_1, y_j^2+z_j^2<1,1 \leq j \leq r_2 $$ and in case $r_1=0, S$ is defined by $$ \left|y_1\right|<\frac{1}{2},\left|z_1\right|<\sqrt{\left|d_0\right|+1}, y_j^2+z_j^2<1, \quad 2 \leq j \leq r_2 $$ Clearly $S$ is bounded, centrally symmetric and open. Using Cauchy-Schwarz inequality as in the proof of Lemma 8.16, it can be easily seen that $S$ is convex. Note that the volume of $S$ is given by $$ \operatorname{vol}(S)=2^{r_1} \pi^{r_2} \sqrt{\left|d_0\right|+1} \text { or } 2 \pi^{r_2-1} \sqrt{\left|d_0\right|+1} $$ according as $r_1>0$ or $r_1=0$. Let $\sigma_1, \ldots, \sigma_{r_1}$ be all the real isomorphisms of $K$ and $\sigma_{r_1+1}, \ldots, \sigma_{r_1+2 r_2}$ be non-real isomorphisms of $K$ arranged so that $\overline{\sigma_{r_1+j}}=\sigma_{r_1+r_2+j}$, $1 \leq j \leq r_2$.
We define a map $\Psi$ from $\mathcal{O}K$ into $\mathbb{R}^n$ by $$ \Psi(\alpha)=\left(\sigma_1(\alpha), \ldots, \sigma{r_1}(\alpha), \operatorname{Re}\left(\sigma_{r_1+1}(\alpha)\right), \operatorname{Im}\left(\sigma_{r_1+1}(\alpha)\right), \ldots, \operatorname{Im}\left(\sigma_{r_1+r_2}(\alpha)\right)\right)
$$
数论代写
数学代写数论代写Number Theory代 考|Computation of Class Number
在本节中, 定理的一些应用 $8.14$ 给出。首先我们定义一个代数数域的签名 $K$.
定义。让 $K$ 是度数的代数域 $n=r_1+2 r_2$ 有 $r_1$ 实同构和 $2 r_2$ 非实同构, 则 $\left[r_1, r_2\right]$ 被称为签名 $K$.
例 $8.18$ 我们计算类数 $K=\mathbb{Q}(\theta)$, 在哪里 $\theta$ 满足多项式 $X^3-X+1$. 鉴于示例 $2.19, d_K=-23$. 由于
判别式为负, 所有的同构 $K$ 进入 $\mathbb{C}$ 不可能是真的。所以签名 $K$ 是 $[1,1]$. 按定理 $8.14$, 在每个理想类 $K$, 存在
一个 (整体) 理想 $B_{\text {这样 }} N(B) \leq\left(\frac{4}{\pi}\right) \frac{3 !}{3^3} \sqrt{23}<2$. 所以 $N(B)=1$ 因此 $B=\mathcal{O}K$. 因此只有一个理想 桊, 即 $P(K)$ 即, 筀级编号 $K$ 是一个。 例 $8.19$ 我们计算类数 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{10})$. 这里 $d_K=40$. 根据定理 8.14, 在每个理想类 $K$, 存在一个理想 $B$ 这 样 $N(B) \leq \frac{2 !}{2^2} \sqrt{40}<4$. 我们首先寻找理想 $\mathcal{O} K$ 有范数 2. 鉴于定理 $4.11,2 \mathcal{O}_K=\mathfrak{p}_2^2$ 和 $N\left(\mathfrak{p}_2\right)=2$. 我 $b \sqrt{10}) \mid$ IE。 $p 2$ 是本金当且仅当 $a^2-10 b^2=\pm 2$ 对于一些 $a, b \in \mathbb{Z}$, 这是不可能的，因闸余 $x^2 \equiv \pm 2(\bmod 5)$ 是无法解决的。接下来我们寻找范数 3 的理想。通过定理 $4.11,3 \mathcal{O}_K=\mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}_3^{\prime}$ 在哪里 $\mathfrak{p}_3, \mathfrak{p}_3^{\prime}$ 是不同的素理想 $N\left(\mathfrak{p}_3\right)=N\left(\mathfrak{p}_3^{\prime}\right)=3$. 如果 $\mathfrak{p}_3$ 或者 $\mathfrak{p}_3^{\prime}$ 是主理想, 那么 $a^2-10 b^2=\pm 3$ 对于一 些 $a, b \in \mathbb{Z}$ 这又是不可能的 $x^2 \equiv \pm 3(\bmod 5)$ 是无法解决的。所以 $\mathfrak{p}_3$ 和 $\mathfrak{p}_3^{\prime}$ 不是主要理想。请记住, $N K / \mathbb{Q}(2+\sqrt{10})=-6$, 它遵循 $\langle 2+\sqrt{10}\rangle$ 是的产品 $p_2$ 具有范数 3 的理想, 例如 $\left.\sqrt{10}\right)=-6$, 它 遵循 $\langle 2+\sqrt{10}\rangle$ 是的产品 $\mathfrak{p}_2$ 具有范数 3 的理想, 例如 $\langle 2+\sqrt{10}\rangle=\mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3$. 自从 $\langle 2+\sqrt{10}\rangle \neq\langle 2-\sqrt{10}\rangle$, 我们看到 $\langle 2-\sqrt{10}\rangle=\mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3^{\prime}$. 所以 $\mathfrak{p}_3, \mathfrak{p}_3^{\prime}$ 位于理想类 $\mathfrak{p}_2^{-1}$ 与理想类相同 $\mathfrak{p}_2$. 因此只有两个理想类 $P(K), p_2 P(K)$. 因此类数 $K$ 是 2。
数学代写|数论代写Number Theory代 考|Hermite’s Theorem on Discriminant
在本节中, 我们证明了一个众所周知的定理, 该定理由 Hermite 在 1857 年使用二次形式首次证明。大约 30 年后, 闵可夫斯基对这个定理给出了不同的证明。这里给出的证明类似于 Minkowski 给出的证明, 并利 用了 Minkowski 的凸体定理。 定理 $8.27$ (埃尔米特)。只有有限数量的代数数域可以具有相同的判别式。 推论的证明 $8.15$, 证明只存在有限多个具有固定度的代数数域就足够了 $n=r_1+2 r_2$ 其判别式具有给定值 $d_0$. 让 $K$ 成为这样一个领域。 我们将证甽 $K$ 有有限多的选择。在空间 $\mathbb{R}^n$ 由所有点组成 $\left(x_1, \ldots, x{r_1}, y_1, z_1, \ldots, y_{r_2}, z_{r_2}\right)$, 考虑子集 $S$ 在情况下定义 $r_1>0$ 经过
$\left(x_1, \ldots, x_{r_1}, y_1, z_1, \ldots, y_{r_2}, z_{r_2}\right)$, 考虑子集 $S$ 在情况下定义 $r_1>0$ 经过 $$ \left|x_1\right|<\sqrt{\left|d_0\right|+1},\left|x_k\right|<1,2 \leq k \leq r_1, y_j^2+z_j^2<1,1 \leq j \leq r_2 $$
万 $-r_1=0, S$ 定义为
$\left|y_1\right|<\frac{1}{2},\left|z_1\right|<\sqrt{\left|d_0\right|+1}, y_j^2+z_j^2<1, \quad 2 \leq j \leq r_2$
清楚地 $S$ 是有界的，中心对称的和开放的。在引理 $8.16$ 的证明中使用 Cauchy-Schwarz 不等式, 很容易看 出 $S$ 是凸的。请注意, 音䵡 $S$ 是 (谁) 给的
$$
\operatorname{vol}(S)=2^{r_1} \pi^{r_2} \sqrt{\left|d_0\right|+1} \text { or } 2 \pi^{r_2-1} \sqrt{\left|d_0\right|+1}
$$
我们定义一个地图 $\Psi$ 从 $\mathcal{O} K$ 进入 $\mathbb{R}^n$ 经过 $\Psi(\alpha)=\left(\sigma_1(\alpha), \ldots, \sigma r_1(\alpha), \operatorname{Re}\left(\sigma_{r_1+1}(\alpha)\right), \operatorname{Im}\left(\sigma_{r_1+1}(\alpha)\right), \ldots, \operatorname{Im}\left(\sigma_{r_1+r_2}(\alpha)\right)\right)$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。