数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Math145 The Assmus–Mattson theorem and its extensions

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数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Math145 The Assmus–Mattson theorem and its extensions

数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|The Assmus–Mattson theorem and its extensions

We introduce a famous theorem by Assmus and Mattson on a construction of designs from codes. Combinatorial 5-designs, which are not directly related to 5-transitive Mathieu groups, were first found by this method [6]. Let $N={1,2, \ldots, n}$ and $F_2={0,1}$. Each element of $F_2^n$ corresponds to a subset of $N$ as follows. For $\boldsymbol{u}=\left(u_1, u_2, \ldots, u_n\right) \in F_2^n$, the subset $\left{i \mid u_i=1,1 \leq i \leq n\right}$ of $N$ is called the support of $\boldsymbol{u}$ and is denoted by $\overline{\boldsymbol{u}}$. If $\boldsymbol{u}$ has weight $m$, then $\overline{\boldsymbol{u}}$ is an $m$-subset of $N$. By this correspondence, the set of codewords in $C$ of weight $m$ is identified with a subset of the set $N^{(m)}$ consisting of $m$-subsets of $N$. This means, in the language of association schemes, a subset in the Hamming scheme $H(n, 2)$ can be described in terms of the Johnson scheme $J(n, m)$.

Theorem $4.1$ (Assmus and Mattson (1969) [6]). Let $C$ be an $[n, k, \delta]$ code over $F_2$. Name$l y, C$ is a $k$-dimensional subspace of $F_2^n$ with minimum distance $\delta$. Let $t<\delta$. Moreover suppose the following condition holds.

There exist at most $\delta-t$ positive integers in ${1,2, \ldots, n-t}$ which arise as the weights of codewords in $C^{\perp}$.
Then the following (1), (2) hold:
(1) $\left{\overline{\boldsymbol{u}} \in N^{(m)} \mid \boldsymbol{u} \in C^{\perp}, w(\boldsymbol{u})=m\right}$ forms a t-design in the Johnson scheme $J(n, m)$;
(2) $\left{\overline{\boldsymbol{u}} \in N^{(m)} \mid \boldsymbol{u} \in C, w(\boldsymbol{u})=m\right}$ forms a t-design in the Johnson scheme $J(n, m)$.
In (1), (2), we only consider the case that there exists a codeword such that $w(\boldsymbol{u})=m$.
The original Assmus-Mattson theorem in [6] deals with $[n, k, \delta]$ codes over a general finite field $F_q$. Here, for the sake of simplicity, we restrict the proof to codes over the binary filed $F_2$. There are many English books which contain the proof of the AssmusMattson theorem. However, there seem to be no Japanese books. So we introduce the proof based on the original paper, by following the proof from the book by van Lint and Wilson [319].

Proof. Fix a $t$-subset $T$ of $N$. For $\boldsymbol{u} \in F_2^n$, define a codeword $\boldsymbol{u}^{\prime}$ of length $n-t$ by $\boldsymbol{u}^{\prime}=$ $\left(u_i\right)_{i \in N \backslash T}$. The mapping $\boldsymbol{u} \longmapsto \boldsymbol{u}^{\prime}$ is linear. If we let $C^{\prime}=\left{\boldsymbol{u}^{\prime} \mid \boldsymbol{u} \in C\right}$, then $C^{\prime}$ is a linear code of length $n-t$. Next, let $C_0=\left{\boldsymbol{u}^{\prime} \mid \boldsymbol{u} \in C, u_i=0\right.$ for all $\left.i \in T\right}$. Then $C_0$ is a subspace of $C^{\prime}$. Let $B=C^{\perp}$. Similarly, for $B$, define $B^{\prime}=\left{\boldsymbol{u}^{\prime} \mid \boldsymbol{u} \in B\right}, B_0=\left{\boldsymbol{u}^{\prime} \mid \boldsymbol{u} \in B\right.$, $u_i=0$ for all $\left.i \in T\right}$.

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First, we give definitions and basic facts on semilattices.
Definition $4.13$ (Poset). A partial order on a set $L$ is a binary relation $\leq 0$ on $L$ satisfying the following (1)-(3):
(1) reflexivity: $a \leq a$;
(2) transitivity: if $a \leq b$ and $b \leq c$, then $a \leq c$;
(3) antisymmetry: if $a \leq b$ and $b \leq a$, then $a=b$;
where $a, b, c \in L$. If a binary relation $\leq$ is a partial order on $L$, a pair $(L, \leq)$ is called a partially ordered set or a poset.

Definition $4.14$ (Meet semilattice). Let $L$ be a poset. For a pair $a, b$ in $L$, an element of $L$, denoted by $a \wedge b$, is called the meet of $a$ and $b$ if it satisfies the following (1), (2):

(1) $a \wedge b \leq a, a \wedge b \leq b$;
(2) if $c \leq a$ and $c \leq b$ for $c \in L$, then $c \leq a \wedge b$.
Note that the meet $a \wedge b$ is uniquely determined if it exists. The poset $L$ is called a meet semilattice if the meet exists for every pair of elements of $L$.

Definition 4.15 (Join semilattice). Let $L$ be a poset. For a pair $a, b$ in $L$, an element of $L$, denoted by $a \vee b$, is called the join of $a$ and $b$ if it satisfies the following (1), (2):
(1) $a \vee b \geq a, a \vee b \geq b$;
(2) if $c \geq a$ and $c \geq b$ for $c \in L$, then $c \geq a \vee b$.
Note that the join $a \vee b$ is uniquely determined if it exists. The poset $L$ is called a join semilattice if the join exists for every pair of elements of $L$. The poset $L$ is called a lattice if it is a meet lattice and a join lattice.

In what follows, a semilattice means a meet semilattice. Assume that for a semilattice $L$, there exists a unique element $u$ such that $u \leq x$ for all $x$. We denote this element by 0 .

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我们介绍了Assmus 和 Mattson 关于从代码构建设计的著名定理。与 5 传递 Mathieu 群没有直接关系的 为支持 $\boldsymbol{u}$ 并表示为 $\overline{\boldsymbol{u}}$. 如果 $\boldsymbol{u}$ 有重量 $m$, 然后 $\overline{\boldsymbol{u}}$ 是一个 $m$-子集 $N$. 通过这种对应关系,代码字集合在 $C$ 重量 $m$ 用集合的一个子集标识 $N^{(m)}$ 包含由…组成 $m$ – 的子集 $N$. 这意味着, 在关联方案的语言中, 汉明方案中的 一个子集 $H(n, 2)$ 可以用咆翰逊方案来描述 $J(n, m)$.
昰理 $4.1$ (阿斯穆斯和马特森 (1969) [6])。让 $C$ 豆 $[n, k, \delta]$ 代码结束 $F_2$. 姓名 $l y, C$ 是一个 $k$-维子空间 $F_2^n$ 最小距离 $\delta$. 让 $t<\delta$. 此外, 假设以下条件成立。
最多存在 $\delta-t$ 中的正整数 $1,2, \ldots, n-t$ 它作为码字的㪔重出现在 $C^{\perp}$.
那么下面的 (1) 、(2)成立:
(2) \left{\overline ${\backslash$ boldsymbol{u}} \in
[6] 中的原始 Assmus-Mattson 定理处理 $[n, k, \delta]$ 在一般有限域上编码 $F_q$. 在这里, 为了简单起见, 我们将 证明限制在二进制文件上的代码 $F_2$. 有许多英文书籍包含 AssmusMattson 定理的证明。不过好 文书籍。因此, 我们根据 van Lint 和 Wilson [319] 的书中的证明来个绍基干原始论文的证明。
证明。修䇱一个 $t$-子集 $T$ 的 $N$. 为了 $\boldsymbol{u} \in F_2^n$, 定义一个码字 $\boldsymbol{u}^{\prime}$ 长度 $n-t^{\text {经过 } \boldsymbol{u}^{\prime}}=\left(u_i\right)_{i \in N \backslash T}$. 映射 $\boldsymbol{u} \longmapsto \boldsymbol{u}^{\prime}$ 是线性的。如果涐们让

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首先, 我们给出了半格的定义和基本事实。
定义 $4.13$ (姿势) 。集合上的偏序 $L$ 是二元关系 $\leq 0$ 上 $L$ 满足以下 (1) – (3) :(
1) 自反性: $a \leq a$;
(2) 及物性: 如果 $a \leq b$ 和 $b \leq c$ ,然后 $a \leq c$;
(3)反对称: 如果 $a \leq b$ 和 $b \leq a$ , 然后 $a=b$;
在哪里 $a, b, c \in L$. 如果是二元关系 $\leq$ 是一个偏序 $L , 一$ 双 $(L, \leq)$ 称为偏序集或偏序集。
定义4.14 (见半格) 。让 $L$ 做个诗人。对于一对 $a, b$ 在 $L$, 的一个元素 $L$, 表示为 $a \wedge b$, 称为满足 $a$ 和 $b$ 如果 满足以下 (1) 、(2):
(1) $a \wedge b \leq a, a \wedge b \leq b$;
(2) 如果 $c \leq a$ 和 $c \leq b$ 为了 $c \in L$ ,然后 $c \leq a \wedge b$.
注意满足 $a \wedge b$ 唯一确定是否存在。摆设 $L$ 如果满足对于 的每一对元素都存在,则称为满足半格 $L$.
定义 4.15 (加入半格) 。让 $L$ 做个诗人。对于一对 $a, b$ 在 $L$, 的一个元素 $L$, 表示为 $a \vee b$, 称为连接 $a$ 和 $b$ 如 果满足以下 (1)、(2): (
1) $a \vee b \geq a, a \vee b \geq b$;
(2) 如果 $c \geq a$ 和 $c \geq b$ 为了 $c \in L$, 然后 $c \geq a \vee b$.
注意加入 $a \vee b$ 唯一确定是否存在。摆设 $L$ 如果连接对于 的每一对元素都存在, 则称为连接半格 $L$. 摆设 $L$ 如 果它是满足格和连接格, 则称为格。
在下文中, 半格表示相遇半格。假设对于一个半格 $L$, 存在唯一元素 $u$ 这样 $u \leq x$ 对所有人 $x$. 我们用 0 表示 这个元素。

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



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什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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