数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|MATH069 Q-polynomial schemes revisited

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数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|MATH069 Q-polynomial schemes revisited

数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Q-polynomial schemes revisited

As a preparation for Section 6.4, where P- and Q-polynomial schemes will be discussed, we review the definition of Q-polynomial schemes briefly following the manner of the previous subsection, where P-polynomial schemes are discussed. Especially, the definition in terms of Terwilliger algebras will play an important role later. Let $\mathfrak{X}=\left(X,\left{R_i\right}_{0 \leq i \leq d}\right)$ be a symmetric association scheme and let $E_0, E_1, \ldots, E_d$ be the primitive idempotents of the Bose-Mesner algebra $\mathfrak{A}$ of $\mathfrak{X}$. By $\left(4^{\prime \prime}\right)$ in Chapter 2 , Section 2.3, we have
$$
E_i \circ E_j=\frac{1}{|X|} \sum_{k=0}^d q_{i, j}^k E_k
$$
with respect to the Hadamard product of $\mathfrak{A}$. Note that Krein numbers $q_{i, j}^k$ are nonnegative real (Theorem 2.26, Corollary 2.37). Then the following conditions (i) ${ }^{\prime}$, (ii)’, and (iii)’ on $q_{i, j}^k$ are equivalent, and a symmetric association scheme satisfying these conditions is called a Q-polynomial scheme. For the proof of the equivalence, the proof in the previous subsection is valid if we replace the ordinary matrix product by the Hadamard product and the intersection number $p_{i, j}^k$ by the Krein number $q_{i, j}^k$. We have: (i)
$$
q_{1, j}^k \begin{cases}=0, & \text { if } 1<|k-j|, \ \neq 0, & \text { if } 1=|k-j| ;\end{cases} $$ (ii) ${ }^{\prime} \quad E_i$ is a polynomial of degree $i$ in $E_1$ with respect to the Hadamard product ( $0 \leq$ $i \leq d)$; (iii) ${ }^{\prime}$ $$ q_{i, j}^k \begin{cases}=0, & \text { if } i<|k-j| \text { or } i>k+j, \ \neq 0, & \text { if } i=|k-j| \text { or } i=k+j .\end{cases}
$$

数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|P-polynomial schemes and Q-polynomial schemes

In this subsection, we present several additional basic facts on P-polynomial schemes and Q-polynomial schemes without proofs. For details, see, for example, [60].
Imprimitive P-polynomial schemes
Let $\mathfrak{X}=\left(X,\left{R_i\right}_{0 \leq i \leq d}\right)$ be a P-polynomial scheme. Let $A_i$ be the adjacency matrix of $R_i$. Then we have
$$
A_1 A_i=b_{i-1} A_{i-1}+a_i A_i+c_{i+1} A_{i+1} \quad(0 \leq i \leq d),
$$
where $A_{-1}=0, A_{d+1}=0$. The first intersection matrix $B_1=\left(p_{1, j}^k\right)$ of $\mathfrak{X}$ has the following form:
$$
{ }^t B_1=\left[\begin{array}{ccccc}
a_0 & b_0 & & & \
c_1 & a_1 & b_1 & & 0 \
& \ddots & \ddots & \ddots & \
0 & & c_{d-1} & a_{d-1} & b_{d-1} \
& & & c_d & a_d
\end{array}\right] .
$$

数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|MATH069 Q-polynomial schemes revisited

组合数学代写

数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Q-polynomial schemes revisited


作为第 $6.4$ 节的准备, 其中将讨论 $P$ 和 $Q$ 多项式方案, 我们按照前小节的方式简要回顾 $Q$ 多顶式方案的定 义, 其中讨论了 P多项式方案。尤其是 Terwilliger 代数的定义将在以后发挥重要作用。让 $\backslash$ mathfrak ${X}=\backslash \backslash$ eft $\left(X, \backslash l_{f t}\left{R_{-} i \backslash\right.\right.$ right $}$ _ ${0 \backslash$ leq i $\backslash l e q d} \backslash$ dight) 是一个对称的关联方案, 让 $E_0, E_1, \ldots, E_d$ 是 Bose-Mesner 代数的原始幂等221的犾. 经过 $\left(4^{\prime \prime}\right)$ 在第 2 章第 $2.3$ 节中, 我们有
$$
E_i \circ E_j=\frac{1}{|X|} \sum_{k=0}^d q_{i, j}^k E_k
$$
关于 Hadamard 产品21. 请注意, Kerin 数字 $q_{i, j}^k$ 是非负实数 (昰理 2.26, 推论 2.37)。那么以下条件 (i) ‘, (ii)’, 和 (iii)’ $q_{i, j}^k$ 是等价的, 满足这些条件的对称关联方案称为 Q-多项式方案。对于等价性的证明, 如果我们将普通矩阵乘积替换为 Hadamard 乘积和交点数, 则上小节的证明是有效的 $p_{i, j}^k$ 由克林数 $q_{i, j}^k$. 我 们有: (一)
$q_{1, j}^k{=0, \quad$ if $1<|k-j|, \neq 0, \quad$ if $1=|k-j|$ (二) $\quad E_i$ 是一个多项式 $i$ 在 $E_1$ 关于 Hadamard 产品 $(0 \leq i \leq d) ;(三)^{\prime}$ $q_{i, j}^k{=0, \quad$ if $i<|k-j|$ or $i>k+j, \neq 0, \quad$ if $i=|k-j|$ or $i=k+j$.


数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|P-polynomial schemes and $\mathbf{Q}$-polynomial schemes


在本小节中, 我们将介绍一些关于 $P$ 多项式方案和 $Q$ 多项式方案的额外基本事实, 无需证明。有关详细信 息, 请㕕见例如 $[60]$ 。
原式 $P-$ 多项式方案
Let \mathfrak ${X}=\backslash l e f t\left(X, \backslash e^{\prime f t}\left{R_{-} \backslash \backslash r i g h t\right}_{-}{0 \backslash\right.$ leq i $\backslash$ leq d $} \backslash$ right $)$ 是一个 $\mathrm{P}$ 多项式方案。让 $A_i$ 是邻唼矩阵 $R_i$. 然后涐们有
$$
A_1 A_i=b_{i-1} A_{i-1}+a_i A_i+c_{i+1} A_{i+1} \quad(0 \leq i \leq d),
$$
在哪里 $A_{-1}=0, A_{d+1}=0$. 第一个交集矩阵 $B_1=\left(p_{1, j}^k\right)$ 的 X具有以下形式:

数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考

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微观经济学代写

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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