物理代写|热力学代写Thermodynamics代考|MECH337 The Least Dissipation Principle

如果你也在 怎样代写热力学Thermodynamics MECH337这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。热力学Thermodynamics是物理学的一个分支,涉及热、功和温度,以及它们与能量、熵以及物质和辐射的物理特性的关系。这些数量的行为受热力学四大定律的制约,这些定律使用可测量的宏观物理量来传达定量描述,但可以用统计力学的微观成分来解释。热力学适用于科学和工程中的各种主题,特别是物理化学、生物化学、化学工程和机械工程,但也适用于其他复杂领域,如气象学。

热力学Thermodynamics从历史上看,热力学的发展源于提高早期蒸汽机效率的愿望,特别是通过法国物理学家萨迪-卡诺(1824年)的工作,他认为发动机的效率是可以帮助法国赢得拿破仑战争的关键。苏格兰-爱尔兰物理学家开尔文勋爵在1854年首次提出了热力学的简明定义,其中指出:”热力学是关于热与作用在身体相邻部分之间的力的关系,以及热与电的关系的课题。” 鲁道夫-克劳修斯重述了被称为卡诺循环的卡诺原理,为热学理论提供了更真实、更健全的基础。他最重要的论文《论热的运动力》发表于1850年,首次提出了热力学的第二定律。1865年,他提出了熵的概念。1870年,他提出了适用于热的维拉尔定理。

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物理代写|热力学代写Thermodynamics代考|MECH337 The Least Dissipation Principle

物理代写|热力学代写Thermodynamics代考|The Least Dissipation Principle

What if $J_i=$ const. – i.e. if there is no arbitrarily chosen $N^{\prime}$ and only the $X_i$ ‘s may change ${ }^{13}$ ?

Let us compute the perturbation $d\left(\frac{d S}{d t}-f\right)$ of $\frac{d S}{d t}-f$ due to perturbations of thermodynamic forces. To this purpose, we invoke the relationships $\frac{d S}{d t}=X_i J_i, J_i=$ $L_{i j} X_j, d L_{i k}=d t \cdot \frac{d L_{i k}}{d t}=0$ and $f=\frac{1}{2} L_{i k} X_i X_k$, as well as Onsager’s symmetry and the assumption $d J_i=0$. We write:
$$
\begin{gathered}
d\left(\frac{d S}{d t}-f\right)=d\left(X_i J_i-\frac{1}{2} L_{i k} X_i X_k\right)=\left(J_i-L_{i k} X_k\right) d X_i=0 \
d^2\left(\frac{d S}{d t}-f\right)=d\left[\left(J_i-L_{i k} X_k\right) d X_i\right]=\left(J_i-L_{i k} X_k\right) d^2 X_i+d J_i d X_i-L_{i k} d X_k d X_i= \
=-L_{i k} d X_k d X_i \leq 0
\end{gathered}
$$
Accordingly, $\frac{d S}{d t}-f$ is a maximum with respect to perturbations of thermodynamic forces only.

The symmetry $x_k \leftrightarrow X_k$ allows us to generalize this result. We start with $f=$ $\frac{1}{2} L_{i j} X_i X_j, J_i=L_{i j} X_j, J_i=\lambda_{i k} x_k, L_{i j}=\lambda_{i k}\left(\beta^{-1}\right){k j}, \beta{k j}=\beta_{j k}$ and Onsager’s symmetry. The latter ensures that the Onsager coefficient matrix is not singular. Then:
$$
f=\frac{1}{2} L_{i k} X_i X_k=\frac{1}{2} L_{i k}\left(L^{-1}\right){i p} J_p\left(L^{-1}\right){k q} J_q=\frac{1}{2} L_{k i}\left(L^{-1}\right){i p} J_p\left(L^{-1}\right){k q} J_q=
$$
$$
=\frac{1}{2} \delta_{k p} J_p\left(L^{-1}\right){k q} J_q=\frac{1}{2}\left(L^{-1}\right){k q} J_k J_q=\frac{1}{2} \beta_{p j}\left(\lambda^{-1}\right){j q} J_k J_q= $$ $$ =\frac{1}{2} \beta{p j}\left(\lambda^{-1}\right){j q} \lambda{p k} x_k \lambda_{q i} x_i=\frac{1}{2} \delta_{i j} \beta_{p j} \lambda_{p k} x_i x_k=\frac{1}{2} \beta_{i p} \lambda_{p k} x_i x_k
$$
so that $f$ depends on the $x_i$ ‘s only. Now, the symmetry $x_i \leftrightarrow X_i$ implies $d S=$ $-x_i d X_i$, hence $\frac{d S}{d t}=-x_i \frac{d X_i}{d t}$. Moreover, $X_i=\beta_{i k} x_k$ and $-\frac{d x_i}{d t}=J_i=\lambda_{i k} x_k$ imply: $\frac{d X_i}{d t}=\beta_{i k} \frac{d x_k}{d t}=-\beta_{i k} \lambda_{i k} x_k$. As expected, the three last results lead back to $\frac{d S}{d t}=2 f$

物理代写|热力学代写Thermodynamics代考|The Balance of Entropy in a Copper Wire

We focus our attention upon a copper wire at LTE between two heat reservoirs 1,2 at temperatures $T_1, T_2$ respectively ${ }^{15}$-see Fig. 4.1.

We denote with $Q$ the amount of heat which flows spontaneously per unit time across the wire from 1 towards 2 . This transport of heat leaves the copper wire unaffected in steady state, hence the wire entropy $S_{\text {wire }}$ does not change:
$$
\frac{d S_{\text {wire }}}{d t}=0
$$
Of course:
$$
\frac{d S_1}{d t}=-\frac{Q}{T_1} \quad ; \quad \frac{d S_1}{d t}=+\frac{Q}{T_2}
$$
At all times, the total entropy $S_{T O T}$ is:
$$
S_{T O T}=S_1+S_2+S_{\text {wire }}
$$
The Second Principle of thermodynamics requires that $\frac{d S_{T O T}}{d t}>0$ for our spontaneous process, i.e.:
$$
0<\frac{d S_{T O T}}{d t}=\frac{d S_1}{d t}+\frac{d S_2}{d t}+\frac{d S_{\text {wire }}}{d t}=Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)
$$

which for $Q>0$ (heat flows from 1 to 2 ) leads to the expected result:
$$
T_1>T_2
$$
i.e. heat flows spontaneously from the hotter body towards the cooler body. Now, let us focus our attention on the wire. We may split $\frac{d S_{\text {wire }}}{d t}$ as follows:
$0=\frac{d S_{\text {wire }}}{d t}=\left(\frac{d S}{d t}\right){\text {produced in the wire }}+\left(\frac{d S}{d t}\right){\text {coming into the wire from the external world }}$ $\left(\frac{d S}{d t}\right){\text {coming into the wire from the external world }}=\left(\frac{d S}{d t}\right){\text {coming from 1 }}+\left(\frac{d S}{d t}\right){\text {coming from } 2}$ $\left(\frac{d S}{d t}\right){\text {coming from 1 }}=-\frac{d S_1}{d t} ; \quad\left(\frac{d S}{d t}\right){\text {coming from } 2}=-\frac{d S_2}{d t}$ The relationships above give at once: $$ \left(\frac{d S}{d t}\right){\text {produced in the wire }}=\frac{d S_{T O T}}{d t}=Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)>0
$$
Thus, a ‘steady state’ corresponds to $\frac{d S_{\text {wire }}}{d t}=0$. If a steady state is also at thermodynamic equilibrium, then $S_{T O T}=\max$ and $\frac{d S_{T O T}}{d t}=0$. Far from equilibrium, in contrast, a steady state has $0<\frac{d S_{T O T}}{d t}=\left(\frac{d S}{d t}\right)_{\text {produced in the wire }}$; the system (our wire) is kept far from equilibrium by suitable boundary conditions $\left(T_1 \neq T_2\right)$.

物理代写|热力学代写Thermodynamics代考|MECH337 The Least Dissipation Principle

热力学代写

物理代写|热力学代写Thermodynamics 代考|The Least Dissipation Principle

如果 $J_i=$ 常量。-即如果没有任意选择 $N^{\prime}$ 并且只有 $X_i$ 的可能会改变 ${ }^{13} ?$
让我们计算扰动 $d\left(\frac{d S}{d t}-f\right)$ 的 $\frac{d S}{d t}-f$ 由于热力学力的扰动。为此, 我们调用关系 $\frac{d S}{d t}=X_i J_i, J_i=$ $L_{i j} X_j, d L_{i k}=d t \cdot \frac{d L_{i k}}{d t}=0$ 和 $f=\frac{1}{2} L_{i k} X_i X_k$, 以及 Onsager 的对称性和假设 $d J_i=0$. 我们写:
$$
d\left(\frac{d S}{d t}-f\right)=d\left(X_i J_i-\frac{1}{2} L_{i k} X_i X_k\right)=\left(J_i-L_{i k} X_k\right) d X_i=0 d^2\left(\frac{d S}{d t}-f\right)=d\left[\left(J_i-L_{i k}\right.\right.
$$
因此, $\frac{d S}{d t}-f$ 是仅关于热力学力扰动的最大值。
对称性 $x_k \leftrightarrow X_k$ 允许我们推广这个结果。我们从 $f=$
$\frac{1}{2} L_{i j} X_i X_j, J_i=L_{i j} X_j, J_i=\lambda_{i k} x_k, L_{i j}=\lambda_{i k}\left(\beta^{-1}\right) k j, \beta k j=\beta_{j k}$ 和 Onsager 的对称性。后者 确保 Onsager 系数矩阵不是奇异的。然后:
$$
f=\frac{1}{2} L_{i k} X_i X_k=\frac{1}{2} L_{i k}\left(L^{-1}\right) i p J_p\left(L^{-1}\right) k q J_q=\frac{1}{2} L_{k i}\left(L^{-1}\right) i p J_p\left(L^{-1}\right) k q J_q=
$$
$$
\begin{gathered}
=\frac{1}{2} \delta_{k p} J_p\left(L^{-1}\right) k q J_q=\frac{1}{2}\left(L^{-1}\right) k q J_k J_q=\frac{1}{2} \beta_{p j}\left(\lambda^{-1}\right) j q J_k J_q= \
=\frac{1}{2} \beta p j\left(\lambda^{-1}\right) j q \lambda p k x_k \lambda_{q i} x_i=\frac{1}{2} \delta_{i j} \beta_{p j} \lambda_{p k} x_i x_k=\frac{1}{2} \beta_{i p} \lambda_{p k} x_i x_k
\end{gathered}
$$
以便 $f$ 取决于 $x_i$ 的唯一。现在, 对称 $x_i \leftrightarrow X_i$ 暗示 $d S=-x_i d X_i$ , 因此 $\frac{d S}{d t}=-x_i \frac{d X_i}{d t}$. 而且, $X_i=\beta_{i k} x_k$ 和 $-\frac{d x_i}{d t}=J_i=\lambda_{i k} x_k$ 意味着: $\frac{d X_i}{d t}=\beta_{i k} \frac{d x_k}{d t}=-\beta_{i k} \lambda_{i k} x_k$. 正如预期的那样, 最后三 个结果导致返回 $\frac{d S}{d t}=2 f$

物理代写|热力学代写Thermodynamics 代考|The Balance of Entropy in a Copper Wire


涐们将注意力集中在两个储热器 1,2 之间的 LTE 铜线上 $T_1, T_2$ 分别 15 – 贝图 $4.1 。$
我们用 $Q$ 单位时间内从 1 流向 2 的导线自发流动的热量。这种热量传输使铜线在稳定状太心不受影响, 因此 线熵 $S_{\text {wire }}$ 不变:
$$
\frac{d S_{\text {wire }}}{d t}=0
$$
当然:
$$
\frac{d S_1}{d t}=-\frac{Q}{T_1} \quad ; \quad \frac{d S_1}{d t}=+\frac{Q}{T_2}
$$
在任何时候, 总樀 $S_{T O T}$ 是:
$$
S_{T O T}=S_1+S_2+S_{\text {wire }}
$$
热力学第二原理要求 $\frac{d S_{T O T}}{d t}>0$ 对于我们的自发过程, 即:
$$
0<\frac{d S_{T O T}}{d t}=\frac{d S_1}{d t}+\frac{d S_2}{d t}+\frac{d S_{\text {wire }}}{d t}=Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right) $$ 这对于 $Q>0$ (热鲤从 1 流到 2 ) 导致预期结果:
$$
T_1>T_2
$$
即热鲤自发地从较热的物体流向较冷的物体。现在, 让我们将注意力集中在电线上。我们可能会分开 $\frac{d S_{\text {wire }}}{d t}$ 如下:
$0=\frac{d S_{\text {wire }}}{d t}=\left(\frac{d S}{d t}\right)$ produced in the wire $+\left(\frac{d S}{d t}\right)$ coming into the wire from the external world $\left(\frac{d S}{d t}\right)$ coming into the wire from the external world $=\left(\frac{d S}{d t}\right)$ coming from $1+\left(\frac{d S}{d t}\right)$ coming from 2 $\left(\frac{d S}{d t}\right)$ coming from $1=-\frac{d S_1}{d t} ; \quad\left(\frac{d S}{d t}\right)$ coming from $2=-\frac{d S_2}{d t}$ 上面的关系立即给出:
$\left(\frac{d S}{d t}\right)$ produced in the wire $=\frac{d S_{T O T}}{d t}=Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)>0$
因此, “稳态”对应于 $\frac{d S_{\text {wire }}}{d t}=0$. 如果稳态也处于热力学平衡, 则 $S_{T O T}=\max$ 和 $\frac{d S_{T O T}}{d t}=0$. 相反, $-$ 个稳定的状态远非平衡 $0<\frac{d S_{T O T}}{d t}=\left(\frac{d S}{d t}\right)_{\text {produced in the wire }}$; 通过合适的边界条件, 系统(我们的电 线) 远离平衡 $\left(T_1 \neq T_2\right)$.


物理代写|热力学代写Thermodynamics代考

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



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微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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