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计算机视觉Computer Vision任务包括获取、处理、分析和理解数字图像的方法,以及从现实世界中提取高维数据以产生数字或符号信息,例如以决策的形式。这里的理解意味着将视觉图像(视网膜的输入)转化为对思维过程有意义的世界描述,并能引起适当的行动。这种图像理解可以被看作是利用借助几何学、物理学、统计学和学习理论构建的模型将符号信息从图像数据中分离出来的过程。

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The methods presented so far utilize second-order derivatives of the objective function (either explicitly or at least approximations) or no derivative information at all. Instead of completely ignoring derivatives, there is something better we can do, even if second-order information sometimes is difficult or impossible to be obtained: we can take account of first-order information. The most simple way to exploit first-order information is to take the negative gradient as search direction, i.e., we can set $\mathbf{s}^k=-\nabla f\left(\mathbf{x}^k\right)$. This simple proceeding, which is also known as steepest descent method, is locally the best which can be done, because the negative gradient indicates the direction in which the function decreases fastest at the current position. However, the actual rate of convergence can be quite poor in some situations. In case of high curvature, e.g., the direction of fastest decrease might change quite quickly if we move away from the current position.

Nevertheless, the steepest descent is often used as initialization step of more sophisticated methods. One of them, which is termed conjugate gradient method, is presented in the following.

计算机代写|计算机视觉代写Computer Vision代考|Conjugate Gradient Method

The conjugate gradient method (see, e.g., $[13,14]$ ) picks search directions which are conjugate to the search directions of the previous step. Two search directions $\mathbf{s}_i$ and $\mathbf{s}_j$ are conjugate with respect to each other if the following relationship holds for symmetric, positive definite matrices $\mathbf{H}$ :
$$
\mathbf{s}_i^T \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{s}_j=0
$$
Why is picking conjugate search directions a good idea? In order to clarify this, let’s assume that the objective function is an $N$-dimensional convex quadratic form, e.g., $f(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \cdot \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{x}-\mathbf{a}^T \cdot \mathbf{x}+c$ (where the $N \times N$ matrix $\mathbf{H}$ is symmetric and positive definite). Now it can be shown that the minimum of this objective can be found by successively performing line searches along the elements of a set of at most $N$ linearly independent search directions, which are mutually conjugate as defined in (2.39). In other words, if we utilize “suitable” conjugate search directions, we are able to find the minimum of a convex quadratic form in at most $N$ one-dimensional searches.

If we want to take gradient information into account, the best start is to perform a steepest descent search, i.e., set $\mathbf{s}^0=-\nabla f\left(\mathbf{x}^0\right)$. Subsequent iterations now can try to make use of the nice convergence properties of conjugate searches by searching along directions which are conjugate with respect to the previous search direction. The search direction of step $k$ is calculated as follows:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{s}^k &=-\nabla f\left(\mathbf{x}^k\right)+\beta \
\beta^k &=\frac{\left|\nabla f\left(\mathbf{x}^k\right)\right|^2}{\left|\nabla f\left(\mathbf{x}^{k-1}\right)\right|^2}
\end{aligned}
$$
Clearly, the current search direction $\mathrm{s}^k$ is a combination of the direction of steepest descent and the search direction of the last step. This utilization of information about previous steps helps in improving the rate of convergence (compared to steepest descent). As already said, this method is guaranteed to converge in at most $N$ steps for the special case of convex quadratic functions of dimensionality $N$. For non-quadratic functions, however, of course more iterations are necessary, but the expectation is that for those more general situations, the rate of convergence is improved, too, at least as long the objective can be locally approximated by a quadratic form sufficiently well.

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计算机视觉代写

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迄今为止提出的方法利用目标函数的二阶导数 (显式或至少近似) 或根本没有导数信息。除了完全忽略导数 之外, 我们还可以做一些更好的事情, 即使有时很难或不可能获得二阶信息: 我们可以考虑一阶信息。利用 一阶信息最简单的方法就是将负梯度作为搜索方向, 即我们可以设 $\mathbf{s}^k=-\nabla f\left(\mathbf{x}^k\right)$. 这种简单的过程, 也 称为最速下降法, 是局部最好的方法, 因为负梯度表示函数在当前位置下降最快的方向。但是, 在某些情况 下, 实际的收敛速度可能会很差。在高曲率的情况下, 例如, 如果我们离开当前位置, 最快下降的方向可能 会很快改变。
然而, 最速下降通常用作更复杂方法的初始化步骤。其中之一, 称为共轭梯度法, 将在下面介绍。


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共轭梯度法 (参见, 例如, $[13,14]$ ) 选择与上一步的搜索方向共轭的搜索方向。两个搜索方向 $\mathbf{s}_i$ 和 $\mathbf{s}_j$ 如果 以下关系适用于对称正定矩阵, 则彼此共轭 $\mathbf{H}$ :
$$
\mathbf{s}_i^T \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{s}_j=0
$$
为什么选择共轭搜索方向是个好主意? 为了澄清这一点, 我们假设目标函数是 $N$ 维凸二次型, 例如, $f(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \cdot \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{x}-\mathbf{a}^T \cdot \mathbf{x}+c$ (其中 $N \times N$ 矩阵 $\mathbf{H}$ 是对称的和正定的)。现在可以证明, 这个 目标的最小值可以通过沿一组最多的元素连续执行线搜索来找到 $N$ 线性独立的搜索方向,如 (2.39) 中定义 的那样相互共轭。换句话说, 如果我们使用“合适的”共轭搜索方向, 我们最多可以找到凸二次型的最小值 $N$ 一维搜索。
如果我们要考虑梯度信息, 最好的开始是执行最速下降搜索, 即设置 $\mathbf{s}^0=-\nabla f\left(\mathbf{x}^0\right)$. 随后的迭代现在可 以通过沿着与先前搜索方向共轭的方向进行搜索来尝试利用共轭搜索的良好收敛特性。step的搜索方向 $k$ 计 算如下:
$$
\mathbf{s}^k=-\nabla f\left(\mathbf{x}^k\right)+\beta \beta^k \quad=\frac{\left|\nabla f\left(\mathbf{x}^k\right)\right|^2}{\left|\nabla f\left(\mathbf{x}^{k-1}\right)\right|^2}
$$
很明显, 当前的搜索方向 $s^k$ 是最速下降方向和最后一步的搜索方向的组合。这种对先前步骙信息的利用有助 于提高收敛速度 (与最速下降相比)。如前所述, 这种方法最多可以保证收敛 $N$ 婎数凸二次函数特殊情况的 步骤 $N$. 然而, 对于非二次函数, 当然需要更多的迭代, 但期望对于那些更一般的情况, 收敛速度也会提 高, 至少只要目标可以充分地用二次形式局部逼近出色地。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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