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CS代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|Learning a continuous concept: the healthy levels game
The number game involved observing a series of discrete variables, and inferring a distribution over another discrete variable from a finite hypothesis space. This made the computations particularly simple: we just needed to sum, multiply and divide. However, in many applications, the variables that we observe are real-valued continuous quantities. More importantly, the unknown parameters are also usually continuous, so the hypothesis space becomes (some subset) of $\mathbb{R}^K$, where $K$ is the number of parameters. This complicates the mathematics, since we have to replace sums with integrals. However, the basic ideas are the same.
We illustrate these ideas by considering another example of concept learning called the healthy levels game, also due to Tenenbaum. The idea is this: we measure two continuous variables, representing the cholesterol and insulin levels of some randomly chosen healthy patients. We would like to know what range of values correspond to a healthy range. As in the numbers game, the challenge is to learn the concept from positive data alone.
Let our hypothesis space be axis-parallel rectangles in the plane, as in Figure $3.5$. This is a classic example which has been widely studied in machine learning [Mit97]. It is also a reasonable assumption for the healthy levels game, since we know (from prior domain knowledge) that healthy levels of both insulin and cholesterol must fall between (unknown) lower and upper bounds. We can represent a rectangle hypothesis as $h=\left(\ell_1, \ell_2, s_1, s_2\right)$, where $\ell_j \in(-\infty, \infty)$ are the coordinates (locations) of the lower left corner, and $s_j \in[0, \infty)$ are the lengths of the two sides. Hence the hypothesis space is $\mathcal{H}=\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}{+}^2$, where $\mathbb{R}{\geq 0}$ is the set of non-negative reals.
More complex concepts might require discontinuous regions of space to represent them. Alternatively, we might want to use latent rectangular regions to represent more complex, high dimensional concepts $[\mathrm{Li}+19]$. The question of where the hypothesis space comes from is a very interesting one, but is beyond the scope of this chapter. (One approach is to use hierarchical Bayesian models, as discussed in [Ten $+11]$.)
CS代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|Likelihood
We assume points are sampled uniformly at random from the support of the rectangle. To simplify the analysis, let us first consider the case of one-dimensional “rectangles”, i.e., lines. In the 1d case, the likelihood is $p(\mathcal{D} \mid \ell, s)=(1 / s)^N$ if all points are inside the interval, otherwise it is 0 . Hence
$$
p(\mathcal{D} \mid \ell, s)= \begin{cases}s^{-N} & \text { if } \min (\mathcal{D}) \geq \ell \text { and } \max (\mathcal{D}) \leq \ell+s \ 0 & \text { otherwise }\end{cases}
$$
To generalize this to $2 \mathrm{~d}$, we assume the observed features are conditionally independent given the hypothesis. Hence the 2d likelihood becomes
$$
p(\mathcal{D} \mid h)=p\left(\mathcal{D}1 \mid \ell_1, s_1\right) p\left(\mathcal{D}_2 \mid \ell_2, s_2\right) $$ where $\mathcal{D}_j=\left{y{n j}: n=1: N\right}$ are the observations for dimension (feature) $j=1,2$.
3.1.2.2 Prior
For simplicity, let us assume the prior factorizes, i.e., $p(h)=p\left(\ell_1\right) p\left(\ell_2\right) p\left(s_1\right) p\left(s_2\right)$. We will use uninformative priors for each of these terms. As we explain in ??, this means we should use a prior of the form $p(h) \propto \frac{1}{s_1} \frac{1}{s_2}$.
3.1.2.3 Posterior
The posterior is given by
$$
p\left(\ell_1, \ell_2, s_1, s_2 \mid \mathcal{D}\right) \propto p\left(\mathcal{D}_1 \mid \ell_1, s_1\right) p\left(\mathcal{D}_2 \mid \ell_2, s_2\right) \frac{1}{s_1} \frac{1}{s_2}
$$
We can compute this numerically by discretizing $\mathbb{R}^4$ into a $4 \mathrm{~d}$ grid, evaluating the numerator pointwise, and normalizing.
Since visualizing a $4 \mathrm{~d}$ distribution is difficult, we instead draw posterior samples from it, $h^s \sim p(h \mid \mathcal{D})$, and visualize them as rectangles. In Figure 3.5(a), we show some samples when the number $N$ of observed data points is small – we are uncertain about the right hypothesis. In Figure 3.5(b), we see that for larger $N$, the samples concentrate on the observed data.
机器学习代考
CS代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|学习一个连续的概念:健康水平游戏
数字游戏涉及观察一系列离散变量，并从有限的假设空间推断另一个离散变量的分布。这使得计算变得特别简单:我们只需要求和、乘法和除法。然而，在许多应用中，我们观察到的变量是实值连续量。更重要的是，未知参数通常也是连续的，因此假设空间成为$\mathbb{R}^K$的(某个子集)，其中$K$是参数的数量。这使得数学变得复杂，因为我们必须用积分来代替和。但是，基本思想是一样的。
我们通过另一个概念学习的例子——健康水平游戏来说明这些观点，这也是由Tenenbaum提出的。这个想法是这样的:我们测量两个连续变量，代表一些随机选择的健康患者的胆固醇和胰岛素水平。我们想知道哪些值的范围对应于健康的范围。就像在数字游戏中一样，挑战在于仅仅从积极的数据中学习这个概念
让我们的假设空间是平面上的轴平行矩形，如图$3.5$所示。这是一个经典的例子，在机器学习中得到了广泛的研究[Mit97]。这也是健康水平游戏的合理假设，因为我们知道(从先前的领域知识)，胰岛素和胆固醇的健康水平必须处于(未知的)下限和上限之间。我们可以将一个矩形假设表示为$h=\left(\ell_1, \ell_2, s_1, s_2\right)$，其中$\ell_j \in(-\infty, \infty)$是左下角的坐标(位置)，$s_j \in[0, \infty)$是两边的长度。因此假设空间为$\mathcal{H}=\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}{+}^2$，其中$\mathbb{R}{\geq 0}$为非负实数集。
更复杂的概念可能需要不连续的空间区域来表示它们。或者，我们可能想使用潜在的矩形区域来表示更复杂的高维概念$[\mathrm{Li}+19]$。假设空间从何而来是一个非常有趣的问题，但超出了本章的范围。(一种方法是使用分层贝叶斯模型，如[Ten $+11]$ .)
CS代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|可能性
我们假设点从矩形的支撑中均匀随机抽样。为了简化分析，让我们首先考虑一维“矩形”的情况，即直线。在1d的情况下，可能性是 $p(\mathcal{D} \mid \ell, s)=(1 / s)^N$ 如果所有点都在区间内，则为0。因此
$$
p(\mathcal{D} \mid \ell, s)= \begin{cases}s^{-N} & \text { if } \min (\mathcal{D}) \geq \ell \text { and } \max (\mathcal{D}) \leq \ell+s \ 0 & \text { otherwise }\end{cases}
$$
将此泛化为 $2 \mathrm{~d}$，我们假设观察到的特征在假设条件下是独立的。因此2d似然变成
$$
p(\mathcal{D} \mid h)=p\left(\mathcal{D}1 \mid \ell_1, s_1\right) p\left(\mathcal{D}_2 \mid \ell_2, s_2\right) $$ 哪里 $\mathcal{D}_j=\left{y{n j}: n=1: N\right}$ 是对维度(特征)的观察 $j=1,2$3.1.2.2先验
为简单起见，让我们假设先验因子，即: $p(h)=p\left(\ell_1\right) p\left(\ell_2\right) p\left(s_1\right) p\left(s_2\right)$。对于这些术语，我们将使用无信息先验。正如我们在??，这意味着我们应该使用形式的先验 $p(h) \propto \frac{1}{s_1} \frac{1}{s_2}$.
3.1.2.3后验
后验由
给出$$
p\left(\ell_1, \ell_2, s_1, s_2 \mid \mathcal{D}\right) \propto p\left(\mathcal{D}_1 \mid \ell_1, s_1\right) p\left(\mathcal{D}_2 \mid \ell_2, s_2\right) \frac{1}{s_1} \frac{1}{s_2}
$$我们可以通过离散化进行数值计算 $\mathbb{R}^4$ 变成 $4 \mathrm{~d}$
由于可视化$4 \mathrm{~d}$分布是困难的，我们从它中绘制后验样本$h^s \sim p(h \mid \mathcal{D})$，并将它们可视化为矩形。在图3.5(a)中，我们展示了一些样本，当观察到的数据点的数量$N$很小时——我们不确定正确的假设。在图3.5(b)中，我们看到对于较大的$N$，样本集中在观察到的数据上
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。