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抽象代数abstract algebra代数这个词不仅用于命名数学的一个领域和一些子领域，它还用于命名一些种类的代数结构，如一个场上的代数，通常称为代数。有时，同一短语也用于一个子领域及其主要代数结构；例如，布尔代数和布尔代数。一个专门研究代数的数学家被称为代数学家。
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Example 12.1. Consider $3 \in U_7$. Recall that the order of 3 is the smallest positive exponent $n$ such that $3^n=1$. To find it, we must compute the powers of 3 , noting that the calculation is done using the $\mathbb{Z}_7$ clock. We have $3^1=3,3^2=9=2,3^3=27=6$, $3^4=81=4$. Rather than computing $3^5$ and reducing the result modulo 7 , here’s an alternate approach. We’ve found $3^4=4$. Multiplying both sides by 3 gives $3^5=4 \cdot 3=5$. Likewise, to find $3^6$, we multiply both sides of $3^5=5$ by 3 to get $3^6=5 \cdot 3=1$. We’ve finally found $3^6=1$, so that the order of 3 is 6 . We may denote this by $|3|=6$ or $\operatorname{ord}(3)=6$
Example 12.2. For $2 \in U_7$, we have $2^1=2,2^2=4,2^3=1,2^4=2,2^5=4,2^6=1, \ldots$ on the $\mathbb{Z}_7$ clock. Thus, ord(2) $=3$. Although $2^6=1,6$ is not the smallest positive exponent for which $2^n=1$. So, ord $(2) \neq 6$.
Definition 12.3 (Order). Let $g$ be an element of a group. The order of $g$ is the smallest positive exponent $n$ such that $g^n=\varepsilon$. We often write $|g|=n$ or ord $(g)=n$.
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|When does $g^k=\varepsilon ?$
Example 12.8. Consider $3 \in U_7$. We saw in Example 12.1 that ord(3) $=6$ so that $3^6=1$ modulo 7 . To find $3^{48}$, we note that $6 \mid 48$ where $48=6 \cdot 8$. Then, $3^{48}=3^{6 \cdot 8}=$ $\left(3^6\right)^8=1^8=1$
The above example motivates the following theorem.
Theorem 12.9. Let $g$ be an element of a group with $\operatorname{ord}(g)=n$. If $n \mid k$, then $g^k=\varepsilon$.
Proof. Assume $n \mid k$, so that $k=n \cdot q$ for some integer $q$. Since $\operatorname{ord}(g)=n$, we have $g^n=\varepsilon$. Thus, $g^k=g^{n \cdot q}=\left(g^n\right)^q=\varepsilon^q=\varepsilon$, as desired.
Example 12.10. Next, we will compute $3^{263}$ where $3 \in U_7$. This time, we note that $6 \nmid 263$; i.e., 6 is not a divisor of 263 . When trying to divide 263 by 6 , we get a remainder of 5: $263=6 \cdot 43+5$. Using laws of exponents, we obtain $3^{263}=3^{6 \cdot 43+5}=\left(3^6\right)^{43} \cdot 3^5=$ $1^{43} \cdot 3^5=3^5=5$. In particular, $3^{263} \neq 1$.
Example 12.11. Here’s a (slight) generalization of Example $12.10$ above. Let $g$ be an element of a group with ord $(g)=6$. Recall that 6 is not a divisor of 263 . Specifically, we have $263=6 \cdot 43+5$, i.e, a remainder of 5 . Thus, $g^{263}=g^{6 \cdot 43+5}=\left(g^6\right)^{43} \cdot g^5=$ $\varepsilon^{43} \cdot g^5=g^5$. Thus, $g^{263}=g^5$. Since ord $(g)=6$, there does not exist a positive exponent $m<6$ such that $g^m=\varepsilon$. Since $5<6$, this implies that $g^5 \neq \varepsilon$, and therefore $g^{263} \neq \varepsilon$.
Before proceeding, let’s dig deeper into the notion of a remainder. When dividing 263 by 6 , we get a remainder of 5 , because $263=6 \cdot 43+5$. It’s also true that $263=$ $6 \cdot 42+11$ and $263=6 \cdot 44+(-1)$. But we don’t say that the remainder is 11 or $-1$. Indeed, the remainder $r$ must be less than the divisor (i.e., $r<6$ ) and also non-negative (i.e., $r \geq 0$ ). Thus, $r=5$ is the only possible remainder.
抽象代数代写
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例 12.1。考虑 $3 \in U_7$. 回想一下, 3 的阶是最小的正指数 $n$ 这样 $3^n=1$. 为了找到它, 我们闳须计算 3 的 菒, 注意计算是使用 $\mathbb{Z}_7$ 钟。我们有 $3^1=3,3^2=9=2,3^3=27=6,3^4=81=4$. 而不是计算 $3^5$ 并 减少结果模 7 , 这是另一种方法。我们找到了 $3^4=4$. 两边都乘以 3 得到 $3^5=4 \cdot 3=5$. 同样, 要找到 $3^6$, 我们将两边相乘 $3^5=5$ 由 3 得到 $3^6=5 \cdot 3=1$. 我们终于找到了 $3^6=1$, 所以 3 的阶数是 6 。我 们可以用 $|3|=6$ 或者 $\operatorname{ord}(3)=6$
例 12.2。为了 $2 \in U_7$, 我们有 $2^1=2,2^2=4,2^3=1,2^4=2,2^5=4,2^6=1, \ldots$ 在 $\mathbb{Z} 7$ 钟。因此, $\operatorname{ord}(2)=3$. 虽然 $2^6=1,6$ 不是最小的正指数 $2^n=1$. 所以, 话 $(2) \neq 6$.
定义 $12.3$ (顺序) 。让 $g$ 成为组的一个元素。的顺序 $g$ 是最小的正指数 $n$ 这样 $g^n=\varepsilon$. 我们经常写 $|g|=n$ 或 命今 $(g)=n$.
数学代写抽象代数作业代写ALGEBRA代 左|When does $g^k=\varepsilon$ ?
例 $12.8$ 。考虑 $3 \in U_7$. 我们在示例 $12.1$ 中看到了 $\operatorname{ord}(3)=6$ 以便 $3^6=1$ 模 7 。寻找 $3^{48}$, 我们注意到 $6 \mid 48$ 在哪里 $48=6 \cdot 8$. 然后, $3^{48}=3^{6 \cdot 8}=\left(3^6\right)^8=1^8=1$
上面的例子激发了以下定理。
定理 12.9。让 $g$ 是一个组的元責 $\operatorname{ord}(g)=n$. 如果 $n \mid k$, 然后 $g^k=\varepsilon$.
证明。认为 $n \mid k$, 以便 $k=n \cdot q$ 对于某个整数 $q$. 自从 $\operatorname{ord}(g)=n$, 我们有 $g^n=\varepsilon$. 因此, $g^k=g^{n \cdot q}=\left(g^n\right)^q=\varepsilon^q=\varepsilon$ ， 如预期的。
例 12.10。接下来, 我们将计算 $3^{263}$ 在哪里 $3 \in U_7$. 这一次, 我们注意到 $6 \nmid 263$; 即, 6 不是 263 的除 数。当试图将 263 除以 6 时, 我们得到 5 的余数: $263=6 \cdot 43+5$. 使用指数定律, 涐们得到 $3^{263}=3^{6 \cdot 43+5}=\left(3^6\right)^{43} \cdot 3^5=1^{43} \cdot 3^5=3^5=5$. 尤其是, $3^{263} \neq 1$.
例 12.11。这是示例的 (轻微) 概括 $12.10$ 以上。让 $g$ 是具有 ord 的组的元素 $(g)=6$. 回想一下 6 不是 263 的除数。具体来说, 我们有 $263=6 \cdot 43+5$, 即 5 的余数。因此, $g^{263}=g^{6 \cdot 43+5}=\left(g^6\right)^{43} \cdot g^5=$ $\varepsilon^{43} \cdot g^5=g^5$. 因此, $g^{263}=g^5$. 自从订购 $(g)=6$, 不存在正指数 $m<6$ 这样 $g^m=\varepsilon$. 自从 $5<6$, 这 意味着 $g^5 \neq \varepsilon$, 因此 $g^{263} \neq \varepsilon$.
在继续之前, 让我们深入研究余数的概念。当 263 除以 6 时, 我们得到 5 的余数, 因为 $263=6 \cdot 43+5$. 这是真的 $263=6 \cdot 42+11$ 和 $263=6 \cdot 44+(-1)$. 但我们并不是说余数是 11 或 $-1$. 确实, 剩下的 $r$ 闳须小于除数 (即, $r<6$ ) 和非负数 (即, $r \geq 0$ ) 。因此, $r=5$ 是唯一可能的余数。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着 说。
机器学习代写
机器学习（ML）是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关，统计学专注于使用计算机进行预测，但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。
统计推断代写
统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多，包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。