数学代写|概率论代考Probability Theory代写|MATHS7103 Strong Law of Large Numbers

如果你也在 怎样代写概率论Probability Theory MATHS7103这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。概率论Probability Theory作为统计学的数学基础,对许多涉及数据定量分析的人类活动至关重要。概率论的方法也适用于对复杂系统的描述,只对其状态有部分了解,如在统计力学或顺序估计。二十世纪物理学的一个伟大发现是量子力学中描述的原子尺度的物理现象的概率性质。

概率论Probability Theory Math37500的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程(为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象,这些过程或测量量可能是单一发生的,或以随机方式随时间演变)。尽管不可能完美地预测随机事件,但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一组公理来表达它。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|MATHS7103 Strong Law of Large Numbers

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Strong Law of Large Numbers

We show Etemadi’s version [47] of the strong law of large numbers for identically distributed, pairwise independent random variables. There is a zoo of strong laws of large numbers, each of which varies in the exact assumptions it makes on the underlying sequence of random variables. For example, the assumption that the random variables be identically distributed can be waived if other assumptions are introduced such as bounded variances. We do not strive for completeness but show only a few of the statements.

In order to illustrate the method of the proof of Etemadi’s theorem, we first present (and prove) a strong law of large numbers under stronger assumptions.
Theorem 5.16 Let $X_1, X_2, \ldots \in \mathcal{L}^2(\mathbf{P})$ be pairwise independent (that is, $X_i$ and $X_j$ are independent for all $i, j \in \mathbb{N}$ with $i \neq j$ ) and identically distributed. Then $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ fulfills the strong law of large numbers.

Proof The random variables $\left(X_n^{+}\right){n \in \mathbb{N}}$ and $\left(X_n^{-}\right){n \in \mathbb{N}}$ again form pairwise independent families of square integrable random variables (compare Remark 2.15(ii)). Hence, it is enough to consider $\left(X_n^{+}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. Thus we henceforth assume $X_n \geq 0$ almost surely for all $n \in \mathbb{N}$.

Let $S_n=X_1+\ldots+X_n$ for $n \in \mathbb{N}$. Fix $\varepsilon>0$. For any $n \in \mathbb{N}$, define $k_n=$ $\left\lfloor(1+\varepsilon)^n\right\rfloor \geq \frac{1}{2}(1+\varepsilon)^n$. Then, by Chebyshev’s inequality (Theorem 5.11),
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{P}\left[\left|\frac{S_{k_n}}{k_n}-\mathbf{E}\left[X_1\right]\right| \geq(1+\varepsilon)^{-n / 4}\right] \leq \sum_{n=1}^{\infty}(1+\varepsilon)^{n / 2} \operatorname{Var}\left[k_n^{-1} S_{k_n}\right]
$$
$$
\begin{aligned}
&=\sum_{n=1}^{\infty}(1+\varepsilon)^{n / 2} k_n^{-1} \operatorname{Var}\left[X_1\right] \
&\leq 2 \operatorname{Var}\left[X_1\right] \sum_{n=1}^{\infty}(1+\varepsilon)^{-n / 2}<\infty .
\end{aligned}
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Entropy and Source Coding Theorem

We briefly discuss the importance of $\pi_n$ and the entropy. How can we quantify the information inherent in a message $X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega)$ ? This information can be measured by the length of the shortest sequence of zeros and ones by which the message can be encoded. Of course, you do not want to invent a new code for every message but rather use one code that allows for the shortest average coding of the messages for the particular information source. To this end, associate with each symbol $e \in E$ a sequence of zeros and ones that when concatenated yield the message. The length $l(e)$ of the sequence that codes for $e$ may depend on $e$. Hence, for efficiency, those symbols that appear more often get a shorter code than the more rare symbols. The Morse alphabet is constructed similarly (the letters “e” and ” $\mathrm{e}$ “, which are the most frequent letters in English, have the shortest codes (“dot” and “dash”), and the rare letter “q” has the code “dash-dash-dot-dash”). However, the Morse code also consists of gaps of different lengths that signal ends of letters and words. As we want to use only zeros and ones (and no gap-like symbols), we have to arrange the code in such a way that no code is the beginning of the code of a different symbol. For example, we could not encode one symbol with 0110 and a different one with 011011 . A code that fulfills this condition is called a binary prefix code. Denote by $c(e) \in{0,1}^{l(e)}$ the code of $e$, where $l(e)$ is its length. We can represent the codes of all letters in a tree.

Let us construct a code $C=(c(e), e \in E)$ that is efficient in the sense that it minimizes the expected length of the code (of a random symbol)
$$
L_p(C):=\sum_{e \in E} p_e l(e) .
$$
We first define a specific code and then show that it is almost optimal. As a first step, we enumerate $E=\left{e_1, \ldots, e_N\right}$ such that $p_{e_1} \geq p_{e_2} \geq \ldots \geq p_{e_N}$. Define $\ell(e) \in \mathbb{N}$ for any $e \in E$ by
$$
2^{-\ell(e)} \leq p_e<2^{-\ell(e)+1} .
$$
Let $\tilde{p}e=2^{-\ell(e)}$ for any $e \in E$ and let $\tilde{q}_k=\sum{l<k} \tilde{p}_{e_l}$ for $k=1, \ldots, N$.

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|MATHS7103 Strong Law of Large Numbers

概率论代写

数学代写|概率论代考概率论代写|强大数定律


我们展示了Etemadi版本的同分布、成对独立随机变量的强大数定律。有一个强大的大数定律的动物园,每一个定律都在它对潜在随机变量序列的精确假设上有所不同。例如,如果引入其他假设(如有界方差),则可以放弃随机变量同分布的假设。我们不追求语句的完整性,而是只显示其中的几个语句


为了说明埃特马迪定理的证明方法,我们首先在更强的假设下提出(并证明)一个强大的大数定律。
定理5.16让 $X_1, X_2, \ldots \in \mathcal{L}^2(\mathbf{P})$ 成对独立(即, $X_i$ 和 $X_j$ 都是独立的 $i, j \in \mathbb{N}$ 用 $i \neq j$ )和同分布。然后 $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ 满足强数定律。


随机变量$\left(X_n^{+}\right){n \in \mathbb{N}}$和$\left(X_n^{-}\right){n \in \mathbb{N}}$再次构成了平方可积随机变量的成对独立族(比较注释2.15(ii))。因此,考虑$\left(X_n^{+}\right)_{n \in \mathbb{N}}$就足够了。因此,我们从今以后假定$X_n \geq 0$几乎肯定适用于所有$n \in \mathbb{N}$

让$S_n=X_1+\ldots+X_n$为$n \in \mathbb{N}$。修复$\varepsilon>0$。对于任何$n \in \mathbb{N}$,定义$k_n=$$\left\lfloor(1+\varepsilon)^n\right\rfloor \geq \frac{1}{2}(1+\varepsilon)^n$。然后,根据切比雪夫不等式(定理5.11),
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{P}\left[\left|\frac{S_{k_n}}{k_n}-\mathbf{E}\left[X_1\right]\right| \geq(1+\varepsilon)^{-n / 4}\right] \leq \sum_{n=1}^{\infty}(1+\varepsilon)^{n / 2} \operatorname{Var}\left[k_n^{-1} S_{k_n}\right]
$$
$$
\begin{aligned}
&=\sum_{n=1}^{\infty}(1+\varepsilon)^{n / 2} k_n^{-1} \operatorname{Var}\left[X_1\right] \
&\leq 2 \operatorname{Var}\left[X_1\right] \sum_{n=1}^{\infty}(1+\varepsilon)^{-n / 2}<\infty .
\end{aligned}
$$

数学代写|概率论代考概率论代写|熵与源编码定理


我们简要讨论了$\pi_n$和熵的重要性。我们如何量化消息中固有的信息$X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega)$ ?这一信息可以通过编码信息的最短0和1序列的长度来衡量。当然,您不希望为每条消息发明一种新的代码,而是希望使用一种允许对特定信息源的消息进行最短平均编码的代码。为此,将每个符号$e \in E$关联一个由0和1组成的序列,当它们连接在一起时产生消息。编码$e$的序列的长度$l(e)$可能取决于$e$。因此,为了提高效率,那些经常出现的符号比更罕见的符号得到更短的代码。摩尔斯字母表的结构与此类似(英语中使用频率最高的字母“e”和“$\mathrm{e}$”的代码最短(“点”和“破折号”),而罕见的字母“q”的代码是“破折号-破折号-点-破折号”)。然而,摩尔斯电码也由不同长度的间隙组成,用来表示字母和单词的结尾。由于我们希望只使用0和1(并且不使用类似间隙的符号),所以我们必须以这样一种方式排列代码,即没有代码是不同符号的代码的开始。例如,我们不能用0110编码一个符号,而用011011编码另一个符号。满足这个条件的代码称为二进制前缀代码。用$c(e) \in{0,1}^{l(e)}$表示$e$的代码,其中$l(e)$是它的长度。我们可以表示树中所有字母的代码。

让我们构造一个代码$C=(c(e), e \in E)$,这个代码在某种意义上是有效的,因为它使(随机符号的)代码的预期长度最小
$$
L_p(C):=\sum_{e \in E} p_e l(e) .
$$
我们首先定义一个特定的代码,然后证明它几乎是最佳的。作为第一步,我们枚举$E=\left{e_1, \ldots, e_N\right}$以便$p_{e_1} \geq p_{e_2} \geq \ldots \geq p_{e_N}$。
$$
2^{-\ell(e)} \leq p_e<2^{-\ell(e)+1} .
$$
为任何$e \in E$定义$\ell(e) \in \mathbb{N}$为$e \in E$,让$\tilde{p}e=2^{-\ell(e)}$为,让$\tilde{q}k=\sum{l<k} \tilde{p}{e_l}$为$k=1, \ldots, N$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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