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2 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Moment-generating functions

3 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Cumulant-generating functions and cumulants

4 统计推断代写

4.1 统计代写|统计推断代考统计推断代写|矩生成函数

4.2 统计代写|统计推断代考统计推断代写|累积量生成函数和累积量

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统计推断Statistical Inference（可以与描述性统计进行对比。描述性统计只关注观察到的数据的属性，它并不依赖于数据来自一个更大的群体的假设。在机器学习中，推理一词有时被用来代替 “通过评估一个已经训练好的模型来进行预测”；在这种情况下，推断模型的属性被称为训练或学习（而不是推理），而使用模型进行预测被称为推理（而不是预测）；另见预测推理。

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|TMA4295 Generating functions

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Moment-generating functions

For many distributions, all the moments $\mathbb{E}(X), \mathbb{E}\left(X^2\right), \ldots$ can be encapsulated in a single function. This function is referred to as the moment-generating function, and it exists for many commonly used distributions. It often provides the most efficient method for calculating moments. Moment-generating functions are also useful in establishing distributional results, such as the properties of sums of random variables, and in proving asymptotic results.

Definition 3.5.1 (Moment-generating function)
The moment-generating function of a random variable $X$ is a function $M_X: \mathbb{R} \longrightarrow$ $[0, \infty)$ given by
$$
M_X(t)=\mathbb{E}\left(e^{t X}\right)= \begin{cases}\sum_x e^{t x} f_X(x) & \text { if } X \text { discrete, } \ \int_{-\infty}^{\infty} e^{t x} f_X(x) d x & \text { if } X \text { continuous. }\end{cases}
$$
where, for the function to be well defined, we require that $M_X(t)<\infty$ for all $t \in[-h, h]$ for some $h>0$.
A few things to note about moment-generating functions.

Problems involving moment-generating functions almost always use the definition in terms of expectation as a starting point.

The moment-generating function $M_X(t)=\mathbb{E}\left(e^{t X}\right)$ is a function of $t$. The $t$ is just a label, so $M_X(s)=\mathbb{E}\left(e^{s X}\right), M_X(\theta)=\mathbb{E}\left(e^{\theta X}\right), M_Y(p)=\mathbb{E}\left(e^{p Y}\right)$, and so on.

We need the moment-generating function to be defined in an interval around the origin. Later on we will be taking derivatives of the moment-generating function at zero, $M_X^{\prime}(0), M_X^{\prime \prime}(0)$, and so on.

The moment-generating function of $X$ is the expected value of an exponential function of $X$. Useful properties of moment-generating functions are inherited from the exponential function, $e^x$. The Taylor series expansion around zero, provides an expression for $e^x$ as a polynomial in $x$,
$$
e^x=1+x+\frac{1}{2 !} x^2+\ldots+\frac{1}{r !} x^r+\ldots=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j !} x^j
$$
This expansion (and any Taylor series expansion around zero) is often referred to as the Maclaurin series expansion. All the derivatives of $e^x$ are equal to $e^x$,
$$
\frac{d^r}{d x^r} e^x=e^x \text { for } r=1,2, \ldots
$$
This can be checked by differentiation of the Maclaurin series expansion. These observations lead to two propositions that are of direct use in evaluating moments.

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Cumulant-generating functions and cumulants

It is often convenient to work with the log of the moment-generating function. It turns out that the coefficients of the polynomial expansion of the log of the momentgenerating function have convenient interpretations in terms of moments and central moments.
Definition 3.5.7 (Cumulant-generating function and cumulants)
The cumulant-generating function of a random variable $X$ with moment-generating function $M_X(t)$, is defined as
$$
K_X(t)=\log M_X(t) .
$$
The $r^{\text {th }}$ cumulant, $\kappa_r$, is the coefficient of $t^r / r !$ in the expansion of the cumulantgenerating function $K_X(t)$ so
$$
K_X(t)=\kappa_1 t+\kappa_2 \frac{t^2}{2 !}+\ldots+\kappa_r \frac{t^r}{r !}+\ldots=\sum_{j=1}^{\infty} \kappa_j \frac{t^j}{j !} .
$$
It is clear from this definition that the relationship between cumulant-generating function and cumulants is the same as the relationship between moment-generating function and moments. Thus, to calculate cumulants we can either compare coefficients or differentiate.

Calculating the $r^{\text {th }}$ cumulant, $\kappa_r$, by comparing coefficients:
$$
\text { if } K_X(t)=\sum_{j=0}^{\infty} b_j t^j \text { then } \kappa_r=r ! b_r \text {. }
$$

Calculating the $r^{\text {th }}$ cumulant, $\kappa_r$, by differentiation:
$$
\kappa_r=K_X^{(r)}(0)=\left.\frac{d^r}{d t^r} K_X(t)\right|_{t=0}
$$

统计推断代写

统计代写|统计推断代考统计推断代写|矩生成函数

. .矩生成函数

对于许多发行版，所有的moments $\mathbb{E}(X), \mathbb{E}\left(X^2\right), \ldots$都可以封装在一个函数中。这个函数称为力矩生成函数，它存在于许多常用的分布中。它通常是计算力矩最有效的方法。矩产生函数在建立分布结果(如随机变量和的性质)和证明渐近结果方面也很有用

定义3.5.1(力矩产生函数)
随机变量$X$的力矩产生函数是一个函数$M_X: \mathbb{R} \longrightarrow$$[0, \infty)$，由
$$
M_X(t)=\mathbb{E}\left(e^{t X}\right)= \begin{cases}\sum_x e^{t x} f_X(x) & \text { if } X \text { discrete, } \ \int_{-\infty}^{\infty} e^{t x} f_X(x) d x & \text { if } X \text { continuous. }\end{cases}
$$
给出，其中，为了使函数定义良好，我们要求$M_X(t)<\infty$对于所有的$t \in[-h, h]$对于某些$h>0$

涉及产生矩函数的问题几乎总是使用期望的定义作为起点

力矩生成函数$M_X(t)=\mathbb{E}\left(e^{t X}\right)$是$t$的一个函数。$t$只是一个标签，所以$M_X(s)=\mathbb{E}\left(e^{s X}\right), M_X(\theta)=\mathbb{E}\left(e^{\theta X}\right), M_Y(p)=\mathbb{E}\left(e^{p Y}\right)$等等

我们需要在原点周围的区间内定义力矩生成函数。稍后，我们将对力矩产生函数在0处、$M_X^{\prime}(0), M_X^{\prime \prime}(0)$处求导，以此类推

$X$的矩产生函数是$X$的指数函数的期望值。矩产生函数的有用性质继承自指数函数$e^x$。零点附近的泰勒级数展开，提供了$e^x$作为$x$中的多项式的表达式，
$$
e^x=1+x+\frac{1}{2 !} x^2+\ldots+\frac{1}{r !} x^r+\ldots=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j !} x^j
$$
这种展开(以及零点附近的任何泰勒级数展开)通常被称为麦克洛林级数展开。$e^x$的所有导数都等于$e^x$，
$$
\frac{d^r}{d x^r} e^x=e^x \text { for } r=1,2, \ldots
$$
这可以通过对麦克洛林级数展开的微分来检验。这些观察结果导出了两个命题，可直接用于求矩

统计代写|统计推断代考统计推断代写|累积量生成函数和累积量

使用矩产生函数的对数通常很方便。结果表明，力矩产生函数对数的多项式展开系数可以方便地用矩和中心矩来解释。定义3.5.7(累积量产生函数和累积量)
具有矩量产生函数$M_X(t)$的随机变量$X$的累积量产生函数定义为
$$
K_X(t)=\log M_X(t) .
$$
$r^{\text {th }}$累积量，$\kappa_r$，为累积产生函数$K_X(t)$的展开中$t^r / r !$的系数，因此
$$
K_X(t)=\kappa_1 t+\kappa_2 \frac{t^2}{2 !}+\ldots+\kappa_r \frac{t^r}{r !}+\ldots=\sum_{j=1}^{\infty} \kappa_j \frac{t^j}{j !} .
$$
从这个定义中可以清楚地看出，累积产生函数与累积量之间的关系与矩产生函数与矩之间的关系是一样的。因此，为了计算累积量，我们可以比较系数或微分

通过比较系数计算$r^{\text {th }}$累积量$\kappa_r$:
$$
\text { if } K_X(t)=\sum_{j=0}^{\infty} b_j t^j \text { then } \kappa_r=r ! b_r \text {. }
$$

通过微分计算$r^{\text {th }}$累积量$\kappa_r$:
$$
\kappa_r=K_X^{(r)}(0)=\left.\frac{d^r}{d t^r} K_X(t)\right|_{t=0}
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。