物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|PHYS881 Failures of the Drude theory

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固体力学Solid Mechanics是土木工程、航空航天、核工程、生物医学和机械工程、地质学以及材料科学等许多物理学分支的基础。 它在许多其他领域也有具体的应用,如了解生物的解剖学,以及设计牙科假体和外科植入物。固体力学最常见的实际应用之一是欧拉-伯努利梁方程。固体力学广泛地使用张量来描述应力、应变以及它们之间的关系。

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物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|PHYS881 Failures of the Drude theory

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|Failures of the Drude theory

From the discussion developed so far, one could draw the conclusion that Drude theory is basically sufficient to explain the main physical features of electron gas in a metal, given its apparent success in all topics where we have applied it. Unfortunately, this is not true.

First of all, we observe that the predicted value for the Lorenz number is (roughly) only half of the measured one $[2,3]$. Second, the ability to explain the phenomenological Wiedemann-Franz law is just casual since it is based on two large numerical errors pointing in opposite directions: (i) the actual specific heat of an electron gas at the typical metallic density is much smaller than predicted classically and (ii) the typical electron velocities are much larger than calculated by equipartition. By chance these two rather inaccurate estimations almost perfectly compensate for each other, thus giving an illusory impression of robustness to the Drude theory. In addition, the Lorenz number is not a constant at low temperatures [7], mainly because it is found that $\kappa_e$ is a function of temperature. As a matter of fact, only a full quantum theory is able to correct such discrepancies so as to match the experimental evidences.

In addition to the above failures, the Drude theory is also unsuccessful in describing the electron gas under the action of both an electric and magnetic field, as found when investigating the Hall effect $[2,3]$. Let us consider the situation shown in figure $7.3$ where a constant and uniform magnetic field $\mathbf{B}=(0,0, B)$ is applied normal to the current density $\mathbf{j}$ generated by a constant and uniform electric field $\mathbf{E}=\left(E_x, E_y, 0\right)$. As before, the equation of motion for the electrons of the conducing gas are Newton-like
$$
-e \mathbf{E}-e \mathbf{v}{\mathrm{d}} \times \mathbf{B}=m{\mathrm{e}} \dot{\mathbf{v}}{\mathrm{d}}+\frac{m{\mathrm{e}}}{\tau_{\mathrm{e}}} \mathbf{v}{\mathrm{d}}, $$ where the left-hand side is now given by the Lorentz force $-e\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}{\mathrm{d}} \times \mathbf{B}\right)$. If we consider a steady-state regime, we have $\dot{\mathrm{v}}{\mathrm{d}}=0$ and the equation of motion leads to $$ v{\mathrm{d}, x}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} E_x-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B \quad v_{\mathrm{d}, y} \quad \text { and } \quad v_{\mathrm{d}, y}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} E_y+\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B v_{\mathrm{d}, x},
$$
By imposing the condition that no transverse current flows in the $y$ direction (an open-circuit configuration corresponding to the condition $v_y=0$ ) we get
$$
\frac{E_y}{E_x}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B,
$$
which allows us to define the Hall coefficient $R_{\mathrm{H}}$ as
$$
R_{\mathrm{H}}=\frac{E_y}{j_x B}=\frac{E_y}{\sigma_{\mathrm{e}} E_x B}=-\frac{1}{n_{\mathrm{e}} e},
$$
where $j_x$ is the current density along the $x$ direction and equation (7.7) has been used for the conductivity $\sigma_{\mathrm{e}}$. Therefore, Drude theory predicts that the Hall coefficient is independent of the applied magnetic field and, in any case, negative. Unfortunately, both conclusions are wrong!

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|The quantum (Sommerfeld) theory of the conduction gas

The main source of failure of the Drude theory lies in fact that the electrons have been treated classically. The next obvious step in improving our theory, is, therefore, to apply quantum mechanics to the conduction gas.Let us consider a metal specimen at zero temperature. Since its bulk properties do not depend on the shape, for mathematical convenience we will consider a cubic sample with side $L$ and faces normal to the $x, y$, and $z$ Cartesian axes. The singleparticle wavefunction for any (free and independent) electron of the conduction gas is obtained by solving the Schrödinger equation

$$
-\frac{\hbar^2}{2 m_{\mathrm{e}}} \nabla^2 \psi(\mathbf{r})=E \psi(\mathbf{r}),
$$
where $E$ is the electron energy. By imposing the Born-von Karman condition stated in equation (1.4), we easily get the normalised wavefunction
$$
\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\frac{1}{L^{3 / 2}} \exp (i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{V}} \exp (i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}),
$$
where $V=L^3$ is the system volume and the electron wavevector $\mathbf{k}$ has the following Cartesian components ${ }^{11}$
$$
k_x=\frac{2 \pi}{L} \xi_x \quad k_x=\frac{2 \pi}{L} \xi_y \quad k_x=\frac{2 \pi}{L} \xi_z,
$$
with $\xi_x, \xi_y, \xi_z=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ We stress that (i) the free electron wavefunction given in equation (7.23) has been labelled by $\mathbf{k}$ which plays the role of a quantum number for the crystalline states ${ }^{12}$, (ii) the wavefunction given in equation (7.23) does obey the Bloch theorem discussed in section 6.3: in this specific case we simply have $u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=1$. The electron energy is
$$
E=\frac{\hbar^2 k^2}{2 m_{\mathrm{e}}}=\frac{\hbar^2}{2 m_{\mathrm{e}}}\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right),
$$
a result which makes quite evident the function of quantum numbers associated with $k_x, k_y$, and $k_z$. By using the quantum mechanical operator $\hat{\mathbf{p}}=-i \hbar \nabla$, we easily obtain the electron momentum
$$
\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k},
$$
and the corresponding electron velocity $\mathbf{v}=\hbar \mathbf{k} / m_{\mathrm{e}}$.

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|PHYS881 Failures of the Drude theory

固体力学代写

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考| Drude理论的失败


从目前的讨论中,我们可以得出这样的结论:鉴于德鲁德理论在我们应用它的所有主题中都取得了明显的成功,它基本上足以解释金属中电子气体的主要物理特征。不幸的是,这不是真的


首先,我们观察到洛伦兹数的预测值(大致)只有实测值的一半$[2,3]$。其次,解释唯象的魏德曼-弗朗茨定律的能力只是偶然的,因为它是基于两个指向相反方向的巨大数值误差:(i)在典型金属密度下电子气体的实际比热比经典预测的要小得多;(ii)典型电子速度比平均分配计算的要大得多。巧合的是,这两个相当不准确的估计几乎完美地互相补偿,从而给德鲁德理论带来了一种鲁棒性的错觉。此外,洛伦兹数在低温[7]下不是常数,主要是因为发现$\kappa_e$是温度的函数。事实上,只有完整的量子理论才能纠正这种差异,从而与实验证据相匹配


除了上述的失败,德鲁德理论也未能描述在电场和磁场作用下的电子气体,正如研究霍尔效应时发现的那样 $[2,3]$。让我们考虑一下图中所示的情况 $7.3$ 恒定均匀的磁场在哪里 $\mathbf{B}=(0,0, B)$ 是否垂直于电流密度 $\mathbf{j}$ 由恒定且均匀的电场产生的 $\mathbf{E}=\left(E_x, E_y, 0\right)$。和以前一样,传导气体的电子的运动方程是牛顿式
$$
-e \mathbf{E}-e \mathbf{v}{\mathrm{d}} \times \mathbf{B}=m{\mathrm{e}} \dot{\mathbf{v}}{\mathrm{d}}+\frac{m{\mathrm{e}}}{\tau_{\mathrm{e}}} \mathbf{v}{\mathrm{d}}, $$ 左边是由洛伦兹力给出的 $-e\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}{\mathrm{d}} \times \mathbf{B}\right)$。如果我们考虑一个稳态系统,我们有 $\dot{\mathrm{v}}{\mathrm{d}}=0$ 运动方程得到 $$ v{\mathrm{d}, x}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} E_x-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B \quad v_{\mathrm{d}, y} \quad \text { and } \quad v_{\mathrm{d}, y}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} E_y+\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B v_{\mathrm{d}, x},
$$
通过施加无横向电流流动的条件 $y$ 方向(与条件相对应的开路配置) $v_y=0$ )我们得到
$$
\frac{E_y}{E_x}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B,
$$
这允许我们定义霍尔系数 $R_{\mathrm{H}}$ as
$$
R_{\mathrm{H}}=\frac{E_y}{j_x B}=\frac{E_y}{\sigma_{\mathrm{e}} E_x B}=-\frac{1}{n_{\mathrm{e}} e},
$$
where $j_x$ 电流密度是沿 $x$ 电导率采用方向和式(7.7) $\sigma_{\mathrm{e}}$。因此,德鲁德理论预测霍尔系数与施加的磁场无关,在任何情况下都是负的。不幸的是,这两个结论都是错误的!

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|传导气体的量子(Sommerfeld)理论


德鲁德理论失败的主要原因在于电子被经典地处理了。因此,要改进我们的理论,下一步显然是将量子力学应用于传导气体。让我们考虑一个在零温度下的金属试样。由于其体积性质不依赖于形状,为了便于计算,我们将考虑一个三次样本,其边长为$L$,面垂直于$x, y$和$z$的笛卡尔轴。通过求解Schrödinger方程,得到了传导气体中任意(自由和独立)电子的单粒子波函数

$$
-\frac{\hbar^2}{2 m_{\mathrm{e}}} \nabla^2 \psi(\mathbf{r})=E \psi(\mathbf{r}),
$$
其中$E$是电子能量。引入式(1.4)所示的Born-von Karman条件,我们很容易得到归一化波函数
$$
\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\frac{1}{L^{3 / 2}} \exp (i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{V}} \exp (i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}),
$$
其中$V=L^3$是系统体积和电子波矢$\mathbf{k}$有以下笛卡尔分量${ }^{11}$
$$
k_x=\frac{2 \pi}{L} \xi_x \quad k_x=\frac{2 \pi}{L} \xi_y \quad k_x=\frac{2 \pi}{L} \xi_z,
$$
with $\xi_x, \xi_y, \xi_z=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$我们强调(i)式(7.23)中给出的自由电子波函数被$\mathbf{k}$标记,它扮演晶体态的量子数的角色${ }^{12}$,(ii)式(7.23)中给出的波函数符合第6.3节中讨论的布洛赫定理:在这种具体情况下,我们只需得到$u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=1$。电子能量
$$
E=\frac{\hbar^2 k^2}{2 m_{\mathrm{e}}}=\frac{\hbar^2}{2 m_{\mathrm{e}}}\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right),
$$
,这个结果很明显地说明了与$k_x, k_y$和$k_z$相关的量子数的函数。利用量子力学算符$\hat{\mathbf{p}}=-i \hbar \nabla$,我们很容易得到电子动量
$$
\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k},
$$
和相应的电子速度$\mathbf{v}=\hbar \mathbf{k} / m_{\mathrm{e}}$ .

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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