物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|PHYS440 The Bloch theorem

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固体力学Solid Mechanics是土木工程、航空航天、核工程、生物医学和机械工程、地质学以及材料科学等许多物理学分支的基础。 它在许多其他领域也有具体的应用,如了解生物的解剖学,以及设计牙科假体和外科植入物。固体力学最常见的实际应用之一是欧拉-伯努利梁方程。固体力学广泛地使用张量来描述应力、应变以及它们之间的关系。

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物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|PHYS440 The Bloch theorem

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|The Bloch theorem

We now derive a formal result due to the translational invariance of any crystal lattice discussed in chapter 2.

Let us start from the single electron approximation developed in section 1.4.1, where we proved that the Schrödinger problem given by equation (1.22) must be solved for each crystalline electron. The electron Hamiltonian operator $\hat{H}(\mathbf{r})$
$$
\hat{H}(\mathbf{r})=-\frac{\hbar^2}{2 m_{\mathrm{e}}} \nabla^2+\hat{V}{\mathrm{ctp}}(\mathbf{r}), $$ is obviously depending upon the position $\mathbf{r}$ of the particle within the crystal and, because of the property of translational invariance of the lattice, we have $$ \hat{H}(\mathbf{r})=\hat{H}\left(\mathbf{r}+\mathbf{R}_1\right), $$ as shown in figure 2.3. In order to formally treat such an invariance, it is useful to introduce the translation operator $\hat{T}{\mathbf{R}1}$ whose action on a generic space function $f(\mathbf{r})$ is defined as $$ \hat{T}{\mathbf{R}1} f(\mathbf{r})=f\left(\mathbf{r}+\mathbf{R}{\mathbf{l}}\right)
$$

Just as it has been possible to obtain the general form of the wavefunction of crystalline electrons without taking into consideration any materials-specific property, so we are about to derive the general structure of the energy spectrum for valence electrons by only considering the periodicity of the single-particle potential $\hat{V}{\mathrm{cfp}}(\mathbf{r})=\hat{V}{\mathrm{cfp}}\left(\mathbf{r}+\mathbf{R}_1\right)$.

To this aim we discuss the simple case of a one-dimensional monoatomic crystal under the construction usually referred as Kronig-Penney model. The situation sketched in figure $6.1$ is further simplified by approximating the crystal field potential with a function $V(x)$ which consists in a periodic sequence of potential wells spanning the core regions, separated by finite barriers occupying the interstitial ones. This idealised situation is represented in figure 6.3. We remark that we have for convenience set the zero of the potential at the bottom of the wells, while $a$ and $b$, respectively, indicate the width of the wells and barriers. Therefore, the lattice periodicity is $a+b$ or, equivalently, in this case the lattice vectors are written as $R_1=n(a+b)$ with $n=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ (see equation (2.1)). We understand that $a<b$ by guessing that interstitial regions are larger than core ones ${ }^{12}$.

Thanks to the crystal periodicity, it is sufficient to solve the quantum problem of a valence electron under the action of the Kronig-Penney potential $V(x)$ only for a single pair of adjacent core and interstitial regions. With reference to figure $6.3$ we write
$$
V(x)=\left{\begin{array}{cll}
0 & 0<x<a & \text { core region } \
V_0-b \leqslant x \leqslant 0 & \text { interstitial region }
\end{array}\right.
$$
so that
$$
\left{\begin{aligned}
\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}+\frac{2 m_{\mathrm{e}}}{\hbar^2} E \psi(x) &=0 \quad \text { core region } \
\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}+\frac{2 m_{\mathrm{e}}}{\hbar^2}\left(E-V_0\right) \psi(x) &=0 \quad \text { interstitial region }
\end{aligned}\right.
$$

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|General features of the metallic state

Metals are characterised at the macroscopic level by the ability to conduct electricity. Phenomenologically, the charge transport properties are defined by their resistivity which typically ranges in between $10^{-8}$ and $10^{-6} \Omega \mathrm{m}$ at $T=300 \mathrm{~K}$. The presence of impurities detrimentally affects the charge transport in these materials and, therefore, their conductivity is typically lowered by increasing the concentration of defects. Finally, the resistivity is found to decrease monotonically with decreasing temperature 1 .

The metallic state is very common in Nature, since more than two thirds of the elements are in fact good conductors. They are preferentially found on the left-hand side of the periodic table; accordingly, their atomic ground-state configuration typically consists in a large majority of electrons hosted by core states and just a few others found in valence states, as shown in appendix $\mathrm{A}$. The number $n_{\mathrm{e}}$ of valence electrons per $\mathrm{cm}^3$ is given by the product (number of atoms per mole) $\times$ (number of moles per $\left.\mathrm{cm}^3\right) \times($ number of valence electrons per atom) or equivalently
$$
n_{\mathrm{e}}=\mathcal{N}{\mathrm{A}} \frac{d{\mathrm{m}}}{A} Z_{\mathrm{v}},
$$
where $d_{\mathrm{m}}$ is the mass density of the metal, while the symbols $\mathcal{N}{\mathrm{A}}, Z{\mathrm{v}}$, and $A$ are the Avogadro number, the number of valence electrons per atom (chemical valence), and the atomic mass number, respectively, previously defined in sections $1.2 .1$ and 1.3.2. As reported in table $7.1$ this corresponds to a typical number density of the order of $10^{22}$ electrons $\mathrm{cm}^{-3}$, which is much larger than found in any ordinary atomic or molecular gas in normal conditions of temperature and pressure ${ }^2$. We can also assign a volume per electron, which corresponds to a sphere of radius $r_{\mathrm{e}}$ defined so that
$$
\frac{4}{3} \pi r_{\mathrm{e}}^3=\frac{1}{n_{\mathrm{e}}}
$$

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|PHYS440 The Bloch theorem

固体力学代写

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考|布洛赫定理


由于在第二章中讨论过的任意晶格的平移不变性,我们现在得到了一个形式化的结果


让我们从1.4.1节提出的单电子近似开始,在那里我们证明了由式(1.22)给出的Schrödinger问题必须对每个晶体电子求解。电子哈密顿算子$\hat{H}(\mathbf{r})$
$$
\hat{H}(\mathbf{r})=-\frac{\hbar^2}{2 m_{\mathrm{e}}} \nabla^2+\hat{V}{\mathrm{ctp}}(\mathbf{r}), $$显然取决于晶体内粒子的位置$\mathbf{r}$,并且由于晶格的平移不变性的性质,我们得到了如图2.3所示的$$ \hat{H}(\mathbf{r})=\hat{H}\left(\mathbf{r}+\mathbf{R}_1\right), $$。为了形式化地处理这样的不变量,引入翻译运算符$\hat{T}{\mathbf{R}1}$是有用的,它对泛型空间函数$f(\mathbf{r})$的操作定义为$$ \hat{T}{\mathbf{R}1} f(\mathbf{r})=f\left(\mathbf{r}+\mathbf{R}{\mathbf{l}}\right)
$$


正如不考虑任何材料特有的性质就可以得到晶体电子波函数的一般形式一样,我们即将通过只考虑单粒子势的周期性来推导价电子能谱的一般结构$\hat{V}{\mathrm{cfp}}(\mathbf{r})=\hat{V}{\mathrm{cfp}}\left(\mathbf{r}+\mathbf{R}_1\right)$ .


为了达到这个目的,我们讨论一维单原子晶体在通常称为Kronig-Penney模型的结构下的简单情况。图$6.1$中所描绘的情况通过用函数$V(x)$近似晶体场势进一步简化,该函数由跨越核心区域的势阱的周期性序列组成,由占据间隙区域的有限势阱隔开。这种理想化的情况如图6.3所示。我们注意到,为了方便起见,我们设置了井底电位的零点,而$a$和$b$分别表示井和屏障的宽度。因此,晶格周期性为$a+b$,或者等价地,在这种情况下,晶格向量被写成$R_1=n(a+b)$ + $n=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$(见式(2.1))。我们通过猜测间质区域比核心区域大${ }^{12}$来理解$a<b$。


由于晶体的周期性,在Kronig-Penney势$V(x)$作用下,仅对相邻的一对核和间质区域,就足以解决价电子的量子问题。参考图$6.3$,我们写
$$
V(x)=\left{\begin{array}{cll}
0 & 0<x<a & \text { core region } \
V_0-b \leqslant x \leqslant 0 & \text { interstitial region }
\end{array}\right.
$$
,因此
$$
\left{\begin{aligned}
\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}+\frac{2 m_{\mathrm{e}}}{\hbar^2} E \psi(x) &=0 \quad \text { core region } \
\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}+\frac{2 m_{\mathrm{e}}}{\hbar^2}\left(E-V_0\right) \psi(x) &=0 \quad \text { interstitial region }
\end{aligned}\right.
$$

物理代写|固体力学代写固体力学代考|金属态的一般特征


金属在宏观上以导电能力为特征。在现象学上,电荷输运性质是由它们的电阻率定义的,通常范围在$10^{-8}$和$10^{-6} \Omega \mathrm{m}$之间,在$T=300 \mathrm{~K}$。杂质的存在有害地影响了这些材料中的电荷传输,因此,它们的导电性通常通过增加缺陷的浓度而降低。结果表明,电阻率随温度降低1而单调降低,


金属状态在自然界中很常见,因为三分之二以上的元素实际上是良导体。它们优先出现在元素周期表的左边;因此,它们的原子基态结构通常包括绝大多数由核心态和少数在价态中发现的电子,如附录$\mathrm{A}$所示。每$\mathrm{cm}^3$的价电子数$n_{\mathrm{e}}$由乘积(每摩尔原子数)$\times$(每摩尔原子数$\left.\mathrm{cm}^3\right) \times($每个原子价电子数)给出,或者等价地
$$
n_{\mathrm{e}}=\mathcal{N}{\mathrm{A}} \frac{d{\mathrm{m}}}{A} Z_{\mathrm{v}},
$$
,其中$d_{\mathrm{m}}$是金属的质量密度,而符号$\mathcal{N}{\mathrm{A}}, Z{\mathrm{v}}$和$A$分别是阿伏伽德罗数、每个原子(化学价)的价电子数和原子质量数,之前在$1.2 .1$和1.3.2节中定义。如表$7.1$所报告的,这对应于$10^{22}$电子量级的典型数量密度$\mathrm{cm}^{-3}$,这比在正常温度和压力${ }^2$的条件下发现的任何普通原子或分子气体都要大得多。我们也可以为每个电子指定一个体积,它对应一个半径为$r_{\mathrm{e}}$的球体,因此
$$
\frac{4}{3} \pi r_{\mathrm{e}}^3=\frac{1}{n_{\mathrm{e}}}
$$

物理代写|固体力学代写Solid Mechanics代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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