如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic Number Theory MATH661这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数数论Algebraic Number Theory是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。
代数数论Algebraic Number Theory费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。
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数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Integral Bases
Let $A$ be a commutative ring with 1 . Suppose $M \neq{0}$ is an $A$-module. We say that $M$ is a free A-module of rank $n$ ( $n$ being an integer $\geq 1$ ) if there are $n$ elements $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ in $M$ such that every element $\alpha$ of $M$ can be uniquely written as
$$
\alpha=a_1 \alpha_1+\cdots+a_n \alpha_n
$$
with $a_j$ in $A$. We write it as
$$
M=A \alpha_1 \oplus \ldots \oplus A \alpha_n .
$$
The set $\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right}$ is called a basis of $M$ over $A$. If the elements of a basis are taken in a fixed order, it is called an ordered basis. In this section, we shall prove that for a number field $K$, its ring of integers $\mathcal{O}_K$ is a free $\mathbb{Z}$-module of rank $[K: k]$. We recall some basic facts needed from linear algebra and Galois theory.
Suppose $x=\left(x_{i j}\right)$ is in $M(n, A)$, that is $x$ is an $n$ by $n$ matrix with entries in $A$.
Definition 3.13. The trace $\operatorname{tr}(x)$ of $x$ is the sum $x_{11}+\cdots+x_{n n}$ of the diagonal entries of $x$.
The following theorem is obvious.
Theorem 3.14. Let $x, y$ be in $M(n, A)$ and $a$ in $A$. Then
(1) $\operatorname{tr}(x+y)=\operatorname{tr}(x)+\operatorname{tr}(y)$.
(2) $\operatorname{tr}(a x)=a \operatorname{tr}(x)$
(3) $\operatorname{tr}(x y)=\operatorname{tr}(y x)$.
Now suppose $M$ a free $A$-module of $\operatorname{rank} n$ over $A$. Let $\lambda: M \rightarrow M$ be a homomorphism of A-modules, or simply an A-homomorphism. We associate a matrix $L$ over $A$ to $\lambda$ with respect to an ordered basis $\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right}$ of $M$ over $A$ in the same way as to a linear transformation. If $L_1$ and $L_2$ are the matrices of $\lambda$ with respect to two ordered bases, then $L_2=P^{-1} L_1 P$ for some $P$ in $G L(n, A)$, that is, for a matrix $P$ over $A$ whose determinant has multiplicative inverse in $A$.
数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Quadratic Fields
A number field $K$ is a quadratic field if the degree $[K: \mathbb{Q}]=2$. By Theorem $3.18, K=\mathbb{Q}(\alpha)$, where $\alpha$ is a root of an irreducible polynomial $f(x)=a x^2+$ $b x+c$ of degree 2 over $\mathbb{Q}$. Since $\alpha$ is not a rational number, the discriminant $D=b^2-4 a c$ of $f(x)$ cannot be zero or a perfect square. Write $D=d m^2$, with the integer $d \neq 0,1$, having no square factor larger than 1 . From the quadratic formula for solving quadratic polynomial equations, it is clear that $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{ } d)$. We summarize this as
Proposition 3.30. A quadratic field $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ for a square-free integer $d \neq 0,1$
The following theorem exhibits an integral basis of the ring of integers of a quadratic field explicitly.
Theorem 3.31. Suppose $d \neq 0,1$ is a square-free integer. Put
$$
\omega= \begin{cases}\sqrt{d} & \text { if } d \equiv 2,3 \quad(\bmod 4) \ \frac{1+\sqrt{d}}{2} & \text { if } d \equiv 1 \quad(\bmod 4)\end{cases}
$$
Then ${1, \omega}$ is an integral basis of $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$.
Proof. First we show that $\mathcal{O}K \supseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega$. For this, all we need to show is that in case of $d \equiv 1(\bmod 4), \omega=(1+\sqrt{d}) / 2$ is a root of a monic polynomial of degree 2 over $\mathbb{Z}$. It is easy to see that $x^2-\operatorname{tr}{K / \mathbb{Q}}(\omega) x+N_{K / k}(\omega) \in \mathbb{Z}[x]$ is such a polynomial. Next we show that $\mathcal{O}K \subseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega$. Suppose $\alpha=a+b \sqrt{d} \in \mathcal{O}_K$ with $a, b \in \mathbb{Q}$. We know that $n=N{K / k}(\alpha)=a^2-d b^2, m=\operatorname{tr}_{K / k}(\alpha)=2 a \in \mathbb{Z}$. Now if $m$ is even, then $a \in \mathbb{Z} \Rightarrow d b^2 \in \mathbb{Z}$. Since $d$ is square-free, this implies that $b \in \mathbb{Z}$. This shows that $\alpha \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega$. If $m$ is odd, then $d b^2-\frac{1}{4} \in \mathbb{Z}$. Since $d$ is square-free, $b=c / 2$ with $c$ odd. This gives $\omega=\frac{1+\sqrt{d}}{2}$ and $d \equiv 1$ $(\bmod 4)$
代数数论代写
数学代写|代数数论代写代数数论代考|积分基
设$A$是1的交换环。假设$M \neq{0}$是$A$ -模块。如果在$M$中存在$n$元素$\alpha_1, \ldots, \alpha_n$，使得在$M$中的每一个元素$\alpha$都可以唯一地写成
$$
\alpha=a_1 \alpha_1+\cdots+a_n \alpha_n
$$
和$A$中的$a_j$，我们说$M$是秩$n$ ($n$是一个整数$\geq 1$)的一个自由a模。我们将它写成
$$
M=A \alpha_1 \oplus \ldots \oplus A \alpha_n .
$$
$\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right}$集合称为$M$ / $A$的基。如果一个基的元素以固定的顺序取，它被称为有序基。在本节中，我们将证明对于数字字段$K$，其整数环$\mathcal{O}_K$是一个秩为$[K: k]$的自由$\mathbb{Z}$ -模块。我们回顾了线性代数和伽罗瓦理论所需要的一些基本事实
假设$x=\left(x_{i j}\right)$在$M(n, A)$中，即$x$是一个$n$ × $n$矩阵，条目在$A$中
定义痕迹 $\operatorname{tr}(x)$ 的 $x$ 是和 $x_{11}+\cdots+x_{n n}$ 对角线项的 $x$.
下面的定理很明显。
定理3.14。让 $x, y$ 在 $M(n, A)$ 和 $a$ 在 $A$。那么
(1) $\operatorname{tr}(x+y)=\operatorname{tr}(x)+\operatorname{tr}(y)$.
(2) $\operatorname{tr}(a x)=a \operatorname{tr}(x)$
(3) $\operatorname{tr}(x y)=\operatorname{tr}(y x)$
现在假设 $M$ 免费的 $A$-模块 $\operatorname{rank} n$ 结束 $A$。让 $\lambda: M \rightarrow M$ 是a模的同态，或者简单的a同态。我们把一个矩阵联系起来 $L$ 结束 $A$ 到 $\lambda$ 关于一个有序基 $\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right}$ 的 $M$ 结束 $A$ 和线性变换是一样的。如果 $L_1$ 和 $L_2$ 是矩阵 $\lambda$ 对于两个有序碱基，那么 $L_2=P^{-1} L_1 P$ 对一些人来说 $P$ 在 $G L(n, A)$，也就是说，对于矩阵 $P$ 结束 $A$ 谁的行列式有乘法逆 $A$.
数学代写|代数数论代写代数数论代考|二次场
如果度数为$[K: \mathbb{Q}]=2$，则数字字段$K$是二次字段。通过定理$3.18, K=\mathbb{Q}(\alpha)$，其中$\alpha$是一个不可约多项式的根$f(x)=a x^2+$$b x+c$的2次除以$\mathbb{Q}$。由于$\alpha$不是有理数，因此，$f(x)$的判别式$D=b^2-4 a c$不能为零或完全平方。写$D=d m^2$，加上整数$d \neq 0,1$，没有大于1的平方因子。从求二次多项式方程的二次公式可以看出，$\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{ } d)$。我们将其总结为
命题3.30一个无平方整数$d \neq 0,1$ 的二次字段$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 下面的定理显式地展示了二次域整数环的一个积分基。
定理3.31。假设$d \neq 0,1$是一个无平方的整数。Put
$$
\omega= \begin{cases}\sqrt{d} & \text { if } d \equiv 2,3 \quad(\bmod 4) \ \frac{1+\sqrt{d}}{2} & \text { if } d \equiv 1 \quad(\bmod 4)\end{cases}
$$
那么${1, \omega}$是$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$的一个积分基
证明。首先，我们展示$\mathcal{O}K \supseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega$。对于这个，我们需要证明的是，在$d \equiv 1(\bmod 4), \omega=(1+\sqrt{d}) / 2$的情况下，它是一个2次的一元多项式的根除以$\mathbb{Z}$。很容易看出$x^2-\operatorname{tr}{K / \mathbb{Q}}(\omega) x+N_{K / k}(\omega) \in \mathbb{Z}[x]$是这样一个多项式。接下来我们展示$\mathcal{O}K \subseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega$。假设$\alpha=a+b \sqrt{d} \in \mathcal{O}_K$和$a, b \in \mathbb{Q}$。我们知道$n=N{K / k}(\alpha)=a^2-d b^2, m=\operatorname{tr}_{K / k}(\alpha)=2 a \in \mathbb{Z}$。如果$m$是偶数，那么$a \in \mathbb{Z} \Rightarrow d b^2 \in \mathbb{Z}$。由于$d$是无平方的，这意味着$b \in \mathbb{Z}$。这表明$\alpha \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega$。如果$m$是奇数，那么$d b^2-\frac{1}{4} \in \mathbb{Z}$。因为$d$是无平方的，$b=c / 2$和$c$是奇数。这将得到$\omega=\frac{1+\sqrt{d}}{2}$和$d \equiv 1$$(\bmod 4)$
数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。