数学代写|数论代写Number Theory代考|MATH346 Properties of Discriminant

如果你也在 怎样代写数论Number theory MATH346个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|MATH346 Properties of Discriminant

数学代写|数论代写Number Theory代考|Properties of Discriminant

Recall that if $A=\left(a_{i j}\right){i, j}$ is an $n \times n$ matrix, then $$ \operatorname{det} A=\sum{\left(j_1, j_2, \ldots, j_n\right)} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n}-\sum_{\left(k_1, k_2, \ldots, k_n\right)} a_{1 k_1} a_{2 k_2} \cdots a_{n k_n},
$$
where $\left(j_1, j_2, \ldots, j_n\right)$ runs over all even permutations of ${1,2, \ldots, n}$ and $\left(k_1, k_2, \ldots, k_n\right)$ runs over all odd permutations of ${1,2, \ldots, n}$.

The following theorem by Ludwig Stickelberger was first announced in the International Congress of Mathematicians held in Zurich in 1897. The present proof of this theorem was given by Schur in $1929 .$

Theorem 2.10 (Stickelberger’s Theorem) For any algebraic number field $K$, its discriminant $d_K$ is congruent to 0 or 1 modulo $4 .$

Proof Let $\left{w_1, w_2, \ldots, w_n\right}$ be an integral basis of $K$. By definition, $d_K=(\operatorname{det} P)^2$, where $P=\left(w_i^{(j)}\right){i, j}$. Write det $P=\alpha-\beta$ with $$ \alpha=\sum{\left(j_1, j_2 \ldots, j_n\right)} w_1^{\left(j_1\right)} w_2^{\left(j_2\right)} \cdots w_n^{\left(j_n\right)}, \quad \beta=\sum_{\left(k_1, k_2 \ldots, k_n\right)} w_1^{\left(k_1\right)} w_2^{\left(k_2\right)} \cdots w_n^{\left(k_n\right)},
$$

where $\left(j_1, j_2 \ldots, j_n\right),\left(k_1, k_2 \ldots, k_n\right)$ run respectively over even permutations and odd permutations of ${1,2, \ldots, n}$. So $d_K=(\alpha+\beta)^2-4 \alpha \beta$. Therefore the theorem is proved once we show that $\alpha+\beta$ and $\alpha \beta$ belong to $\mathbb{Z}$.

Let $\theta$ be an element of $\mathcal{O}_K$ such that $K=\mathbb{Q}(\theta)$. Then $\theta^{(1)}, \ldots, \theta^{(n)}$ are all the distinct roots of the minimal polynomial of $\theta$ over $\mathbb{Q}$. Since each $w_i$ can be written as a linear combination of $1, \theta, \ldots, \theta^{n-1}$ with rational coefficients, it follows that $\alpha+$ $\beta, \alpha \beta$ are symmetric polynomials in $\theta^{(1)}, \theta^{(2)}, \ldots, \theta^{(n)}$ with rational coefficients. Hence $\alpha+\beta, \alpha \beta$ belong to $\mathbb{Q}$ in view of Lemma 1.16. As $\alpha+\beta, \alpha \beta$ are algebraic integers, these must be in $\mathbb{Z}$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Basis and Discriminant of $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{m})$

The problem of computation of discriminant and construction of integral basis of pure number fields has been considered by several mathematicians. By a pure number field of degree $n$, we mean an algebraic number field $K=\mathbb{Q}(\theta)$, where $\theta$ is a root of an irreducible polynomial $X^n-a$ belonging to $\mathbb{Z}[X]$. In 1900 , Dedekind was the first to describe an integral basis of pure cubic fields. An explicit construction of integral basis of pure prime degree number fields was given by Westlund in 1910 (cf. [Wes, Ja-Sa]). This problem has been solved for pure quartic fields by Funakura [Fun] in 1984 and for pure sextic fields by Jakhar in 2021 (cf. [Jak2]).

In this section, we now prove the following theorem which gives the discriminant and an integral basis of pure cubic fields.

Theorem $2.22$ Let $K=\mathbb{Q}(\theta)$ be a cubic field with $\theta^3=m=a b^2$, where $a, b$ are relatively prime squarefree integers. The following hold:
(i) If $m \not \equiv 1$ or $8(\bmod 9)$, then $\left{1, \theta, \theta^2 / b\right}$ is an integral basis of $K$ and $d_K=$ $-27 a^2 b^2$
(ii) If $m \equiv 1(\bmod 9)$, then $\left{\theta, \theta^2 / b,\left(1+\theta+\theta^2\right) / 3\right}$ is an integral basis of $K$ and $d_K=-3 a^2 b^2$
(iii) If $m \equiv 8(\bmod 9)$, then $\left{\theta, \theta^2 / b,\left(1-\theta+\theta^2\right) / 3\right}$ is an integral basis of $K$ and $d_K=-3 a^2 b^2$
The following lemma will be used in the proof of the above theorem.

数学代写|数论代写Number Theory代考|MATH346 Properties of Discriminant

数论代写

数学代写|数论代写数论代考|判别的性质

回想一下,如果$A=\left(a_{i j}\right){i, j}$是一个$n \times n$矩阵,那么$$ \operatorname{det} A=\sum{\left(j_1, j_2, \ldots, j_n\right)} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n}-\sum_{\left(k_1, k_2, \ldots, k_n\right)} a_{1 k_1} a_{2 k_2} \cdots a_{n k_n},
$$
,其中$\left(j_1, j_2, \ldots, j_n\right)$运行${1,2, \ldots, n}$的所有偶数排列,$\left(k_1, k_2, \ldots, k_n\right)$运行${1,2, \ldots, n}$的所有奇数排列 以下定理由路德维希·斯蒂克伯格于1897年在苏黎世举行的国际数学家大会上首次宣布。该定理的证明由Schur在$1929 .$

给出

定理2.10 (Stickelberger定理)对于任何代数数域$K$,它的判别式$d_K$与0或1对$4 .$的模一致

证明设$\left{w_1, w_2, \ldots, w_n\right}$为$K$的积分基。根据定义,$d_K=(\operatorname{det} P)^2$,其中$P=\left(w_i^{(j)}\right){i, j}$。写det $P=\alpha-\beta$与$$ \alpha=\sum{\left(j_1, j_2 \ldots, j_n\right)} w_1^{\left(j_1\right)} w_2^{\left(j_2\right)} \cdots w_n^{\left(j_n\right)}, \quad \beta=\sum_{\left(k_1, k_2 \ldots, k_n\right)} w_1^{\left(k_1\right)} w_2^{\left(k_2\right)} \cdots w_n^{\left(k_n\right)},
$$

其中$\left(j_1, j_2 \ldots, j_n\right),\left(k_1, k_2 \ldots, k_n\right)$分别运行${1,2, \ldots, n}$的偶数排列和奇数排列。所以$d_K=(\alpha+\beta)^2-4 \alpha \beta$。当我们证明$\alpha+\beta$和$\alpha \beta$属于$\mathbb{Z}$时,就证明了这个定理。

设$\theta$为$\mathcal{O}_K$的一个元素,使$K=\mathbb{Q}(\theta)$。那么$\theta^{(1)}, \ldots, \theta^{(n)}$是$\theta$ / $\mathbb{Q}$的所有不同的最小多项式的根。由于每个$w_i$都可以写成$1, \theta, \ldots, \theta^{n-1}$带有理系数的线性组合,因此可以得出:$\alpha+$$\beta, \alpha \beta$是$\theta^{(1)}, \theta^{(2)}, \ldots, \theta^{(n)}$中带有理系数的对称多项式。因此,根据引理1.16,$\alpha+\beta, \alpha \beta$属于$\mathbb{Q}$。由于$\alpha+\beta, \alpha \beta$是代数整数,这些必须在$\mathbb{Z}$中

数学代写|数论代写数论代考|积分基与判别$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{m})$


纯数场的判别式的计算和积分基的构造问题已经被一些数学家考虑过了。纯数场$n$指的是代数数场$K=\mathbb{Q}(\theta)$,其中$\theta$是属于$\mathbb{Z}[X]$的不可约多项式$X^n-a$的一个根。1900年,Dedekind第一个描述了纯立方场的积分基。1910年,Westlund给出了纯素数场积分基的显式构造(参见[Wes, Ja-Sa])。Funakura [Fun]在1984年解决了纯四次场的问题,Jakhar在2021年解决了纯六次场的问题(参考[Jak2])


在这一节中,我们证明了一个定理,它给出了纯三次场的判别式和一个积分基

定理 $2.22$ 让 $K=\mathbb{Q}(\theta)$ 是一个立方场 $\theta^3=m=a b^2$,其中 $a, b$ 是相对素数的无平方整数。
(i) If $m \not \equiv 1$ 或 $8(\bmod 9)$,那么 $\left{1, \theta, \theta^2 / b\right}$ 是积分基吗 $K$ 和 $d_K=$ $-27 a^2 b^2$
(ii)如果 $m \equiv 1(\bmod 9)$,那么 $\left{\theta, \theta^2 / b,\left(1+\theta+\theta^2\right) / 3\right}$ 是积分基吗 $K$ 和 $d_K=-3 a^2 b^2$
(iii) If $m \equiv 8(\bmod 9)$,那么 $\left{\theta, \theta^2 / b,\left(1-\theta+\theta^2\right) / 3\right}$ 是积分基吗 $K$ 和 $d_K=-3 a^2 b^2$
下面的引理将用于证明上述定理

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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