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线性代数Linear algebra是平坦的微分几何，在流形的切线空间中服务。时空的电磁对称性是由洛伦兹变换表达的，线性代数的大部分历史就是洛伦兹变换的历史。线性代数也被用于大多数科学和工程领域，因为它可以对许多自然现象进行建模，并对这些模型进行有效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统，它经常被用来处理一阶近似，利用这样一个事实：一个多变量函数在某一点的微分是最接近该点的函数的线性图。
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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Application to Dynamical Systems
Eigenvalues and eigenvectors hold the key to the discrete evolution of a dynamical system, as mentioned in the chapter introduction.
EXAMPLE 5 Let $A=\left[\begin{array}{cc}.95 & .03 \ .05 & .97\end{array}\right]$. Analyze the long-term behavior of the dynamical system defined by $\mathbf{x}_{k+1}=A \mathbf{x}_k(k=0,1,2, \ldots)$, with $\mathbf{x}_0=\left[\begin{array}{l}.6 \ .4\end{array}\right]$.
SOLUTION The first step is to find the eigenvalues of $A$ and a basis for each eigenspace. The characteristic equation for $A$ is
$$
\begin{aligned}
0 &=\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}
.95-\lambda & .03 \
.05 & .97-\lambda
\end{array}\right]=(.95-\lambda)(.97-\lambda)-(.03)(.05) \
&=\lambda^2-1.92 \lambda+.92
\end{aligned}
$$
By the quadratic formula
$$
\begin{aligned}
\lambda &=\frac{1.92 \pm \sqrt{(1.92)^2-4(.92)}}{2}=\frac{1.92 \pm \sqrt{.0064}}{2} \
&=\frac{1.92 \pm .08}{2}=1 \quad \text { or } \quad .92
\end{aligned}
$$
It is readily checked that eigenvectors corresponding to $\lambda=1$ and $\lambda=.92$ are multiples of
$$
\mathbf{v}_1=\left[\begin{array}{l}
3 \
5
\end{array}\right] \quad \text { and } \quad \mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{r}
1 \
-1
\end{array}\right]
$$
respectively.
The next step is to write the given $\mathbf{x}_0$ in terms of $\mathbf{v}_1$ and $\mathbf{v}_2$. This can be done because $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\right}$ is obviously a basis for $\mathbb{R}^2$. (Why?) So there exist weights $c_1$ and $c_2$ such that
$$
\mathbf{x}_0=c_1 \mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
c_1 \
c_2
\end{array}\right]
$$
In fact,
$$
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{l}
c_1 \
c_2
\end{array}\right] } &=\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2
\end{array}\right]^{-1} \mathbf{x}_0=\left[\begin{array}{rr}
3 & 1 \
5 & -1
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{l}
.60 \
.40
\end{array}\right] \
&=\frac{1}{-8}\left[\begin{array}{rr}
-1 & -1 \
-5 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
.60 \
.40
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
.125 \
.225
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|DIAGONALIZATION
In many cases, the eigenvalue-eigenvector information contained within a matrix $A$ can be displayed in a useful factorization of the form $A=P D P^{-1}$ where $D$ is a diagonal matrix. In this section, the factorization enables us to compute $A^k$ quickly for large values of $k$, a fundamental idea in several applications of linear algebra. Later, in Sections $5.6$ and 5.7, the factorization will be used to analyze (and decouple) dynamical systems.
The following example illustrates that powers of a diagonal matrix are easy to compute.
EXAMPLE 1 If $D=\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \ 0 & 3\end{array}\right]$, then $D^2=\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \ 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \ 0 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}5^2 & 0 \ 0 & 3^2\end{array}\right]$ and
$$
D^3=D D^2=\left[\begin{array}{ll}
5 & 0 \
0 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
5^2 & 0 \
0 & 3^2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
5^3 & 0 \
0 & 3^3
\end{array}\right]
$$
In general,
$$
D^k=\left[\begin{array}{cc}
5^k & 0 \
0 & 3^k
\end{array}\right] \quad \text { for } k \geq 1
$$
If $A=P D P^{-1}$ for some invertible $P$ and diagonal $D$, then $A^k$ is also easy to compute, as the next example shows.
EXAMPLE 2 Let $A=\left[\begin{array}{rr}7 & 2 \ -4 & 1\end{array}\right]$. Find a formula for $A^k$, given that $A=P D P^{-1}$, where
$$
P=\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \
-1 & -2
\end{array}\right] \quad \text { and } \quad D=\left[\begin{array}{ll}
5 & 0 \
0 & 3
\end{array}\right]
$$
SOLUTION The standard formula for the inverse of a $2 \times 2$ matrix yields
$$
P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}
2 & 1 \
-1 & -1
\end{array}\right]
$$
Then, by associativity of matrix multiplication,
$$
\begin{aligned}
A^2 &=\left(P D P^{-1}\right)\left(P D P^{-1}\right)=P D \underbrace{\left(P^{-1} P\right)}_I D P^{-1}=P D D P^{-1} \
&=P D^2 P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \
-1 & -2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
5^2 & 0 \
0 & 3^2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
2 & 1 \
-1 & -1
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
Again,
In general, for $k \geq 1$,
$$
\begin{aligned}
A^k &=P D^k P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \
-1 & -2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
5^k & 0 \
0 & 3^k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
2 & 1 \
-1 & -1
\end{array}\right] \
&=\left[\begin{array}{cc}
2 \cdot 5^k-3^k & 5^k-3^k \
2 \cdot 3^k-2 \cdot 5^k & 2 \cdot 3^k-5^k
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
A square matrix $A$ is said to be diagonalizable if $A$ is similar to a diagonal matrix, that is, if $A=P D P^{-1}$ for some invertible matrix $P$ and some diagonal matrix $D$. The next theorem gives a characterization of diagonalizable matrices and tells how to construct a suitable factorization.
线性代数代写
数学代写|线性代数代写线性代数代考|应用于动力系统
如本章引言中所述，特征值和特征向量是动力系统离散演化的关键
EXAMPLE 5让$A=\left[\begin{array}{cc}.95 & .03 \ .05 & .97\end{array}\right]$。用$\mathbf{x}_0=\left[\begin{array}{l}.6 \ .4\end{array}\right]$ .
.分析$\mathbf{x}_{k+1}=A \mathbf{x}_k(k=0,1,2, \ldots)$定义的动力系统的长期行为
第一步是找到$A$的特征值和每个特征空间的基。$A$的特征方程为
$$
\begin{aligned}
0 &=\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}
.95-\lambda & .03 \
.05 & .97-\lambda
\end{array}\right]=(.95-\lambda)(.97-\lambda)-(.03)(.05) \
&=\lambda^2-1.92 \lambda+.92
\end{aligned}
$$
通过二次公式
$$
\begin{aligned}
\lambda &=\frac{1.92 \pm \sqrt{(1.92)^2-4(.92)}}{2}=\frac{1.92 \pm \sqrt{.0064}}{2} \
&=\frac{1.92 \pm .08}{2}=1 \quad \text { or } \quad .92
\end{aligned}
$$
可以很容易地证明，$\lambda=1$和$\lambda=.92$对应的特征向量分别是
$$
\mathbf{v}_1=\left[\begin{array}{l}
3 \
5
\end{array}\right] \quad \text { and } \quad \mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{r}
1 \
-1
\end{array}\right]
$$
的倍数。下一步是将给定的$\mathbf{x}_0$写成$\mathbf{v}_1$和$\mathbf{v}_2$的形式。可以这样做，因为$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\right}$显然是$\mathbb{R}^2$的基础。(为什么?)因此存在权重$c_1$和$c_2$，使得
$$
\mathbf{x}_0=c_1 \mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
c_1 \
c_2
\end{array}\right]
$$
事实上，
$$
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{l}
c_1 \
c_2
\end{array}\right] } &=\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2
\end{array}\right]^{-1} \mathbf{x}_0=\left[\begin{array}{rr}
3 & 1 \
5 & -1
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{l}
.60 \
.40
\end{array}\right] \
&=\frac{1}{-8}\left[\begin{array}{rr}
-1 & -1 \
-5 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
.60 \
.40
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
.125 \
.225
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
数学代写|线性代数代写线性代数代考|DIAGONALIZATION
.
在许多情况下，矩阵$A$中包含的特征值-特征向量信息可以用$A=P D P^{-1}$这种有用的分解形式来显示，其中$D$是一个对角矩阵。在本节中，因式分解使我们能够快速地为$k$的大值计算$A^k$，这是线性代数的几个应用中的一个基本思想。稍后，在$5.6$和5.7节中，将使用因子分解来分析(和解耦)动力系统。
下面的例子说明了对角矩阵的幂很容易计算
EXAMPLE 1如果$D=\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \ 0 & 3\end{array}\right]$，那么$D^2=\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \ 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \ 0 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}5^2 & 0 \ 0 & 3^2\end{array}\right]$和
$$
D^3=D D^2=\left[\begin{array}{ll}
5 & 0 \
0 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
5^2 & 0 \
0 & 3^2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
5^3 & 0 \
0 & 3^3
\end{array}\right]
$$
一般来说，
$$
D^k=\left[\begin{array}{cc}
5^k & 0 \
0 & 3^k
\end{array}\right] \quad \text { for } k \geq 1
$$
如果$A=P D P^{-1}$对于某些可逆的$P$和对角线$D$，那么$A^k$也很容易计算，如下例所示
EXAMPLE 2让$A=\left[\begin{array}{rr}7 & 2 \ -4 & 1\end{array}\right]$。找到一个$A^k$的公式，给定$A=P D P^{-1}$，其中
$$
P=\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \
-1 & -2
\end{array}\right] \quad \text { and } \quad D=\left[\begin{array}{ll}
5 & 0 \
0 & 3
\end{array}\right]
$$
解一个$2 \times 2$矩阵的逆的标准公式得到
$$
P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}
2 & 1 \
-1 & -1
\end{array}\right]
$$
然后，通过矩阵乘法的结合性，
$$
\begin{aligned}
A^2 &=\left(P D P^{-1}\right)\left(P D P^{-1}\right)=P D \underbrace{\left(P^{-1} P\right)}_I D P^{-1}=P D D P^{-1} \
&=P D^2 P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \
-1 & -2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
5^2 & 0 \
0 & 3^2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
2 & 1 \
-1 & -1
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
再次，
一般来说，对于$k \geq 1$，
$$
\begin{aligned}
A^k &=P D^k P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \
-1 & -2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
5^k & 0 \
0 & 3^k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
2 & 1 \
-1 & -1
\end{array}\right] \
&=\left[\begin{array}{cc}
2 \cdot 5^k-3^k & 5^k-3^k \
2 \cdot 3^k-2 \cdot 5^k & 2 \cdot 3^k-5^k
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
一个方阵$A$被认为是可对角化的，如果$A$类似于一个对角矩阵，即，如果$A=P D P^{-1}$对于某个可逆矩阵$P$和某个对角矩阵$D$。下一个定理给出了可对角化矩阵的一个刻画，并告诉我们如何构造一个合适的因式分解
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微观经济学代写
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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。