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组合学Combinatorics莱昂-米尔斯基曾说过。”组合学是一系列相互关联的研究，它们有一些共同点，但在其目标、方法和所达到的一致程度上有很大的差异。”定义组合学的一种方法也许是描述其细分的问题和技术。这就是下面使用的方法。然而，将一些课题纳入或不纳入组合学的范畴也有纯粹的历史原因。尽管主要关注的是有限系统，但一些组合学问题和技术可以扩展到无限（具体而言，可数）但离散的环境。
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数学代写|组合数学代写COMBINATORICS代考|Discrete Random Variables
Example 12.3.1. Consider the following simple experiment. A coin is tossed three times. The sample space $\Omega$ is given in Example 12.1.3. We suppose that all outcomes are of equal probability $1 / 8$. For every outcome we can count how many 1’s (heads) are obtained:
$\begin{array}{cccccccc}000 & 001 & 010 & 100 & 011 & 101 & 110 & 111 \ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 3\end{array}$
Function $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ is defined, where $X(000)=0, X(001)=1$, etc. Such a function is called a random variable. Set $\mathcal{S}_X={0,1,2,3}$ is the set of values of random variable $X$. For every value $i \in \mathcal{S}_X$ we can determine the probability $P{X=i}$. It is easy to see that
$$
P{X=0}=\frac{1}{8}, P{X=1}=\frac{3}{8}, P{X=2}=\frac{3}{8}, P{X=3}=\frac{1}{8} .
$$
We say that the probability distribution of random variable $X$ has been determined. It can be represented in the following form:
$$
X:\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 2 & 3 \
\frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8}
\end{array}\right) \cdot \Delta
$$
More generally, let $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ be a discrete probability space introduced by Definition 12.1.13. Every function $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ is called a discrete random variable. Set $\mathcal{S}_X={x \mid(\exists \omega \in \Omega) X(\omega)=x}$ is called the set of values of random variable $X$. Suppose that $\mathcal{S}_X=\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$ and denote $p_k=$ $P\left{X=x_k\right}$, for every $k=1,2,3, \ldots$ The sequence of pairs $\left(x_1, p_1\right),\left(x_2, p_2\right)$, $\left(x_3, p_4\right), \ldots$ determines the probability distribution of random variable $X$. It can be written in the following form:
$$
X:\left(\begin{array}{llll}
x_1 & x_2 & x_3 & \ldots \
p_1 & p_2 & p_3 & \ldots
\end{array}\right) .
$$
It is obvious that the condition $p_1+p_2+p_3+\cdots=1$ is satisfied.
数学代写|组合数学代写COMBINATORICS代考|Mathematical Expectation
In this section we shall introduce two important numerical characteristics of random variables, namely mathematical expectation and variance.
Definition 12.4.1. Let $X$ be a random variable with the probability distribution
$$
X:\left(\begin{array}{llll}
x_1 & x_2 & \ldots & x_n \
p_1 & p_2 & \ldots & p_n
\end{array}\right) .
$$
The mathematical expectation of random variable $X$ is defined by
$$
E(X)=\sum_{k=1}^n x_k p_k
$$
Remark 12.4.2. In this section we shall also consider random variables with a countable set of values. If the probability distribution of random variable $X$ is given by (12.3.1), and $x_k \geqslant 0$ for every $k \in{1,2,3, \ldots}$, then the mathematical expectation of $X$ is defined by
$$
E(X)=\sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k .
$$
Note that the sum on the right-hand side of (12.4.3) may be finite or infinite. If the values $x_1, x_2, x_3, \ldots$ may be both positive and negative, then the mathematical expectation may be finite and defined by (12.4.3) if the series on the right-hand side of (12.4.3) converges absolutely. Note that the mathematical expectation is not defined for every random variable $X$.
Theorem 12.4.3. Let $X$ and $Y$ be random variables defined on a finite sample space $\Omega=\left{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\right}$. Let $p_k$ be the probability of outcome $\omega_k$, for $k \in{1,2, \ldots, n}$. Then, for all $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$
$$
E(\alpha X+\beta Y)=\alpha E(X)+\beta E(Y) .
$$
For $\alpha=\beta=1$, equality (12.4.4) becomes $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.
Proof. From the definition of mathematical expectation it follows that
$$
\begin{aligned}
E(\alpha X+\beta Y) &=\sum_{k=1}^n\left(\alpha X\left(\omega_k\right)+\beta Y\left(\omega_k\right)\right) p_k \
&=\alpha \sum_{k=1}^n X\left(\omega_k\right) p_k+\beta \sum_{k=1}^n Y\left(\omega_k\right) p_k=\alpha E(X)+\beta E(Y) .
\end{aligned}
$$
The statement of Theorem 12.4.3 holds for all random variables $X$ and $Y$ with finite mathematical expectations.
组合数学代写
数学代写|组合数学代写COMBINATORICS代考|Discrete Random Variables
考虑下面这个简单的实验。一枚硬币抛三次。例12.1.3给出了示例空间$\Omega$。我们假设所有结果的概率相等$1 / 8$。对于每个结果，我们可以计算得到多少个1(正面):
$\begin{array}{cccccccc}000 & 001 & 010 & 100 & 011 & 101 & 110 & 111 \ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 3\end{array}$
函数$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$，其中$X(000)=0, X(001)=1$等。这样的函数称为随机变量。集合$\mathcal{S}_X={0,1,2,3}$是随机变量$X$的值的集合。对于每个值$i \in \mathcal{S}_X$，我们可以确定$P{X=i}$的概率。很容易看出
$$
P{X=0}=\frac{1}{8}, P{X=1}=\frac{3}{8}, P{X=2}=\frac{3}{8}, P{X=3}=\frac{1}{8} .
$$
我们说随机变量$X$的概率分布已经确定了。它可以用以下形式表示:
$$
X:\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 2 & 3 \
\frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8}
\end{array}\right) \cdot \Delta
$$
更一般地，设$(\Omega, \mathcal{A}, P)$为定义12.1.13引入的离散概率空间。每个函数$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$都称为离散随机变量。集合$\mathcal{S}_X={x \mid(\exists \omega \in \Omega) X(\omega)=x}$称为随机变量$X$的值集合。假设$\mathcal{S}_X=\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$和表示$p_k=$$P\left{X=x_k\right}$，对于每一个$k=1,2,3, \ldots$对的序列$\left(x_1, p_1\right),\left(x_2, p_2\right)$, $\left(x_3, p_4\right), \ldots$决定了随机变量$X$的概率分布。它可以写成如下形式:
$$
X:\left(\begin{array}{llll}
x_1 & x_2 & x_3 & \ldots \
p_1 & p_2 & p_3 & \ldots
\end{array}\right) .
$$
显然，$p_1+p_2+p_3+\cdots=1$条件被满足
数学代写|组合数学代写COMBINATORICS代考|数学期望
在本节中，我们将介绍随机变量的两个重要的数值特征，即数学期望和方差
12.4.1.
定义设$X$是一个概率分布
$$
X:\left(\begin{array}{llll}
x_1 & x_2 & \ldots & x_n \
p_1 & p_2 & \ldots & p_n
\end{array}\right) .
$$
随机变量$X$的数学期望由
$$
E(X)=\sum_{k=1}^n x_k p_k
$$
定义
12.4.2.
备注在本节中，我们还将考虑具有可数值集的随机变量。如果随机变量$X$的概率分布由(12.3.1)给出，每个$k \in{1,2,3, \ldots}$对应$x_k \geqslant 0$，则$X$的数学期望由
$$
E(X)=\sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k .
$$
定义注意(12.4.3)右侧的和可能是有限的，也可能是无限的。如果$x_1, x_2, x_3, \ldots$值既为正又为负，那么如果(12.4.3)右侧的级数绝对收敛，则数学期望可能是有限的，由(12.4.3)定义。注意，数学期望并不是为每个随机变量$X$ .
定理12.4.3。设$X$和$Y$是定义在有限样本空间$\Omega=\left{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\right}$上的随机变量。设$p_k$为结果$\omega_k$的概率，为$k \in{1,2, \ldots, n}$。然后，对于所有$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$
$$
E(\alpha X+\beta Y)=\alpha E(X)+\beta E(Y) .
$$
对于$\alpha=\beta=1$，等式(12.4.4)变成$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ .
证明。从数学期望的定义可知
$$
\begin{aligned}
E(\alpha X+\beta Y) &=\sum_{k=1}^n\left(\alpha X\left(\omega_k\right)+\beta Y\left(\omega_k\right)\right) p_k \
&=\alpha \sum_{k=1}^n X\left(\omega_k\right) p_k+\beta \sum_{k=1}^n Y\left(\omega_k\right) p_k=\alpha E(X)+\beta E(Y) .
\end{aligned}
$$
定理12.4.3的表述对所有具有有限数学期望的随机变量$X$和$Y$都成立
数学代写|组合数学代写COMBINATORICS代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。