数学代写|组合数学代写Combinatorics代考|MATH3349 Golden Ratio in a Mathematical Game

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3定义组合学的一种方法也许是描述其细分的问题和技术。这就是下面使用的方法。然而,将一些课题纳入或不纳入组合学的范畴也有纯粹的历史原因。尽管主要关注的是有限系统,但一些组合学问题和技术可以扩展到无限(具体而言,可数)但离散的环境。

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英国补考|组合学代考Combinatorics代考|MATH3349 Golden Ratio in a Mathematical Game

数学代写|组合数学代写COMBINATORICS代考|Golden Ratio in a Mathematical Game

Two players play the following game in which they make moves alternately. There are two piles containing $m$ and $n$ coins, where $m>n$. The player whose turn is to move can take a few coins from one of the piles, such that the number of removed coins is divisible by the number of coins in the other pile. The winner of the game is the player who leaves only one pile of coins after their move. The problem is to determine the values of $m$ and $n$ for which the player that starts the game has a winning strategy.

Let $x=\max \left{\frac{m}{n}, \frac{n}{m}\right}$. We consider $m, n$, and $x$ as variables that change value after every move. For the starting values $m$ and $n$ we have $m>n$, and hence $x=\frac{m}{n}$. It is obvious that $x \geqslant 1$ during the game, and after the winning move the variable $x$ becomes equal to $\infty$.

Let us determine the real number $\varphi$ such that $\varphi>1$ and $\varphi-\frac{1}{\varphi}=1$.
We obtain that $\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$. The real number $\varphi$ is known as the golden ratio, because of the following property: if $a$ and $b$ are real numbers such that $a>b>0$ and $\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$, then $\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\varphi$.
Let us consider the real numbers
$$
\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}, \quad \frac{1}{\varphi}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
$$
as points on the real line. The distance between these two points is equal to 1. In order to formulate the winning strategy (for one of the players), note that the following three statements hold:

(A1) If $x=\frac{m}{n} \in \mathbb{N}$, then the player (whose turn it is to move) can take all $m$ coins from one of the piles, and win the game immediately.
(A2) If $x=m / n>\varphi$ and $x$ is not an integer, then the player (whose turn it is to move) can determine the positive integer $k$ and remove $k n$ coins from the pile with $m$ coins, such that the following relations hold
$$
\frac{m-k n}{n}=\frac{m}{n}-k \in\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right) .
$$

数学代写|组合数学代写COMBINATORICS代考|Game of Fifteen

Fifteen tiles are put on fifteen fields of a square table $4 \times 4$. One field is unoccupied. It is allowed to move a tile to an adjacent field if it is unoccupied. Two fields (unit squares) are adjacent if they have a common side. Any arrangement of tiles on the fields of the table $4 \times 4$ is called a position. The starting position is given in Figure 11.3.1. Is it possible to reach the position given in Figure 11.3.2 by a sequence of allowed moves?

Let us denote the fields of the square table $4 \times 4$ by positive integers 1 , $2, \ldots, 16$ as given in Figure 11.3.3. Then, every position is determined by a permutation $a_1 a_2 \ldots a_{16}$ of the set ${1,2, \ldots, 16}$, where $a_k$ is the notation of the tile that is placed on the field $k$, if this field is occupied. If the field $k$ is not occupied, we put $a_k=16$. We say that a position is even (odd) if the corresponding permutation is even (odd).

Consider a position that is determined by a permutation $a_1 a_2 \ldots a_{16}$. Suppose that a move is made, and that the tile that was moved is denoted by $k$. The new position i determined by the permutation that can be obtained from $a_1 a_2 \ldots a_{16}$ by interchanging terms $a_k$ and 16 . By Theorem $7.2 .1$ it follows that every move transforms an even (odd) position into an odd (even) position.

Let us now consider two positions, $p_1$ and $p_2$, for which the field 16 is not occupied by a tile. If position $p_2$ can be reached from position $p_1$, this can be done after an even number of moves. This is true because the empty field takes the same number of “steps’ to the left and to the right, and the same number of ‘steps’ up and down. If position $p_2$ can be reached from the position $p_1$, then both positions are even or both are odd. However, the positions given in Figures $11.3 .1$ and $11.3 .2$ are determined by the permutations
$$
\begin{aligned}
&(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15,14,16), \
&(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16),
\end{aligned}
$$
and it is obvious that one of them is even, and the other one is odd. Hence the position in Figure 11.3.2 cannot be reached from the position in Figure 11.3.1.

数学代写|组合数学代写Combinatorics代考|MATH3349 Golden Ratio in a Mathematical Game

组合数学代写

数学代写|组合数学代写COMBINATORICS代考|数学游戏中的黄金比例

. c . c


两个玩家玩下面的游戏,他们轮流走一步棋。有两堆包含$m$和$n$硬币,其中$m>n$。轮到走的玩家可以从一堆硬币中取出一些硬币,这样取出的硬币的数量可以被另一堆硬币的数量整除。游戏的赢家是在走完步后只留下一堆硬币的玩家。问题在于确定$m$和$n$的值,对于这两个值,开始游戏的玩家拥有获胜策略

让$x=\max \left{\frac{m}{n}, \frac{n}{m}\right}$。我们认为$m, n$和$x$是每次移动后改变值的变量。对于初始值$m$和$n$,我们有$m>n$,因此是$x=\frac{m}{n}$。很明显,在游戏过程中$x \geqslant 1$,在获胜之后,变量$x$变成等于$\infty$

让我们来确定实数 $\varphi$ 如此这般 $\varphi>1$ 和 $\varphi-\frac{1}{\varphi}=1$.
我们得到那个 $\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。实数 $\varphi$ 被称为黄金比例,是因为以下性质:如果 $a$ 和 $b$ 实数是这样的吗 $a>b>0$ 和 $\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$,那么 $\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\varphi$
让我们考虑一下实数
$$
\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}, \quad \frac{1}{\varphi}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
$$
作为实线上的点。这两点之间的距离等于1。为了制定获胜策略(针对其中一个玩家),注意以下三个语句:

(A1)如果$x=\frac{m}{n} \in \mathbb{N}$,那么轮到自己移动的玩家可以从一堆硬币中拿走所有$m$的硬币,并立即赢得游戏
(A2)如果$x=m / n>\varphi$和$x$不是整数,那么轮到自己移动的玩家可以确定正整数$k$,并从一堆$m$的硬币中移除$k n$的硬币,这样以下关系成立
$$
\frac{m-k n}{n}=\frac{m}{n}-k \in\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right) .
$$

数学代写|组合数学代写COMBINATORICS代考|Game of Fifteen

15个瓷砖放在一个方桌的15个字段$4 \times 4$。有一块地是空的。如果一个贴图没有被占用,它被允许移动到相邻的字段。如果两个字段(单位方格)有共同的边,则它们是相邻的。表$4 \times 4$字段上的任何瓷砖排列都称为位置。起始位置如图11.3.1所示。通过一系列允许的移动是否可能到达图11.3.2所示的位置?


让我们用正整数1、$2, \ldots, 16$表示方表$4 \times 4$的字段,如图11.3.3所示。然后,每个位置都由集合${1,2, \ldots, 16}$的排列$a_1 a_2 \ldots a_{16}$确定,其中$a_k$是放置在字段$k$上的tile的符号,如果该字段被占用的话。如果字段$k$未被占用,则输入$a_k=16$。如果相应的排列是偶数(奇数),我们就说一个位置是偶数(奇数)

考虑一个由排列决定的位置$a_1 a_2 \ldots a_{16}$。假设进行了一次移动,被移动的贴图用$k$表示。新的位置是由可以从$a_1 a_2 \ldots a_{16}$通过交换$a_k$和16得到的排列确定的。根据定理$7.2 .1$,每一步移动都将偶(奇)位转换为奇(偶)位


现在让我们考虑两个位置,$p_1$和$p_2$,这两个位置的字段16没有被一个tile占据。如果可以从$p_1$位置到达$p_2$位置,这可以在偶数次移动后完成。这是正确的,因为空字段向左和向右“步数”相同,向上和向下“步数”相同。如果从$p_1$位置可以到达$p_2$位置,那么两个位置都是偶数或者都是奇数。然而,图$11.3 .1$和$11.3 .2$中给出的位置是由排列
$$
\begin{aligned}
&(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15,14,16), \
&(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16),
\end{aligned}
$$
决定的,很明显,其中一个是偶数,另一个是奇数。因此,从图11.3.1中的位置无法到达图11.3.2中的位置

数学代写|组合数学代写COMBINATORICS代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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