如果你也在 怎样代写动力系统Dynamical Systems MATH673这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。动力系统Dynamical Systems概念起源于牛顿力学。在那里，和其他自然科学和工程学科一样，动态系统的演化规则是由一个关系隐含地给出的，这个关系只给出系统在未来短时间内的状态。
动力系统Dynamical Systems是数学的一个领域，用于描述复杂动力系统的行为，通常采用微分方程或差分方程。当采用微分方程时，该理论被称为连续动力系统。从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的一个概括，在这个概括中，运动方程是直接假设的，而不是被限制在最小作用原理的欧拉-拉格朗日方程。当采用差分方程时，该理论被称为离散动力系统。当时间变量在一个集合上运行时，这个集合在某些区间上是离散的，在其他区间上是连续的，或者是任何任意的时间集合，如康托尔集，我们就可以得到时间尺度上的动态方程。有些情况也可以用混合运算符来建模，如微分-差分方程。
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数学代写|动力系统代写Dynamical Systems代考|Solutions of Ordinary Differential Equations
First, we present a brief review of the definition of solutions for differential equations as both switched and piecewise affine systems are generalizations of such equations.
Consider solutions of the following ordinary constant coefficient differential equation
$$
\dot{x}(t)=f(x(t)),
$$
where $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a vector field. Let $x\left(t_0\right)=x_0$ be the initial condition. A solution of (2.15) on $\left[t_0, t_1\right]$, for some $t_1>t_0$, is a continuously differentiable map $x:\left[t_0, t_1\right] \rightarrow \mathbb{R}^n$ that satisfies the Eq. (2.15). Without loss of generality, we assume that $t_0=0$.
It is known that if the vector field $f(x)$ is continuous and locally Lipschitz around the initial condition $x_0$, then there exists a unique solution $x(t)$ from $x_0$. The local Lipschitz condition means that for any $x_1$ and $x_2$ in some neighborhood of $x_0$, we have
$$
\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leq L\left|x_1-x_2\right|,
$$
for some constant $L>0$. Here, $|\cdot|$ stands for the Euclidean norm on $\mathbb{R}^n$.
To illustrate this condition, we take a look at the following well-known example.
Example 2.29 Consider the following differential equation:
$$
\dot{x}(t)=\sqrt{|x(t)|},
$$
with the initial condition $x(0)=0$. Note that the vector field $f(x)=\sqrt{|x|}$ is continuous everywhere but not locally Lipschitz at the origin. It is easy to verify that starting from the initial condition $x_0=0$, the function $x(t)=0$ for $t \geq 0$ satisfies the differential equation and the initial condition. However, the solution is not unique as the function $x(t)=t^2 / 4$ also satisfies the differential equation and the initial condition. Actually, it has infinitely many solutions starting from $x_0=0$, since the function
$$
x_a(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t \leq a, \ \frac{(t-a)^2}{4}, & t \geq a,\end{cases}
$$
satisfies the differential equation and the initial condition for arbitrary $a \geq 0$.
Switched systems or piecewise affine systems usually have a non-continuous righthand side of the differential equation, i.e., $f(x)$ is not continuous since it usually needs to switch among different vector fields. Hence, they may not have solutions in the classical sense as the following example shows.
数学代写|动力系统代写Dynamical Systems代考|Generalized Solutions
As shown in the previous example, solution concepts in the classical sense may not be adequate for switched or piecewise linear systems. The requirement to be continuously differentiable in the classical solutions is too strong as the trajectory may hit the switching surface and trigger a switching that makes the derivative of the solution become discontinuous. For differential equations with discontinuous right-hand side, such as in switched systems or piecewise affine systems, we need to generalize the solution concepts.
Definition 2.16 An absolutely continuous function $x:\left[t_0, t_1\right] \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a solution of the differential equation (2.15) with an initial condition $x\left(t_0\right)=x_0$ in the Caratheodory sense if $x(t)$ satisfies the differential equation for almost all $t \in\left[t_0, t_1\right]$ and $x\left(t_0\right)=x_0$.
Alternatively, Caratheodory solutions are absolutely continuous curves that satisfy the integral version of the differential equation, namely
$$
x(t)=x\left(t_0\right)+\int_{t_0}^t f(x(\tau)) d \tau,
$$
where $t>t_0$ and the integral is the Lebesgue integral. To illustrate the definition, we revisit the example.
Example 2.31 As we have shown above, the following scalar system does not have solutions in the classical sense starting from the origin.
$$
\dot{x}(t)=\left{\begin{array}{l}
1, \quad x>0, \
\frac{1}{2}, \quad x=0, \
-1, \quad x<0 .
\end{array}\right.
$$
However, it is easy to verify that $x:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, where $x(t)=t$ is a solution in the Caratheodory sense as it satisfies the differential equation almost everywhere except at $t=0$.
The Caratheodory solutions make sense when the crossing times are sufficiently few (mathematically speaking, the set of time $t$ with discontinuous derivatives is of zero measure). However, it is not uncommon that this condition does not hold as the following example illustrates.
动力系统代写
数学代写|动力系统代写Dynamical Systems代考|Solutions of Ordinary Differential Equations
首先, 我们简要回顾了微分方程解的定义, 因为切换和分段仿射系统都是此类方程的推广。
考虑以下常常系数微分方程的解
$$
\dot{x}(t)=f(x(t)),
$$
在哪里 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是一个向荲场。让 $x\left(t_0\right)=x_0$ 成为初始条件。(2.15) 的解 $\left[t_0, t_1\right]$, 对于一些 $t_1>t_0$, 是一个连续可微的映射 $x:\left[t_0, t_1\right] \rightarrow \mathbb{R}^n$ 满足方程。(2.15)。不失一般性, 我们假设 $t_0=0$.
众所周知, 如果向量场 $f(x)$ 是围绕初始条件的连续和局部 Lipschitz $x_0$, 则存在唯一解 $x(t)$ 从 $x_0$. 局部 Lipschitz 条件意味着对于任何 $x_1$ 和 $x_2$ 在某个街区 $x_0$, 我们有
$$
\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leq L\left|x_1-x_2\right|,
$$
对于一些常数 $L>0$. 这里, $\mid$ | 代表㐸几里得范数 $\mathbb{R}^n$.
为了说明这种情况, 我们来看看下面这个众所周知的例子。
例 $2.29$ 考虑以下微分方程:
$$
\dot{x}(t)=\sqrt{|x(t)|},
$$
与初始条件 $x(0)=0$. 注意向量场 $f(x)=\sqrt{|x|}$ 处处连续, 但在原点处不是局部的 Lipschitz。很㝘易验 证从初始条件开始 $x_0=0$, 功能 $x(t)=0$ 为了 $t \geq 0$ 满足微分方程和初始条件。但是, 解决方室不是唯一 的函数 $x(t)=t^2 / 4$ 也满足微分方程和初始条件。实际上, 它有无限多的解决方䋈, 从 $x_0=0$, 因为函数
$$
x_a(t)=\left{0, \quad 0 \leq t \leq a, \frac{(t-a)^2}{4}, \quad t \geq a,\right.
$$
满足微分方程和任意的初始条件 $a \geq 0$.
切换系统或分段仿射系统通常在微分方程的右手边有一个非连续的, 即 $f(x)$ 不是连续的, 因为它通常需要 在不同的向量场之间切换。因此, 它们可能没有经典意义上的解决方䋈, 如下例所示。
数学代写|动力系统代写Dynamical Systems代考|Generalized Solutions
如前面的示例所示, 经典意义上的解决方安概念可能不适用于切换或分段线性系统。在经典解决方案中连续 可微的要求太强了, 因为轨迹可能会撞击切换表面并触发切换, 从而使解决方䋈的导数变得不连续。对于右 手边不连续的微分方程, 例如在切换系统或分段仿射系统中, 我们需要推广解的概念。
定义 $2.16$ 绝对连续函数 $x:\left[t_0, t_1\right] \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是具有初始条件的微分方程 $(2.15)$ 的解 $x\left(t_0\right)=x_0$ 在卡拉西奥 多意义上, 如果 $x(t)$ 满足几平所有的微分方程 $t \in\left[t_0, t_1\right]$ 和 $x\left(t_0\right)=x_0$.
或者, Caratheodory 解是满足微分方程积分版本的绝对连续曲线, 即
$$
x(t)=x\left(t_0\right)+\int_{t_0}^t f(x(\tau)) d \tau,
$$
在哪里 $t>t_0$ 并且积分是勒贝格积分。为了说明定义, 我们重新审视这个例子。
例 $2.31$ 正如我们上面所展示的，下面的标疃系统没有从原点开始的经典意义上的解。
$\$ \$$
$\backslash \operatorname{dot}{x}(\uparrow)=\backslash \operatorname{left}{$
$1, \quad x>0, \frac{1}{2}, \quad x=0,-1, \quad x<0 .$
正确的。
$\$ \$$
但是, 很容易验证 $x:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, 在哪里 $x(t)=t$ 是 Caratheodory 意义上的解, 因为它几乎在任何 地方都满足微分方程, 除了 $t=0$.
当交叉时间足够少时 (从数学上讲, 时间的集合 $t$ 不连续导数是零度荲的)。但是, 如以下示例所示, 此条 件不成立的情况并不少见。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。