数学代写|PDE代写Partial Differential Equations代考|CME204 Ordinary Differential Equations

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PDE在以数学为导向的科学领域,如物理学和工程学中无处不在。例如,它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学(薛定谔方程、保利方程等)的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑,如微分几何和变分计算;在其他值得注意的应用中,它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。

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数学代写|PDE代写Partial Differential Equations代考|Ordinary Differential Equations

Let $I$ be a subinterval of $\mathbb{R}$. An ordinary differential equation (or simply a differential equation) for a sufficiently smooth univariate unknown function $x=x(t): I \rightarrow \mathbb{R}$ is an equation involving $x$, and some of its derivatives. A more formal definition is as given below.

Definition 3.1 For open sets $U \subseteq \mathbb{R}^{n+1}, V \subseteq \mathbb{R}^k$ and $\Omega \subseteq I \times U \times V$, let $F: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ be a sufficiently smooth nonconstant function such that we have $F\left(t ; x ; x^{\prime}, \ldots, x^{(n)} ; b_1, \ldots, b_k\right)=0, \quad$ for some function $x \in C^n(I)$
A general $n$th order ordinary differential equation for the unknown function $x=x(t)$ is an implicit equation of the form (3.1.1), where functions $b_1, \ldots, b_k \in$ $C(I)$ are called parameters of the equation. The interval $I$ is called the domain interval of the differential equation.

The differential equation (3.1.1) is said to be of order $n$ because the order of the highest derivative of function $x=x(t)$ it involves is $n$. Further, in practical terms, the functions $b_j$ ‘s represent the physical constraints of the physical system under study, which appear as coefficients of terms containing the variables $x, x^{\prime}, \ldots, x^{(n)}$ or as a function representing the external force applied to the system.

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In this section, our aim is to prove the existence and uniqueness theorems for an initial value problem of the form
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=f(t ; x ; b), \quad \text { with } x\left(t_0\right)=x_0,
$$
where $f=f(t, x)$ is a continuous function defined on a domain $D \subseteq I \times \mathbb{R}$, and the vector $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^k(k \geq 1)$ of parameters represents the physical constraints of the underlying dynamical system. For brevity, we may write the function $f$ on the right side of (3.2.1) simply as $f=f(t, x)$. In geometrical terms, the function $f$ defines a direction field as the collection of line elements ${ }^2$ at points $(t, x) \in D$, and so a solution of Eq. (3.2.1) over a subinterval $J \subseteq \mathbb{R}$ is a function $\varphi: J \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$
\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t}=f(t, \varphi(t)), \quad \text { for }(t, \varphi(t)) \in D,
$$
which is unique subject to the initial condition $\varphi\left(t_0\right)=x_0$ (Theorem 3.2). Therefore, a general solution of a first order differential equation is given by a family of curves that covers a subdomain $J \times \mathbb{R}$ (Theorem 3.1).

Notice that, if $\gamma: J \rightarrow D$ is a parametrisation of a unique solution $\varphi$ given by $t \mapsto(t, \varphi(t))$, then the curve
$$
C_\gamma\left(t_0\right)={(t, \varphi(t)): t \in I} \subset D
$$
is such that $\gamma\left(t_0\right)=\left(t_0, x_0\right)$, and the gradient $\nabla \gamma=\varphi^{\prime}$ at a point $(t, \varphi(t)) \in D$ is the function $f=f(t, x)$. In this case, we say $C_\gamma$ is an integral curve of Eq. (3.2.1). In general, a mathematical study of the geometry of integral curves of a differential equation model of the type (3.2.1) is fundamental to many different types of practical problems concerning some univariate dynamical systems $[1,9]$.

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PDE代写

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让 $I$ 是的子区间 $\mathbb{R}$. 一个足够平滑的单变量末知函数的常微分方程 (或简单的微分方程) $x=x(t): I \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个方程涉及 $x$, 以及它的一些衍生物。更正式的定义如下。
定义 $3.1$ 对于开集 $U \subseteq \mathbb{R}^{n+1}, V \subseteq \mathbb{R}^k$ 和 $\Omega \subseteq I \times U \times V$, 让 $F: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个足够光滑的非常量函 数,使得㧴们有 $F\left(t ; x ; x^{\prime}, \ldots, x^{(n)} ; b_1, \ldots, b_k\right)=0$, 对于某些功能 $x \in C^n(I)$
一个将军 $n$ 末知函数的三阶常微分方程 $x=x(t)$ 是 (3.1.1) 形式的隐式方程, 其中函数 $b_1, \ldots, b_k \in C(I)$ 称为方程的参数。间隔I称为微分方程的域区间。
微分方程 (3.1.1) 据说是有序的 $n$ 因为函数的最高导数的阶 $x=x(t)$ 它涉及的是 $n$. 此外, 实际上, 函数 $b_j$ 代表所研究的物理系统的物理约束, 表现为包含变量的项的系数 $x, x^{\prime}, \ldots, x^{(n)}$ 或作为表示施加到系统的外 力的函数。


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在本节中, 我们的目的是证明形式的初值问题的存在性和唯一性定理
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=f(t ; x ; b), \quad \text { with } x\left(t_0\right)=x_0,
$$
在哪里 $f=f(t, x)$ 是定义在域上的连续函数 $D \subseteq I \times \mathbb{R}$, 和向量 $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^k(k \geq 1)$ 参数表示底层动力系统 的物理约束。为简洼起见, 我们可以编互函数 $f$ 在 (3.2.1) 的右侧, 就像 $f=f(t, x)$. 在几何术语中, 函数 $f$ 将方向字段定义为线元素的集合 ${ }^2$ 在点 $(t, x) \in D$, 等式的解。(3.2.1) 在一个子区间内 $J \subseteq \mathbb{R}$ 是一个函数 $\varphi: J \rightarrow \mathbb{R}$ 这样
$$
\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t}=f(t, \varphi(t)), \quad \text { for }(t, \varphi(t)) \in D,
$$
在初始条件下是唯一的 $\varphi\left(t_0\right)=x_0$ (定理 3.2)。因此, 一阶微分方程的通解由覆盖子域的曲线族给出 $J \times \mathbb{R}$ (昰理 3.1)。
请注意, 如果 $\gamma: J \rightarrow D$ 是唯一解的参数化 $\varphi$ 由 $t \mapsto(t, \varphi(t))$, 那么曲线
$$
C_\gamma\left(t_0\right)=(t, \varphi(t)): t \in I \subset D
$$
是这样的 $\gamma\left(t_0\right)=\left(t_0, x_0\right)$, 和梯度 $\nabla \gamma=\varphi^{\prime}$ 在某一点 $(t, \varphi(t)) \in D$ 是函数 $f=f(t, x)$. 在这种情况 下, 我们说 $C_\gamma$ 是方程的积分曲线。 (3.2.1)。一般来说, 对类型 (3.2.1) 的微分方程模型的积分曲线几何的数 学研究对于涉及一些单变量动力系统的许多不同类型的实际问题是基础的 $[1,9]$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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