数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|MA3205 The degree of curves in S1

如果你也在 怎样代写曲线和曲面Curves And Surfaces MA3205这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。曲线和曲面Curves And Surfaces是指在一个平面上平滑地画出的线条,其中有一个弯曲或转弯。面是物体的一个平面或区域。曲线是一维的。一个表面是二维的。测量曲面上某一点的高斯曲率的一个方法是,在曲面上取一个半径为r的小圆,圆心在该点,计算圆的周长或面积。

曲线和曲面Curves And Surfaces在数学中,曲线(在较早的文本中也称为曲线)是一种类似于直线的物体,但它不一定是直线。直观地说,曲线可以被认为是一个移动的点所留下的痕迹。这是2000多年前出现在欧几里德《元素》中的定义。”[弯曲的]线[a]是[……]第一种量,它只有一个维度,即长度,没有任何宽度或深度,而且无非是点的流动或运行,[……]将从其假想的移动中留下一些长度上的痕迹,免除任何宽度。”

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数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|The degree of curves in S1

Denote by $S^1 \subset \mathbb{R}^2$ the unitary circle in the plane, that is, the set of points $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ at distance 1 from the origin:
$$
S^1=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=1\right}
$$

By identifying $\mathbb{R}^2$ with the complex plane $C$ in the usual way, that is, by associating $z=x+\mathrm{i} y \in \mathrm{C}$ with the pair consisting of its real and imaginary parts $(\operatorname{Re} z, \operatorname{Im} z)=(x, y) \in \mathbb{R}^2$, we may describe $S^1$ as the set of complex numbers with modulus 1 :
$$
S^1={z \in \mathrm{C}|| z \mid=1} .
$$
In what follows it will be useful to keep in mind both these descriptions.
One of the fundamental tools for the study of the geometry of $S^1$ is the periodic parametrization $\hat{\pi}: \mathbb{R} \rightarrow S^1$ given by
$$
\hat{\pi}(x)=(\cos x, \sin x),
$$
or, if we consider $S^1$ in the complex plane, by $\hat{\pi}(x)=\exp (\mathrm{i} x)$. Note that saying that $\hat{\pi}(x)=v \in S^1$ is equivalent to saying that $x \in \mathbb{R}$ is a possible determination of the angle from the $x$-axis to vector $v$. In particular,
$$
\hat{\pi}\left(x_1\right)=\hat{\pi}\left(x_2\right) \Longleftrightarrow x_1-x_2 \in 2 \pi \mathbb{Z},
$$
that is, two determinations of the angle of the same point in $S^1$ always differ by an integer multiple of $2 \pi$.

数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|Tubular neighborhoods

Now that preliminaries are over we may introduce the class of curves we shall deal with most in this chapter (see also Definition 1.1.28).

Definition 2.2.1. A curve $\sigma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ is simple if it is injective on $[a, b)$ and on $(a, b]$. A Jordan curve is a closed simple continuous plane curve.
Fig. $2.1$ shows examples of non-simple, simple and Jordan curves.
Remark 2.2.2. A non-closed simple continuous curve $\sigma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a homeomorphism with its image, so it is a closed Jordan arc (see Definition 1.1.27). Indeed, it is globally injective, and every bijective continuous map from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. Arguing in an analogous way, it is easy to prove (see Exercise 2.12) that the support of a Jordan curve is homeomorphic to the circle $S^1$.

One of the main properties of Jordan curves is (not surprisingly) the Jordan curve theorem, which states that the support of a closed simple plane curve divides the plane in exactly two components (Theorem 2.3.6). This is one of those results that seem obvious at first sight, but is actually very deep and hard to prove (in fact, it is not even completely obvious that the curve in Fig. 2.1.(d) divides the plane in just two parts…).

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曲线和曲面代写

数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|The degree of curves in $\mathrm{S} 1$


表示为 $S^1 \subset \mathbb{R}^2$ 平面上的西圆, 即点的集合 $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ 在距离原点 1 处:
$S^{\wedge} 1=\backslash$ left $\left{(x, y) \backslash\right.$ in $\backslash$ mathbb ${R}^{\wedge} 2 \backslash$ mid $x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2=1 \backslash$ right $}$
通过识别 $\mathbb{R}^2$ 与复平面 $C$ 以通常的方式, 即通过关联 $z=x+\mathrm{i} y \in \mathrm{C}$ 由其实部和虚部组成的对 $(\operatorname{Re} z, \operatorname{Im} z)=(x, y) \in \mathbb{R}^2$, 我们可以描述 $S^1$ 作为模数为 1 的筫数集:
$$
S^1=z \in \mathrm{C}|| z \mid=1 .
$$
在下文中, 记住这两个描述将很有用。
几何学研究的基本工具之 $-S^1$ 是周期性参数化 $\hat{\pi}: \mathbb{R} \rightarrow S^1$ 由
$$
\hat{\pi}(x)=(\cos x, \sin x),
$$
或者, 如果我们考虑 $S^1$ 在复平面上, 由 $\hat{\pi}(x)=\exp (\mathrm{i} x)$. 注意说 $\hat{\pi}(x)=v \in S^1$ 相当于说 $x \in \mathbb{R}$ 是一个 可能的角度确定 $x$-轴到向量 $v$. 尤其是,
$$
\hat{\pi}\left(x_1\right)=\hat{\pi}\left(x_2\right) \Longleftrightarrow x_1-x_2 \in 2 \pi \mathbb{Z},
$$
即同一点的角度的两次确定 $S^1$ 总是相差整数倍 $2 \pi$.


数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|Tubular neighborhoods


现在准备工作已经结束, 我们可以介绍本章将要处理的最多的曲线类 (另见定义 1.1.28)。
定义 2.2.1。一条曲线 $\sigma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ 如果它是单射的, 则很简单 $[a, b)$ 和上 $(a, b]$. 若尔当曲线是封闭的简 单连续平面曲线。
如图。2.1显示了非简单曲线、简单曲线和 Jordan 曲线的示例。
备注 2.2.2。非闭合简单连续曲线 $\sigma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是一个与它的像同胚, 所以它是一个闭合的若尔当弧 (见 定义 1.1.27)。事实上, 它是全局单射的, 从紧致空间到 Hausdorff 空间的每一个双射连续映射都是同 胚。以类似的方式论证, 很容易证明 (见习题 2.12) 约旦曲线的支撑与圆同胚 $S^1$.

Jordan 曲线的主要性质之一是 (毫不奇怪) Jordan 曲线定理, 该定理指出闭合简单平面曲线的支拝将平 面精确地分成两个分量 (定理 2.3.6)。这是乍一看似平很明显的结果之一, 但实际上非常深刻且难以证明 (事实上,图 2.1.(d) 中的曲线甚至不完全明显地将平面分为两部分……)。

数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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