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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Ideals and Divisibility
In this second chapter, we study deeper aspects of divisibility in rings. This question appeared historically when mathematicians – notably, in the hope of proving Fermat’s Last Theorem! – tried to make use of unique factorization in rings where it didn’t hold. Ideals are one device that was then invented to gain a better understanding of divisibility. In this context, there are two natural analogues of prime numbers, namely maximal and prime ideals.
I introduce maximal ideals in the general framework of possibly noncommutative rings; I then define the Jacobson radical. Matrix rings furnish interesting examples.
However, from that point on, the chapter is essentially focused on commutative rings. I define prime ideals and show their relations with nilpotent elements (via the nilpotent radical), or local rings. The set of all prime ideals of a commutative ring is called its spectrum, and it is endowed with a natural topology. The detailed study of spectra of rings belongs to the algebraic geometry of schemes, as put forward by Alexander Grothendieck. Although that is a more advanced subject than what is planned for this book, I believe that the early introduction of the spectrum of a ring allows one to add an insightful geometric interpretation to some constructions of commutative algebra.
Hilbert’s “Nullstellensatz” describes the maximal ideals of the ring of polynomials in finitely many indeterminates over an algebraically closed field. After proving it in the particular case of the field of complex numbers (by a short argument which some colleagues find too special), I show how this theorem gives rise to a correspondence between geometry and algebra. (The general case of the theorem will be proved in chapter 9; a few other proofs also appear as exercises in that chapter, as well as in this one.)
Another beautiful geometric example is given by Gelfand’s theorem, which describes the maximal ideals of the ring of continuous functions on a compact metric space.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Maximal Ideals
Definition (2.1.1). – Let A be a ring. One says that a left ideal of A is maximal if it is maximal among the left ideals of $\mathrm{A}$ which are distinct from $\mathrm{A}$.
In other words, a left ideal $\mathrm{I}$ is maximal if one has $\mathrm{I} \neq \mathrm{A}$ and if the only left ideals of A containing I are A and I. Consequently, to check that a left ideal $\mathrm{I} \neq \mathrm{A}$ is maximal, it suffices to show that for any $a \in \mathrm{A}-\mathrm{I}$, the left ideal $\mathrm{I}+\mathrm{A} a$ is equal to $\mathrm{A}$.
There is an analogous definition for the right and two-sided ideals.
These notions coincide when the ring A is commutative, but the reader should be cautious in the general case: When the ring A is not commutative, a two-sided ideal can be a maximal ideal as a two-sided ideal but not as a left ideal, or be a maximal ideal as a left ideal but not as a right ideal.
Examples (2.1.2). – a) The ideals of $\mathbf{Z}$ have the form $n \mathbf{Z}$, for some $n \in \mathbf{Z}$ (example 1.4.3). If $n$ divides $m$, then $m \mathbf{Z} \subset n \mathbf{Z}$, and conversely. It follows that the maximal ideals of $\mathbf{Z}$ are the ideals $p \mathbf{Z}$, where $p$ is a prime number.
Similarly, if $\mathrm{K}$ is a field, the maximal ideals of the ring $\mathrm{K}[\mathrm{X}]$ of polynomials in one indeterminate are the ideals generated by an irreducible polynomial. When $\mathrm{K}$ is algebraically closed, the maximal ideals are the ideals $(X-a)$, for some $a \in \mathrm{K}$.
b) Let $\mathrm{K}$ be a field and let $\mathrm{V}$ be a $\mathrm{K}$-vector space of finite dimension. In exercise 1.8.32, we asked to determine the left, right, and two-sided ideals of $\operatorname{End}_{\mathrm{K}}(\mathrm{V})$.
The left ideals of End(V) are the ideals IW, where $W$ is a vector subspace of $V$ and $I_W$ is the set of endomorphisms whose kernel contains W. For $W \subset W^{\prime}, I_W, \subset I_W$. Consequently, the maximal left ideals of End(V) are those ideals $I_W$ where $W$ is a line in $V$.
The right ideals of $V$ are the ideals $R_W$ where $W$ is a vector subspace of $V$ and $R_W$ is the set of endomorphisms whose image is contained in W. For $\mathrm{W} \subset \mathrm{W}^{\prime}, \mathrm{I}{\mathrm{W}} \subset \mathrm{I}{\mathrm{W}^{\prime}}$. Consequently, the maximal right ideals of End(V) are those ideals $R_W$ where $W$ is a hyperplane in $V$.
The only two-sided ideals of $\operatorname{End}(\mathrm{V})$ are ( 0$)$ and $\operatorname{End}(\mathrm{V})$, so that $(0)$ is the only maximal two-sided ideal of End(V).
c) A maximal left ideal of a ring is a maximal right ideal of the opposite ring.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Ideals and Divisibility
在第二章中, 我们研究了环中可分性的重深层次的方面。这个问题在数学家历史上出现过一一尤其是在莃望 证明费马大定理的时候！-试图在不成立的环中使用独特的因式分解。理想是一种后来被发明出来以更好地 理解可分性的设备。在这种情况下，素数有两种自然类似物，即极大理想和素理想。
我在可能非交换环的一般框架中引入极大理想; 然后我定义了 Jacobson 根式。矩阵环提供了有趣的例 $7 \circ$ 的关系。交换环的所有素理想的集合称为它的谱，它具有自然拓扑。环谱的详细研究属于格罗腾迪克提出的 方案的代数几何。虽然这是一个比本书计划的更高级的主题, 但我相信早期引入环的谱可以让人们对一些交 换代数的结构添加有见地的几何解释。
希尔伯特的“Nullstellensatz”描述了在代数闭域上的有限多个不定项中多项式环的最大理想。在复数领域的 特殊情况下证明了它（通过一些同事认为太特殊的简筥论证）之后，我展示了这个定理如何产生几何和代数 Z间的对应关系。（定理的一般情况将在第 9 章中证明; 其他一些证㫜也作为练习出现在该章以及这一章 中。)
另一个漂亮的几何例子是 Gelfand 定理，它描述了攽度量空间上连续函数环的最大理想。
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Maximal Ideals
昰义 (2.1.1)。-让 $\mathrm{A}$ 是一个环。有人说 $\mathrm{A}$ 的左理想是最大的，如果它在 $\mathrm{A}$ 的左理想中是最大的 $\mathrm{A}$ 区别于
A.
换句话说, 左理想 $\mathrm{I}$ 是最大的, 如果有 $\mathrm{I} \neq \mathrm{A}$ 如果包含 $\mathrm{I}$ 的 $\mathrm{A}$ 的唯一左理想是 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{I}$ 。因此, 要检查左理想 $\mathrm{I} \neq \mathrm{A}$ 是最大的, 这足以证明对于任何 $a \in \mathrm{A}-\mathrm{I}$, 左理想 $\mathrm{I}+\mathrm{A} a$ 等于 $\mathrm{A}$.
右侧理想和两侧理想也有类似的定义。
当环 $A$ 可交换时, 这些概念是一致的, 但读者在一般情况下应谨慎: 当环 $A$ 不可交换时, 两侧理想可以是 作为两侧理想的极大理想, 但不能作为左理想理想, 或者是作为左理想但不是作为右理想的极大理想。
示例 (2.1.2)。- a) 的理想 $\mathbf{Z}$ 有表格 $n \mathbf{Z}$ ，对于一些 $n \in \mathbf{Z}$ （示例 1.4.3）。如果 $n$ 划分 $m$ ，然后 $m \mathbf{Z} \subset n \mathbf{Z}$, 反之亦然。由此可见, 最大理想 $\mathbf{Z}$ 是理想 $p \mathbf{Z}$, 在哪里 $p$ 是一个素数。
同样, 如果 $K$ 是一个场, 环的最大理想 $K[X]$ 个个不确定的多项式是由一个不可约多项式产生的理想。什么 时候 $\mathrm{K}$ 是代数封闭的, 最大理想是理想 $(X-a)$, 对于一毕 $a \in \mathrm{K}$.
b) 让K成为一个领域, 让 $V$ 做一个 $K$-有限维向量空间。在练习 $1.8 .32$ 中, 我们要求确定左、右和两侧的理 想 $\operatorname{End}_{\mathrm{K}}(\mathrm{V})$
$\mathrm{End}(\mathrm{V})$ 的左理想是理想 IW，其中 $W$ 是一个向量子空间 $V$ 和 $I_W$ 是核包含 $W$ 的自同念集合。对于 $W \subset W^{\prime}, I_W, \subset I_W$. 因此，End(V) 的最大左理想是那些理想 $I_W$ 在哪里 $W$ 是一条线 $V$.
正确的理想 $V$ 是理想 $R_W$ 在哪里 $W$ 是一个向量子空间 $V$ 和 $R_W$ 是图像包含在 $W$ 中的自同态集合。对于 $\mathrm{W} \subset \mathrm{W}^{\prime}, \mathrm{IW} \subset \mathrm{IW}^{\prime}$. 因此, End(V) 的最大右理想是那毕理想 $R_W$ 在哪里 $W$ 是一个超平面 $V$.
唯一的两面理想 $\operatorname{End}(\mathrm{V})$ 是 $(0)$ 和 $\operatorname{End}(\mathrm{V})$, 以便 $(0)$ 是 $\operatorname{End}(\mathrm{V})$ 的唯一极大双边理想。
C) 一个环的最大左理想是对面环的最大右理想。
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。