金融代写|风险估值理论代写Uncertainty Quantification代考|MATH6101 Probability Measure

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金融代写|风险估值理论代写Uncertainty Quantification代考|MATH6101 Probability Measure

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The probability theory provides a mathematical description of random experiments whose outcome cannot be predicted in advance. Examples of random experiments are flipping a coin, rolling a dice, flipping two coins, rolling two dice, measuring a light bulb’s lifetime, etc. However, by repeating a random experiment sufficiently many times, some idea of the average outcome can be attained. For instance, if we flip a coin enough times, we will observe an almost fifty percent chance of getting heads, provided that the coin is fair.

To facilitate the forthcoming discussion, we recall the essential ingredients of the probability theory. The first crucial component is the sample space, which is defined as the collection of all the possible outcomes of a random experiment and is typically denoted by $\Omega$. For instance, if the random experiment consists of flipping a coin, then $\Omega={h, t}$, where $h$ signifies that the outcome of the toss is a head and $t$ represents that the result is a tail. For the experiment of flipping two coins, the sample space is $\Omega={h h, t t, h t, t h}$. For the experiment of rolling a dice, the sample space is $\Omega={1,2,3,4,5,6}$, where the outcome $j \in[1,6]$ signifies that the number $j$ appeared on the dice.

An event is merely a subset of the sample space $\Omega$. For instance, in the random experiment of flipping a coin, $A={h}$ represents the event that a head appears on the roll. If the experiment consists of rolling a dice, then $A={1,3,5}$ describes the event that an odd number appears on the dice.
For two arbitrary events $A$ and $B$, we have

  1. The opposite of the event $A$ is still an event which is denoted by $A^c$.
  2. The event $A$ or $B$ is understood as the union $A \cup B$.
  3. The event $A$ and $B$ is understood as the intersection $A \cap B$.
  4. The sample space $\Omega$ represents the sure event.
  5. The set ${\emptyset}$ represents the impossible event.
  6. A singleton ${\omega} \subset \Omega$ is called an elementary event.

金融代写|风险估值理论代写Uncertainty Quantification代考|Conditional Probability and Independence

We begin with the following definition:
Definition 2.2.1 Let $A$ and $B$ be two events and $\mathbb{P}(B)>0$. Then the conditional probability of $A$, given $B$, is
$$
\mathbb{P}(A \mid B)=\frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} .
$$
If the information that $B$ has occurred does not affect the probability of the event that $A$ occurs, we get $\mathbb{P}(A \mid B)=\mathbb{P}(A)$. That is,
$$
\frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\mathbb{P}(A),
$$
which inspires the notion of independence. Two events $A$ and $B$ are independent, if
$$
\mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) .
$$
A general definition can be formulated as follows:
Definition 2.2.2 An arbitrary collection of events $\left{A_i\right}_{i \in I}$ is called independent, if for each finite subset $J \subset I$ :
$$
\mathbb{P}\left(\cap_{i \in J} A_i\right)=\Pi_{i \in J} \mathbb{P}\left(A_i\right) .
$$
The following example further explains the above notion.

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风险估值理论代写

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概率论提供了随机实验的数学描述, 其结果无法提前预测。随机实验的例子有掷䃅市、掷骱子、掷两个硬 开、掷两个骱子、测量灯泡的寿命等。但是, 通过将随机实验重复足够多次, 可以获得平均结果的一些概 念。例如, 如果我们掷硬币足够多次, 我们将观察到几平 $50 \%$ 的正面朝上的机会, 前提是硬开是公平的。
为了便于接下来的讨论, 我们回顾一下概率论的基本要素。第一个关键组成部分是样本空间, 它被定义为随 机实验所有可能结果的集合, 通常表示为 $\Omega$. 例如, 如果随机实验包括郑硬市, 那么 $\Omega=h, t$, 在哪里 $h$ 表 示投掷的结果是正面, 并且 $t$ 表示结果是尾巴。对于抛两枚硬市的实验, 样本空间为 $\Omega=h h, t t, h t, t h$. 对 于掷馉子的实验, 样本空间为 $\Omega=1,2,3,4,5,6$, 结果在哪里 $j \in[1,6]$ 表示该数 $j$ 出现在骹子上。
事件只是样本空间的一个子集 $\Omega$. 例如, 在烪硬市的随机实验中, $A=h$ 表示头出现在卷上的事件。如果实 验包括掷馉子, 那么 $A=1,3,5$ 描述骹子上出现奇数的事件。 对于两个任意事件 $A$ 和 $B$, 我们有

事件的反面 $A$ 仍然是一个事件, 由 $A^c$.

事件 $A$ 或者 $B$ 被理解为工会 $A \cup B$.

事件 $A$ 和 $B$ 被理解为路口 $A \cap B$.

样本空间 $\Omega$ 代表确定的事件。

套装り代表不可能的事件。

单身人士 $\omega \subset \Omega$ 称为基本事件。


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我们从以下昰义开始:
定义 2.2.1 让 $A$ 和 $B$ 是两个事件和 $P(B)>0$. 那么条件概率为 $A$, 给定 $B$, 是
$$
\mathbb{P}(A \mid B)=\frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} .
$$
如果该信息 $B$ 已经发生不影响事件发生的概率 $A$ 发生, 我们得到 $\mathbb{P}(A \mid B)=\mathbb{P}(A)$. 那是,
$$
\frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\mathbb{P}(A),
$$
这激发了独立的概念。两个事件 $A$ 和 $B$ 是独立的, 如果
$$
\mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) .
$$
一般昰义可以表述如下:
定义 $2.2 .2$ 事件的任意集合 \left } { \text { A_} _ { – } \backslash \text { iright } } _ { – } { \text { i } \backslash \text { in I I } } \text { 称为独立的, 如果对于每个有限子集 } J \subset I \text { : }
$$
\mathbb{P}\left(\cap_{i \in J} A_i\right)=\Pi_{i \in J} \mathbb{P}\left(A_i\right) .
$$
下面的例子进一步解释了上述概念。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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