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金融代写|风险估值理论代写Uncertainty Quantification代考|Generalized Projection
We now study another notion of a projection map that has been studied extensively in recent years. Let $B$ be a Banach space with $B^$ as its dual, and $\langle\cdot, \cdot\rangle$ be the pairing between $B$ and $B^$. Define a function $V: B^* \times B \rightarrow \mathbb{R}$ by
$$
V\left(x^, x\right):=\left|x^\right|_^2-2\left\langle x^, x\right\rangle+|x|^2, \quad \text { for any } x^* \in B^*, \text { for any } x \in B \text {. (3.26) }
$$
Here $|\cdot|_$ is the norm in $B^$ and $|\cdot|$ is the norm in $B$
Using the above function, we propose the following:
Definition 3.2.2 Let $B$ be a Banach space, $B^$ be the dual of $B$, and $K \subset B$ be closed and convex. The generalized projection $\pi_K: B^ \rightarrow K$ assigns to each $x^* \in$ $B^$, the set of points $\pi_K x^ \in K$ minimizing $V\left(x^, x\right)$ over $K$. That is, $$ \pi_K x^=\left{x \in K \mid V\left(x^, x\right) \leq V\left(x^, y\right), \quad \text { for every } y \in K\right} .
$$
The following result justifies the notion of the generalized projection $\pi_{\mathrm{K}}$ :
Theorem 3.2.2 Let $B$ be a reflexive Banach space, $B^$ be the topological dual of $B$, and $K$ be a closed, and convex subset of $B$. Then for any $x^ \in B^$, the generalized projection is well-defined, that is, $\pi_K x^ \neq \emptyset$.
Proof. Let $K$ be bounded. Then, for any $x^* \in B^$ and for any $x \in K$, we have $$ \left(\left|x^\right|_-|x|\right)^2 \leq V\left(x^, x\right) \leq\left(\left|x^\right|_+|x|\right)^2,
$$
which implies that for a fixed $x^* \in B^, V\left(x^, \cdot\right)$ is bounded below and hence there is a minimizing sequence. Let $\left{x_n\right} \subset K$ be a minimizing sequence such that $V\left(x^, x_n\right) \rightarrow \inf {z \in K} V\left(x^, z\right)$, as $n \rightarrow \infty$. Since by assumption $K$ is bounded and since $B$ is reflexive, there is a weakly convergent subsequence of $\left{x_n\right}$. By keeping the same notation for subsequences as well, assume that $\left{x_n\right}$ converges weakly to some $\bar{x} \in K$. Therefore,
$$
\begin{aligned}
V\left(x^, \bar{x}\right) &=\left|x^\right|^2-2\left\langle x^, \bar{x}\right\rangle+|\bar{x}|^2 \
& \leq \liminf {n \rightarrow \infty}\left(\left|x^\right|^2-2\left\langle x^, x_n\right\rangle+\left|x_n\right|^2\right) \ &=\liminf {n \rightarrow \infty} V\left(x^, x_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} V\left(x^, x_n\right)=\inf _{y \in K} V\left(x^, y\right),
\end{aligned}
$$
and consequently $\bar{x} \in \pi_K x^*$.
金融代写|风险估值理论代写Uncertainty Quantification代考|Illustrative Examples
We first give simple examples to illustrate the notion of variational inequalities.
Example 4.1.1 Given real constants $a, b$, and $c$ with $a>0$, and a closed and convex set $K \subset \mathbb{R}$, consider the problem of minimizing the quadratic function:
$$
\min {x \in K} \Phi(x):=\frac{a x^2}{2}-b x+c . $$ Evidently, if $K=\mathbb{R}$, the minimizer $\bar{x}=b / a$ is characterized by the optimality condition $\Phi^{\prime}(\bar{x})=0$. On the other hand, if $K$ is a proper subset of $\mathbb{R}$, then the optimality condition $\Phi^{\prime}(\bar{x})=0$ does not necessarily characterize the minimizer $\bar{x}$. To illustrate, let the closed and convex set $K:={x \in \mathbb{R} \mid \alpha \leq x \leq \beta}$ be the constraint in (4.1). A minimizer $\bar{x}$, due to the convexity of $K$, must satisfy the inequality $$ \Phi(\bar{x}) \leq \Phi(\bar{x}+t(x-\bar{x})), $$ for every $x \in K$, where $t \in[0,1]$. This implies $$ \lim {t \searrow 0} \frac{\Phi(\bar{x}+t(x-\bar{x}))-\Phi(\bar{x})}{t}=\Phi^{\prime}(\bar{x})(x-\bar{x}) \geq 0 .
$$
Summarizing, a minimizer $\bar{x}$ of (4.1) must satisfy the variational inequality
$$
\Phi^{\prime}(\bar{x})(x-\bar{x}) \geq 0, \quad \text { for every } x \in K .
$$
Note that if the minimizer $\bar{x}$ is an interior point of $K$, then (4.2) promptly yields the optimality condition $\Phi^{\prime}(\bar{x})=0$. Indeed, in this case, we can choose $\varepsilon>0$ such that $\bar{x} \pm \epsilon z \in K$, for an arbitrary $z$, implying $\pm \varepsilon \Phi^{\prime}(\bar{x}) z \geq 0$ and hence $\Phi^{\prime}(\bar{x})=0$.
We next consider a variant of the above example in the Euclidean space.
风险估值理论代写
金融代写|风险估值理论代写Uncertainty Quantification代 考|Generalized Projection
我们现在研究近年来已广泛研究的投影图的另一个概念。让B成为 Banach 空间 乙^作为它的对偶, 并且 $\langle\cdot, \cdot\rangle$ 成为之间的配对 $B$ 和乙^. 定义一个函数 $V: B^* \times B \rightarrow \mathbb{R}$ 经过
V\left } ( x ^ { \wedge } , x \backslash \text { right } ) : = \backslash \text { left } | x ^ { \wedge } \backslash \text { right } | _ { – } ^ { \wedge } 2 – 2 \backslash \text { left } \backslash \text { langle } x ^ { \wedge } , x \backslash \text { right } \backslash \text { rangle } + | x | ^ { \wedge } 2 , \backslash \text { quad } \backslash \text { text } { \text { 为任何 } } x ^ { \wedge * } \backslash \text { in } B ^ { \wedge * } \text { , }
这里 $\mid \backslash$ cdot $\left.\right|{-}$是规范 乙 乙 $^{\prime}$ 和 $|\cdot|$ 是规范 $B$ 使用上述函数, 我们提出以下建诋: 定义 3.2.2 让B成为 Banach 空间，乙浇为对偶 $B$, 和 $K \subset B$ 是封闭和凸的。广义投影 $\pi_K: B \rightarrow K$ 分 配给每个 $x^* \in$ 乙^ $^{\wedge}$, 点集 $\pi_K x^{\in} K$ 最小化 $V\left(x^* x\right)$ 超过 $K$. 那是, $\backslash$ \i_K $\mathrm{x}^{\wedge}=\backslash$ left $\left{\mathrm{x} \backslash\right.$ in $\mathrm{K} \backslash$ mid $\mathrm{V} \backslash$ left $\left(\mathrm{x}^{\wedge}, \mathrm{x} \backslash\right.$ right) $\backslash$ leq $\mathrm{V} \backslash \mathrm{left}\left(\mathrm{x}^{\wedge}, \mathrm{y} \backslash\right.$ right $)$, \quad $\backslash$ text ${$ 对于每个 $} \mathrm{y} \backslash$ in 克 $\backslash$ 右 $}$ 。 以下结果证明了广义投影的概念 $\pi{\mathrm{K}}$ ：
定理 $3.2 .2$ 让 $B$ 是一个自反巴拿赫空间，乙^成为的砳扑对偶 $B$, 和 $K$ 是一个闭凸子集 $B$. 那么对于任何 $\mathrm{x}^{\wedge} \backslash$ in B $^{\wedge}$, 广义投影是明确定义的, 即 $\pi_{K^{\prime}} x^{\neq} \emptyset$.
证明。让 $K$ 有界。那么, 对于任何 $\mathrm{x}^{\wedge } \backslash$ in $^{\wedge}$ 并且对于任何 $x \in K$, 我们有 $\backslash$ left $\left(\backslash \text { left } \mid x^{\wedge} \backslash \text { right }\left.\right|{-}-|x| \backslash \text { right }\right)^{\wedge} 2 \backslash$ leq $\vee \backslash$ left $\left(x^{\wedge}, x \backslash\right.$ right $) \backslash$ leq $\backslash$ left $\left(\backslash \text { left } \mid x^{\wedge} \backslash \text { right }\left.\right|{-}+|x| \backslash \text { 右 }\right)^{\wedge} 2$,
$\backslash$ left $\left{\mathrm{x}{-}\right.$\right } } \text { \subset K 是一个最小化序列, 使得 } V ( x ^ { \prime } x { n } ) \rightarrow \operatorname { i n f } z \in K V ( x ^ { \prime } z ) \text { , 作为 } n \rightarrow \infty \text { . 由 } 于假设 $K$ 是有界的, 因为 $B$ 是自反的, 有一个弱收敛的子序列 $\backslash$ left {x_n\right } } \text { . 通过对子序列也保持相同的 } 符号, 假设 \left } { \mathrm { x } _ { 2 } \mathrm { n } \backslash \text { right } } \text { 弱收敛到一些 } \overline { x } \in K \text { . 所以, }
$\backslash$ begin{aligned $} \vee \backslash l^{\wedge f t}\left(x^{\wedge}, \backslash\right.$ bar ${x} \backslash$ right $) \&=\backslash$ left $\mid x^{\wedge} \backslash$ right ||$^{\wedge} 2-2 \backslash$ left $\backslash$ langle $x^{\wedge}, \backslash$ bar ${x} \backslash$ right $\backslash$ rangle $+\mid \backslash$ bar $\left.{x}\right|^{\wedge}:$
因此 $\bar{x} \in \pi_K x^$.
金融代写|风险估值理论代写Uncertainty Quantification代考|Illustrative Examples
我们首先给出简单的例子来说明变分不等式的概念。
示例 4.1.1 给定实常数 $a, b$, 和 $c$ 和 $a>0$, 和一个闭凸集 $K \subset \mathbb{R}$, 考虑最小化二次函数的问题:
$$
\min x \in K \Phi(x):=\frac{a x^2}{2}-b x+c .
$$
显然, 如果 $K=\mathbb{R}$, 最小化器 $\bar{x}=b / a$ 以最优条件为特征 $\Phi^{\prime}(\bar{x})=0$. 另一方面, 如果 $K$ 是一个适当的子 集 $\mathbb{R}$, 那么最优条件 $\Phi^{\prime}(\bar{x})=0$ 不一定表征最小化器 $\bar{x}$. 为了说明, 让闭凸集 $K:=x \in \mathbb{R} \mid \alpha \leq x \leq \beta$ 成 为 (4.1) 中的约束。最小化器 $\bar{x}$, 由于凸性 $K$, 必须满足不等式
$$
\Phi(\bar{x}) \leq \Phi(\bar{x}+t(x-\bar{x})),
$$
对于每个 $x \in K$, 在哪里 $t \in[0,1]$. 这意味着
$$
\lim _{\searrow} 0 \frac{\Phi(\bar{x}+t(x-\bar{x}))-\Phi(\bar{x})}{t}=\Phi^{\prime}(\bar{x})(x-\bar{x}) \geq 0 .
$$
总结, 最小化器 $\bar{x}$ (4.1) 的必须满足变分不等式
$$
\Phi^{\prime}(\bar{x})(x-\bar{x}) \geq 0, \quad \text { for every } x \in K
$$
请注意, 如果最小化器 $\bar{x}$ 是一个内点 $K$, 那么 (4.2) 立即产生最优条件 $\Phi^{\prime}(\bar{x})=0$. 确实, 在这种情况下, 我 们可以选择 $\varepsilon>0$ 这样 $\bar{x} \pm \epsilon z \in K$, 对于任意 $z$, 暗示土 $\varepsilon \Phi^{\prime}(\bar{x}) z \geq 0$ 因此 $\Phi^{\prime}(\bar{x})=0$. 我们接下来考虑欧几里得空间中上述示例的变体。
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。