统计代写|鞅论代写Martingale Theory代考|ORIE6640 Quadratic Variation

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鞅论Martingale Theory最初,指的是18世纪法国流行的一类博彩策略。这些策略中最简单的是为一种游戏设计的,在这种游戏中,如果硬币是正面的,赌徒就赢得他们的赌注,如果硬币是反面的,就输掉它。该策略让赌徒在每次输钱后将赌注翻倍,这样第一次赢钱就能收回之前所有的损失,并赢得与原来赌注相等的利润。当赌徒的财富和可用时间共同接近无限时,他们最终翻出人头的概率接近1,这使得鞅论的投注策略看起来是稳赚不赔的。然而,由于银行资金有限,赌注的指数式增长最终使其用户破产。停顿布朗运动是一个马太效应过程,可以用来模拟这种游戏的轨迹。

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统计代写|鞅论代写Martingale Theory代考|ORIE6640 Quadratic Variation

统计代写|鞅论代写Martingale Theory代考|Quadratic Variation

Definition 19 (Quadratic Variation and Quadratic Covariation) Let $X, Y$ be semimartingales.
The quadratic variation of $X$ denoted $[X, X]t$ is defined by $$ [X, X]_t=X_t^2-2 \int_0^t X{s-} d X_s
$$
for $t \geq 0$.
The quadratic covariation of $X, Y$ denoted $[X, Y]t$ is defined by $$ [X, Y]_t=X_t Y_t-\int_0^t X{s-} d Y_s-\int_0^t Y_{s-} d X_s
$$
for $t \geq 0$ where $X_{s-}=\lim {t \rightarrow s, t{s-}=\lim {t \rightarrow s, t{0-}=Y_{0-}=0$.
Remark 8 (Decomposition) It can be shown that for a general semimartingale,
$$
[X, X]t=\left[X^c, X^c\right]_t+\sum{0 \leq s \leq t}\left(\Delta X_s\right)^2=[X, X]t^c+\sum{0 \leq s \leq t}\left(\Delta X_s\right)^2
$$
for $t \geq 0$ where $Y^c$ denotes the continuous part of the stochastic process $Y$ (see Medvegyev [143, p. 245]), $\Delta X_t=X_t-X_{t-}$, and $\Delta X_0=X_0^2$. Note that $\Delta X(t)$ has only a countable number of nonzero values over $[0, t]$ (see Medvegyev [143, p. 5]), so the sum is well defined. This completes the remark.

统计代写|鞅论代写Martingale Theory代考|Uniqueness of the Stochastic Integral Representation

For derivative valuation and hedging, it will be important to know when the integrand of a stochastic integral is unique. This section lists results useful in this regard.

Lemma 9 (Uniqueness of the Integrand of a Stochastic Integral) Let $X$ be semimartingales with $H \in \mathscr{L}(X)$, and let
$$
Y_t=y+\int_0^t H_s d X_s
$$
for $t \geq 0$ with $Y_0=y$. Then, $H_s(\omega)$ is unique for almost all $(s, \omega), d[X, X]_t(\omega) \times$ $d \mathbb{P}$.

Proof Suppose there exists $K_t(\omega) \in \mathscr{L}(X)$, perhaps different from $H_t(\omega)$, such that
$Y_t(\omega)=y+\int_0^t K_s(\omega) d X_s(\omega)$
Then, $Z_t(\omega)=\int_0^t\left(H_s(\omega)-K_s(\omega)\right) d X_s(\omega)=0$ for all $t \geq 0$.
Fix $\omega$. Now, using Theorem 1,
$$
[Z, Z]_t(\omega)=\int_0^t\left(H_s(\omega)-K_s(\omega)\right)^2 d[X, X]_s(\omega)=0
$$
for all $t \geq 0$. Since $[X, X]_s(\omega)$ is an non-decreasing process, this implies $\left(H_t(\omega)-K_t(\omega)\right)^2=0$ for almost all $t \geq 0, d[X, X]_t(\omega)$. This is true a.e. $\mathbb{P}$. This completes the proof.

统计代写|鞅论代写Martingale Theory代考|ORIE6640 Quadratic Variation

鞅论代写

统计代写|鞅论代写Martingale Theory 代考|Quadratic Variation


昰义 19 (二咨变分和二次协变) 让 $X, Y$ 是半靳。
的二次变分 $X$ 表示 $[X, X] t$ 昰丽
$$
[X, X]t=X_t^2-2 \int_0^t X s-d X_s $$ 为了 $t \geq 0$. 的二次协变 $X, Y$ 表示 $[X, Y] t$ 定义为 $$ [X, Y]_t=X_t Y_t-\int_0^t X s-d Y_s-\int_0^t Y{s-} d X_s
$$
为了 $t \geq 0$ 其中 $\$ \mathrm{X}{-}{\mathrm{s}-}=\backslash \lim {\uparrow \backslash$ rightarrow $\mathrm{s}, \uparrow{\mathrm{s}-}=\backslash \lim {\dagger \backslash$ rightarrow $\mathrm{s}, \uparrow{0-}=\mathrm{Y}$ ${0-}=0$ – Remark8 (Decomposition)Itcanbeshownthat forageneralsemimartingale,
$[X, X] t=\left[X^c, X^c\right]t+\sum 0 \leq s \leq t\left(\Delta X_s\right)^2=[X, X] t^c+\sum 0 \leq s \leq t\left(\Delta X_s\right)^2$ fort $\backslash$ geq 0 where $Y^{\wedge} \mathrm{c}$ denotesthecontinuouspartofthestochasticproces $s$ 是 (seeMedvegyev $[143, p .245]$ ), $\backslash$ Delta $\mathrm{X}{-} \mathrm{t}=\mathrm{X}{-} \mathrm{t}{ }^{\mathrm{X}} \mathrm{X}{-}{\mathrm{t}-}$, and $\backslash$ Delta $\mathrm{X}{-} 0=\mathrm{X}{-} 0^{\wedge} 2$. Notethat
$\backslash$ Delta $\mathrm{X}(\uparrow)$ hasonlyacountablenumberofnonzerovaluesover $[0, \uparrow] \$$ (参见 Medvegyev $[143$,
p.5]), 所以总和是明确定义的。这完成了评论。


统计代写|鞅论代写Martingale Theory 代考|Uniqueness of the Stochastic Integral Representation


对于衍生品估值和对冲, 重要的是要知道随机积分的被积函数何时是唯一的。本节列出了在这方面有用的结
引|理 9 (随机积分的被积数的唯一性) 让 $X$ 是半鞅 $H \in \mathscr{L}(X)$, 然后让
$$
Y_t=y+\int_0^t H_s d X_s
$$
为了 $t \geq 0$ 和 $Y_0=y$. 然后, $H_s(\omega)$ 对几平所有人来说都是独一无二的 $(s, \omega), d[X, X]_t(\omega) \times d \mathbb{P}$.
证明假设存在 $K_t(\omega) \in \mathscr{L}(X)$, 可能不同于 $H_t(\omega)$, 这样
$Y_t(\omega)=y+\int_0^t K_s(\omega) d X_s(\omega)$
然后, $Z_t(\omega)=\int_0^t\left(H_s(\omega)-K_s(\omega)\right) d X_s(\omega)=0$ 对所有人 $t \geq 0$.
使固定 $\omega$. 现在,使用定理 1 ,
$$
[Z, Z]_t(\omega)=\int_0^t\left(H_s(\omega)-K_s(\omega)\right)^2 d[X, X]_s(\omega)=0
$$
对所有人 $t \geq 0$. 自从 $[X, X]_s(\omega)$ 是一个非递减过程, 这意味着 $\left(H_t(\omega)-K_t(\omega)\right)^2=0$ 几平所有 $t \geq 0, d[X, X]_t(\omega)$. 这是真的 aelP. 这样就完成了证明。

统计代写|鞅论代写Martingale Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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