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线性模型Linear Model在统计学中，这一术语根据上下文有不同的使用方式。最常见的是与回归模型有关，该术语通常被认为是线性回归模型的同义词。然而，该术语也被用于时间序列分析，具有不同的含义。在每一种情况下，”线性 “这一称谓都是用来识别一个子类模型的，对于这些模型来说，相关统计理论的复杂性有可能大大降低。
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统计代写|线性模型代写Linear Model代考|THE PENROSE INVERSE
Penrose (1955), in extending the work of Moore (1920), shows that for any matrix $\mathbf{A}$ there is a unique matrix $\mathbf{K}$ which satisfies the following four conditions:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{A K A} &=\mathbf{A} \
\mathbf{K A K} &=\mathbf{K} \
(\mathbf{K A})^{\prime} &=\mathbf{K A} \
(\mathbf{A K})^{\prime} &=\mathbf{A K}
\end{aligned}
$$
We refer to these as Penrose’s conditions and to $\mathbf{K}$ as the (unique) Penrose inverse; more correctly it is the Moore-Penrose inverse. Penrose’s proof of the existence of $\mathbf{K}$ satisfying these conditions is lengthy but instructive. It rests upon two lemmas relating to matrices having real (but not complex) numbers as elements, lemmas that are used repeatedly in what follows.
Lemma 2. $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ implies $\mathbf{X}=\mathbf{0}$.
Lemma 3. $\mathbf{P X}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{Q X}^{\prime} \mathbf{X}$ implies $\mathbf{P X}^{\prime}=\mathbf{Q X}^{\prime}$.
The first of these is true because $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ implies that sums of squares of elements of each row are zero and hence the elements themselves are zero. Lemma 3 is proved by applying Lemma 2 to
$$
\left(\mathbf{P X}^{\prime} \mathbf{X}-\mathbf{Q X} \mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)(\mathbf{P}-\mathbf{Q})^{\prime}=\left(\mathbf{P X}^{\prime}-\mathbf{Q X ^ { \prime }}\right)\left(\mathbf{P X}^{\prime}-\mathbf{Q X}^{\prime}\right)^{\prime}=\mathbf{0} .
$$
Proof of the existence and uniqueness of $\mathbf{K}$ starts by noting that (i) and (iii) imply $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{K}^{\prime}=\mathbf{A}$. Conversely, if $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{K}^{\prime}=\mathbf{A}$ then $\mathbf{K} \mathbf{A}(\mathbf{K} \mathbf{A})^{\prime}=\mathbf{K} \mathbf{A}$, showing that KA is symmetric, namely that (iii) is true; and using this in $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{K}^{\prime}=\mathbf{A}$ leads to (i). Thus (i) and (iii) are true if and only if $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{K}^{\prime}=\mathbf{A}$, equivalent to
$$
\mathbf{K A A}^{\prime}=\mathbf{A}^{\prime} .
$$
Similarly, (ii) and (iv) are true if and only if
$$
\mathbf{K} \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{K}
$$
统计代写|线性模型代写Linear Model代考|OTHER DEFINITIONS
It is clear that the Penrose inverse $\mathbf{K}$ is not easy to compute, especially when A has many columns, because then the application of the Cayley-Hamilton theorem to $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}$ for obtaining $\mathbf{T}$ will be tedious. However, as has already been shown, only the first Penrose condition needs to be satisfied in order to have a matrix useful for solving linear equations. And in pursuing the topic of linear models it is found that this is the only condition really needed. It is for this reason that a generalized inverse of $\mathbf{A}$ has been defined as any matrix $\mathbf{G}$ that satisfies $\mathbf{A G A}=\mathbf{A}$, a definition that is retained throughout this book. Nevertheless, a variety of names are to be found in the literature, both for $\mathbf{G}$ and for other matrices satisfying fewer than all four of the Penrose conditions. A set of descriptive names is given in Table 1.1.
In the notation of Table $1.1 \mathbf{A}^{(g)}=\mathbf{G}$, the generalized inverse already defined and discussed, and $\mathbf{A}^{(p)}=\mathbf{K}$, the Penrose inverse. This has also been called the pseudo inverse and the $p$-inverse by various authors. The suggested definition of a normalized generalized inverse in Table $1.1$ is not universally accepted. As given there, it is used by Urquhart (1968), whereas Goldman and Zelen (1964) call it a “weak” generalized inverse. An example of such a matrix is a left inverse $\mathbf{L}$ such that $\mathbf{L A}=\mathbf{I}$. The description “normalized” has also been used by Rohde (1966) for a matrix satisfying conditions (i), (ii) and (iv). An example of this kind of matrix is the right inverse $\mathbf{R}$ for which $\mathbf{A R}=\mathbf{I}$.
Using the symbols of Table $1.1$ it can be seen that
$$
\mathbf{A}^{(g)} \supset \mathbf{A}^{(r)} \supset \mathbf{A}^{(n)} \supset \mathbf{A}^{(p)},
$$
namely that the set of matrices $\mathbf{A}^{(g)}$ includes all those that are reflexive, $\mathbf{A}^{(r)}$, which in turn includes all the normalized generalized inverses $\mathbf{A}^{(n)}$, which includes the unique $\mathbf{A}^{(p)}=\mathbf{K}$. Relationships between the four can be established as follows:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}^{(r)} &=\mathbf{A}^{(g)} \mathbf{A} \mathbf{A}^{(g)} \
\mathbf{A}^{(n)} &=\mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{A A}^{\prime}\right)^{(g)} \
\mathbf{A}^{(p)} &=\mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{A A}^{\prime}\right)^{(g)} \mathbf{A}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)^{(g)} \mathbf{A}^{\prime} .
\end{aligned}
$$
That these expressions satisfy the appropriate conditions can be proved by repeated use of Lemma 3 of Sec. 3 or by Theorem 7 of Sec. 5 , which follows.
线性模型代写
统计代写|线性模型代写Linear Model代 考|THE PENROSE INVERSE
Penrose (1955) 在扩展 Moore (1920) 的工作时表明，对于任何矩阵 $\mathbf{A}$ 有一个唯一的矩阵 $\mathbf{K}$ 满足以下四个 条件:
$$
\mathbf{A K A}=\mathbf{A} \mathbf{K} \mathbf{A} \mathbf{K} \quad=\mathbf{K}(\mathbf{K} \mathbf{A})^{\prime}=\mathbf{K} \mathbf{A}(\mathbf{A K})^{\prime}=\mathbf{A K}
$$ 在 $\mathbf{K}$ 满足这些条件虽然冗甩但很有指导意义。它依赖于与具有实数 (但不是复数) 作为元素的矩阵相关的两 个引理, 这些引理在下文中重复使用。
弓理 2。 $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 暗示 $\mathbf{X}=\mathbf{0}$.
引理 3。 $\mathbf{P X}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{Q} \mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}_{\text {暗示 }} \mathbf{P} \mathbf{X}^{\prime}=\mathbf{Q} \mathbf{X}^{\prime}$.
其中第一个是正确的，因为 $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 意哇看每行元㭌的平方和为零，因此元㭌本身为零。引理 3 通过将引 理 2 氐用于
$$
\left(\mathbf{P} \mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}-\mathbf{Q} \mathbf{X} \mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)(\mathbf{P}-\mathbf{Q})^{\prime}=\left(\mathbf{P} \mathbf{X}^{\prime}-\mathbf{Q} \mathbf{X}^{\prime}\right)\left(\mathbf{P} \mathbf{X}^{\prime}-\mathbf{Q}^{\prime}\right)^{\prime}=\mathbf{0}
$$
的存在性和唯一性的证明 $\mathbf{K}$ 首先注意到 (i) 和 (iii) 暗示 $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{K}^{\prime}=\mathbf{A}$. 相反, 如果 $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{K}^{\prime}=\mathbf{A}$ 然后 $\mathbf{K} \mathbf{A}(\mathbf{K} \mathbf{A})^{\prime}=\mathbf{K} \mathbf{A}$, 表明 KA 是对称的, 即 (iii) 为直; 并在 $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{K}^{\prime}=\mathbf{A}$ 导致 (i)。因此 (i) 和 (iii) 为 真当且仅当 $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{K}^{\prime}=\mathbf{A}$, 相当于
$$
\mathbf{K} \mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}^{\prime}
$$
类攸地, (ii) 和 (iv) 为直当且仅当
$$
\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{K}
$$
统计代写|线性模型代写Linear Model代 考|OTHER DEFINITIONS
显然, 壴罗斯逆 $\mathbf{K}$ 不容易计算, 特别是当 $A$ 有很多列时, 因为那时 Cayley-Hamilton 昰理的应用 $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}$ 为 了获得T会很味。然而, 正如已经表明的那样, 只需要满跃第一个壴罗斯条件, 就可以得到一个对求解线 性方程有用的矩阵。在追求线性模型的主题时, 发现这是真正需要的唯一条件。正是由于这个原因, 广逆 $\mathbf{A}$ 被昰义为任何矩阵 $\mathbf{G}$ 满足 $\mathbf{A} \mathbf{G} \mathbf{A}=\mathbf{A}$, 贯穿本书的昰义。然而, 在文献中可以找到各种各样的多字, 无论是 $\mathbf{G}$ 对于满足少于所有四个壴罗斯条件的其他矩阵。一组描述性名称在表 $1.1$ 中给出。 使用，而 Goldman 和 Zelen (1964) 将其称为“弱”广义逆。这种矩阵的一个例子是左逆 $\mathbf{L}$ 这样 $\mathbf{L} \mathbf{A}=\mathbf{I}$. Rohde (1966) 也将“归一化”描述用于满足条件 (i)、(ii) 和 (iv) 的矩阵。这种矩阵的一个例子是右逆 $\mathbf{R}$ 为此 $\mathbf{A R}=\mathbf{I}$
使用表中的符号1.1可以看出
$$
\mathbf{A}^{(g)} \supset \mathbf{A}^{(r)} \supset \mathbf{A}^{(n)} \supset \mathbf{A}^{(p)}
$$
即矩阵集 $\mathbf{A}^{(g)}$ 包括所有自反的, $\mathbf{A}^{(r)}$, 这又包括所有归一化的广义逆 $\mathbf{A}^{(n)}$, 其中包括独特的 $\mathbf{A}^{(p)}=\mathbf{K}$. 这四者之间的关系可以建立如下:
$$
\mathbf{A}^{(r)}=\mathbf{A}^{(g)} \mathbf{A} \mathbf{A}^{(g)} \mathbf{A}^{(n)} \quad=\mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}\right)^{(g)} \mathbf{A}^{(p)}=\mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}\right)^{(g)} \mathbf{A}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)^{(g)} \mathbf{A}^{\prime}
$$
这些表达式满足适当的条件可以通过重复使用 Sec. 的引理 3 来证明。3或由秒的定理7。5, 如下。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。