物理代写|凝聚态物理代写Condensed Matter Physics代考|PHYS10099 Free electron model

如果你也在 怎样代写凝聚态物理Condensed Matter Physics PHYS10099这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。凝聚态物理Condensed Matter Physics(可供研究的系统和现象的多样性使凝聚态物理学成为当代物理学中最活跃的领域:三分之一的美国物理学家自认为是凝聚态物理学家,凝聚态物理学部是美国物理学会最大的部门。该领域与化学、材料科学、工程和纳米技术相重叠,并与原子物理学和生物物理学密切相关。凝聚态理论物理学与粒子物理学和核物理学有着共同的重要概念和方法。

凝聚态物理Condensed Matter Physics是处理物质的宏观和微观物理特性的物理学领域,特别是由原子之间的电磁力产生的固体和液体相。更广泛地说,该学科涉及物质的 “凝聚 “阶段:由许多成分组成的系统,它们之间有很强的相互作用。更奇特的凝聚相包括某些材料在低温下表现出的超导相,原子晶格上的铁磁和反铁磁相,以及在超冷原子系统中发现的玻色-爱因斯坦凝聚物。凝聚态物理学家通过实验测量各种材料特性,并应用量子力学、电磁学、统计力学和其他理论的物理定律建立数学模型,试图了解这些相的行为。

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物理代写|凝聚态物理代写Condensed Matter Physics代考|PHYS10099 Free electron model

物理代写|凝聚态物理代写Condensed Matter Physics代考|Free electron model

We first consider the one-electron Schrödinger equation
$$
\left[\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}+V(\mathbf{r})\right] \Psi=E \Psi,
$$
with $V(\mathbf{r})=V(\mathbf{r}+\mathbf{R})$, and explore the case where $V(\mathbf{r})$ is much less than the kinetic energy $p^{2} / 2 m$. The translational boundary conditions on the electronic wavefunction are enforced; that is, we still have Bloch waves, but beyond this, it is assumed that the potential has only a slight effect on the electrons.

Let us begin by examining electrons in a one-dimensional box of length $L$, and as a first approximation to a weak potential, we set $V(x)=0$. This is the free electron model or free electron gas. The Schrödinger equation is
$$
\frac{p^{2}}{2 m} \Psi_{k}^{0}=E_{0}(k) \Psi_{k}^{0},
$$
and its solution is straightforward, consisting of planewaves $\Psi_{k}^{0}$ and energy $E_{0}(k)$ for a given $k$, where
$$
\Psi_{k}^{0}=\frac{1}{\sqrt{L}} e^{i k x}
$$
and
$$
E_{0}(k)=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}
$$

物理代写|凝聚态物理代写Condensed Matter Physics代考|Symmetries and energy bands

We begin by discussing some general features of symmetry that are applicable in one, two, or three dimensions, and then focus on a few features of one-dimensional energy bands. Translational symmetry led to Bloch functions and Bloch’s theorem. If the Bloch form is assumed for the wavefunction (Eq. (2.23)) and inserted into the one-electron Hamiltonian (Eq. (2.22)), we arrive at the equation for the $u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ part of the Bloch wavefunction
$$
\left[\frac{1}{2 m}\left(\mathbf{p}^{2}+2 \hbar \mathbf{k} \cdot \mathbf{p}+\hbar^{2} \mathbf{k}^{2}\right)+V(\mathbf{r})\right] u_{n, \mathbf{k}}(\mathbf{r})=E_{n}(\mathbf{k}) u_{n, \mathbf{k}}(\mathbf{r}) .
$$
Since this is an eigenvalue problem with periodic boundary conditions, the eigenvalues take on discrete values labeled by $n$. Once the above equation is solved, the band structure $E_{n}(\mathbf{k})$, giving the electronic energy for each state labeled by the band index $n$ and wavevector $\mathbf{k}$, is obtained. The full Bloch wavefunction $\Psi_{n \mathbf{k}}$ can be constructed using the periodic part obtained from the solution of Eq. (3.8) using Eq. (2.23). The label $n$ is the band index described earlier.

A lattice can have other symmetries in addition to periodic translations. For example, it can be invariant to rotations through a specific angle. The group of rotations, reflections, and combinations of the two is called the point group. These are the symmetries obtained by keeping one point fixed, and like periodic translational symmetries, the point group symmetries can be exploited. (The point group operations together with translation symmetry operations form the space group of the crystal. For some crystals, there are also operations that involve point group operations plus a translation that is not a translation vector, leaving the system invariant. These are called nonsymmorphic operations.) In particular, it can be shown that the energy bands given by $E_{n}(\mathbf{k})$ have the same symmetry as the crystal. To describe what this implies, consider the operator $\theta$, which can be a rotation such that
$$
\mathbf{r}^{\prime}=\theta \mathbf{r} .
$$
In order to show that
$$
E_{n}(\mathbf{k})=E_{n}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right),
$$
where $\mathbf{k}^{\prime}=\theta \mathbf{k}$, we apply $\theta$ to the wave equation for $u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ (Eq. (3.8)). Since scalar products are invariant under rotation,
$$
\mathbf{p}^{\prime 2}=(\theta \mathbf{p} \cdot \theta \mathbf{p})=\mathbf{p}^{2}, \quad \mathbf{k}^{\prime 2}=\mathbf{k}^{2}, \quad \mathbf{k} \cdot \mathbf{p}=\mathbf{k}^{\prime} \cdot \mathbf{p}^{\prime}
$$

物理代写|凝聚态物理代写Condensed Matter Physics代考|PHYS10099 Free electron model

凝聚态物理代写

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我们首先考虑单电子薛定呾方程
$$
\left[\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}+V(\mathbf{r})\right] \Psi=E \Psi
$$
和 $V(\mathbf{r})=V(\mathbf{r}+\mathbf{R})$, 并探诗以情况 $V(\mathbf{r})$ 远小于动能 $p^{2} / 2 m$. 电子波函数的平移边界条件被强制执
行; 也就是说, 我们仍然有布洛赫波, 但除此之外, 假设电位对电子只有轻微的影响。
让我们从检查一维长度䀂子中的电子开始 $L$, 并且作为弱势的第一个近似值, 我们设置 $V(x)=0$. 这是自
由电子模型或自由电子气。薛定谔方程是
$$
\frac{p^{2}}{2 m} \Psi_{k}^{0}=E_{0}(k) \Psi_{k}^{0},
$$
它的解决方䋈很简单, 由平面波组成 $\Psi_{k}^{0}$ 和能量 $E_{0}(k)$ 对于给定的 $k$, 在哪里
$$
\Psi_{k}^{0}=\frac{1}{\sqrt{L}} e^{i k x}
$$

$$
E_{0}(k)=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}
$$


物理代写|凝聚态物理代写Condensed Matter Physics代考|Symmetries and energy bands


$$
\left[\frac{1}{2 m}\left(\mathbf{p}^{2}+2 \hbar \mathbf{k} \cdot \mathbf{p}+\hbar^{2} \mathbf{k}^{2}\right)+V(\mathbf{r})\right] u_{n, \mathbf{k}}(\mathbf{r})=E_{n}(\mathbf{k}) u_{n, \mathbf{k}}(\mathbf{r})
$$
由于这是具有周期性边界条件的特征值问题, 因此特征值采用离散值标记为 $n$. 求解上述方程后, 能带结构
$E_{n}(\mathbf{k})$, 给出由能带索引标记的每个状态的电子能量 $n$ 和波矢 $\mathbf{k}$, 得到。完整的布洛赫波函数 $\Psi_{n \mathbf{l}}$ 可以使用
从方程的解获得的周期部分来松造。(3.8) 使用方程式。(2.23)。标签 $n$ 是前面描述的波段索引。
除了周期性平移之外, 晶格还可以具有其他对称性。例如, 通过特定角度的旋转可以是不变的。旋转,反射
和两者组合的组称为点组。这些是通过保持一个点固昰而获得的对称性, 并且与周期性平移对称性一样, 可
由下式给岧 转, 使得
$\mathbf{r}^{\prime}=\theta \mathbf{r}$
为了表明
$E_{n}(\mathbf{k})=E_{n}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)$
在哪里 $\mathbf{k}^{\prime}=\theta \mathbf{k}$, 我们申请 $\theta$ 波动方程为 $u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ (方程 (3.8))。由于标量积在旋转下是不变的,
$$
\mathbf{p}^{\prime 2}=(\theta \mathbf{p} \cdot \theta \mathbf{p})=\mathbf{p}^{2}, \quad \mathbf{k}^{\prime 2}=\mathbf{k}^{2}, \quad \mathbf{k} \cdot \mathbf{p}=\mathbf{k}^{\prime} \cdot \mathbf{p}^{\prime}
$$

物理代写|凝聚态物理代写Condensed Matter Physics代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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