物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|FY828 Canonical Ensemble

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统计物理Statistical Physics of Matter解释并定量描述了超导性、超流性、湍流、固体和等离子体的集体现象以及液体的结构特征。它是现代天体物理学的基础。在固态物理学中,统计物理学有助于液晶、相变和临界现象的研究。许多物质的实验研究完全基于系统的统计描述。其中包括冷中子、X射线、可见光等的散射。统计物理学在材料科学、核物理学、天体物理学、化学、生物学和医学(如研究传染病的传播)中也发挥了作用。

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物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|FY828 Canonical Ensemble

物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Canonical Ensemble

Microcanonical ensembles are difficult to realize experimentally because every energy exchange with the environment has to be suppressed. It is more common to deal with systems exhibiting a fixed temperature $T$ such as experiments at room temperature. The corresponding ensemble is called canonical ensemble (see Figure 3.4).

At a given temperature $T$, the probability for a system to be in a certain configuration $X$ with energy $E(X)$ is
$$
\rho(X)=\frac{1}{Z_{T}} \exp \left[-\frac{E(X)}{k_{B} T}\right],
$$
with the corresponding canonical partition function
$$
Z_{T}=\sum_{X} \exp \left[-\frac{E(X)}{k_{B} T}\right] .
$$
According to eq. (3.10), the ensemble average of a quantity $Q$ in the canonical ensemble is
$$
\langle Q\rangle=\frac{1}{Z_{T}} \sum_{X} Q(X) e^{-\frac{E Q X^{2}}{k_{B}}} .
$$

parameter to go from a disordered phase (“high temperature”) to an ordered phase (“low temperature”). The transition occurs at a temperature $T_{c}$. Based on a more historical classification of Paul Ehrenfest, we say that a phase transition is of $n$th order if $[108]$
$$
\left.\left(\frac{\partial^{m} F}{\partial T^{m}}\right){V}\right|{T=T_{c^{+}}}=\left.\left(\frac{\partial^{m} F}{\partial T^{m}}\right){V}\right|{T=T_{c^{-}}}
$$
and
$$
\left.\left(\frac{\partial^{m} F}{\partial V^{m}}\right)\right|{T=T{c^{+}}}=\left.\left(\frac{\partial^{m} F}{\partial V^{m}}\right)\right|{T=T{c^{-}}},
$$
for $m \leq n-1$, and otherwise
$$
\left.\left(\frac{\partial^{n} F}{\partial T^{n}}\right){V}\right|{T=T_{c^{+}}} \neq\left.\left(\frac{\partial^{n} F}{\partial T^{n}}\right){V}\right|{T=T_{c^{-}}}
$$
and
$$
\left.\left(\frac{\partial^{n} F}{\partial V^{n}}\right)\right|{T=T{c^{+}}} \neq\left.\left(\frac{\partial^{n} F}{\partial V^{n}}\right)\right|{T=T{c^{-}}} .
$$
We defined a phase transition of $n$th order based on the Helmholtz free energy $F$ (constant volume and temperature ensemble) because we will also use this potential in our discussion of magnetic systems in Section 3.2. For systems at constant pressure and temperature, it may be useful to use the Gibbs free energy $G$ for which Eqs. (3.16)(3.19) can be used as well to define a phase transition of $n$th order. We again note that the Ehrenfest classification is a more historical one. The majority of phase transitions are of first and second order and modern classifications mainly distinguish between these two cases. Second-order phase transitions with $n>1$ are also called critical points.

For other systems whose interactions are not defined by a Hamiltonian, it is possible to classify phase transitions according to the behavior of the order parameter [109]. If the order parameter goes continuously to zero at $T_{c}$, the phase transition is of second (or higher) order. For discontinuous changes of the order parameter, the phase transition is said to be of first order.

物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Ising Model

Because of its historical relevance for the study of phase transitions in statistical physics and its broad applicability in many other fields, we now apply the outlined terminology from Section $3.1$ to the Ising model. Wilhelm Lenz proposed this model to his doctoral student Ernst Ising (see Figure 3.5) to describe systems that are composed of magnetic dipole moments. Each dipole moment can be in one of two states $(+1$ or $-1)$. The original goal was to model phase transitions in magnetic materials. As part of his doctoral thesis in 1924, Ernst Ising showed that the one-dimensional model exhibits no phase transition. For that reason, it was expected that this model was of no particular use. Then in 1944, Lars Onsager (see Figure 15.4) derived the partition function of the two-dimensional Ising model without magnetic field, finding a critical point at a finite temperature $T_{c}$ [111] and later in 1949 published an equation to describe the temperature dependence of the magnetization. Onsager provided no proof for his formula, but it is known that he derived it using Toeplitz determinants [112]. A few years passed until a proof was established by Yang in 1952 [113]. Since then, the Ising model has been successfully applied to a large number of physical and nonphysical problems such as magnetic systems, binary mixtures, and models of opinion formation. Also when compared with experimental data, the Ising model has been found to generally agree very well with observations made for certain magnetic materials [114]. To date, no general analytical solution for the Ising model in three dimensions is known. This is the reason why this mathematical model has been studied so intensively from a numerical perspective [115-119], using tools from statistical physics-some of which we describe in this section.

We start our discussion of the properties of the Ising model by considering a twodimensional lattice with sites being in binary states $\sigma_{i} \in{1,-1}$ that only interact with their nearest neighbors (see Figure 3.6). This restriction can be relaxed by letting the sites also interact with the next-nearest neighbors and other extended neighborhoods. The interaction of spins is described by the Hamiltonian
$$
\mathcal{H}({\sigma})=-J \sum_{\langle i, j\rangle} \sigma_{i} \sigma_{j}-H \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i},
$$
where the first term denotes the interaction between all nearest neighbors (represented by a sum over $\langle i, j\rangle)$, and the second term accounts for the interaction of each site with an external magnetic field $H$, favoring the $\sigma_{i}=+1$ state if $H>0$. In the ferromagnetic case $(J>0)$, the energy is lowered by an amount of $-J$ if two spins are parallel, whereas the energy is increased by an amount of $+J$ if two spins are antiparallel. For $H=0$, there exist two ground states at $T=0$, namely, all spins up or all spins down. If $J<0$, the system is called antiferromagnetic, because antiparallel spins lead to an energy minimization. No interaction occurs for $J=0$. In the case of a ferromagnetic Ising system, the first term in eq. (3.20) tries to create order by minimizing the overall energy as a consequence of aligning spins in the same direction. The second term tends to align the spins in the direction of the external field $H$. While the energy is lower in an ordered state, thermal fluctuations tend to destroy the order by flipping single spins.

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统计物理代写

物理代写|统计物理代写 Statistical Physics of Matter代 考|Canonical Ensemble

微正则系综很难通过实验实现, 因为与环境的每一次能量交换都必须被抑制。处理具有 固定温度的系统更为常见 $T$ 比如室温下的实验。相应的集成称为规范集成(见图 3.4)。
在给定温度下 $T$, 系统处于特昰配置的概率 $X$ 充满活力 $E(X)$ 是
$$
\rho(X)=\frac{1}{Z_{T}} \exp \left[-\frac{E(X)}{k_{B} T}\right]
$$
具有相应的规范分区函数
$$
Z_{T}=\sum_{X} \exp \left[-\frac{E(X)}{k_{B} T}\right]
$$
根据等式。(3.10), 一个数量的整体平均 $Q$ 在规范合奏中是
$$
\langle Q\rangle=\frac{1}{Z_{T}} \sum_{X} Q(X) e^{-\frac{E Q X^{2}}{k_{B}}} .
$$
从无序相 (“高温”) 到有序相 (“低温”) 的参数。转变发生在某个温度 $T_{c}$. 根据 Paul Ehrenfest 的更历史分类, 我们说相变是 $n$ 如果 $[108]$
$$
\left(\frac{\partial^{m} F}{\partial T^{m}}\right) V\left|T=T_{c^{+}}=\left(\frac{\partial^{m} F}{\partial T^{m}}\right) V\right| T=T_{c^{-}}
$$

$$
\left(\frac{\partial^{m} F}{\partial V^{m}}\right)\left|T=T c^{+}=\left(\frac{\partial^{m} F}{\partial V^{m}}\right)\right| T=T c^{-},
$$
为了 $m \leq n-1$, 否则
$$
\left(\frac{\partial^{n} F}{\partial T^{n}}\right) V\left|T=T_{c^{+}} \neq\left(\frac{\partial^{n} F}{\partial T^{n}}\right) V\right| T=T_{c^{-}}
$$

$$
\left(\frac{\partial^{n} F}{\partial V^{n}}\right)\left|T=T c^{+} \neq\left(\frac{\partial^{n} F}{\partial V^{n}}\right)\right| T=T c^{-} .
$$
我们定义了一个相变 $n$ 基于亥姆霍兹自由能的三阶 $F$ (恒定体积和温度系综), 因为我 们还将在 $3.2$ 节讨论磁系统时使用这种势。对于处于恒定压力和温度的系统, 使用吉布 斯自由能可能很有用 $G$ 对于哪个方程。(3.16)(3.19) 也可以用来定义相变 $n$ 订单。我们再 次注意到 Ehrenfest 分类是一个更具历史意义的分类。大多数相变是一阶和二阶的, 现 代分类主要区分这两种情况。二阶相变与 $n>1$ 称为临界点。
对于其他相互作用末由哈密顿量定义的系统, 可以根据阶参数的行为对相变进行分类 [109]。如果 order 参数在 $T_{c}$, 相变是二阶(或更高阶)。对于阶参数的不连续变化, 相变称为一阶。

物理代写|统计物理代写 Statistical Physics of Matter代 考|Ising Model

由于它与统计物理学中相变研究的历史相关性及其在许多其他领域的广泛适用性, 我们 现在应用第 1 节中概述的术语3.1到伊辛模型。Wilhelm Lenz 向他的博士生 Ernst Ising(见图 3.5) 提出了这个模型来描述由磁偶极矩组成的系统。每个偶极矩可以处于 两种状态之一 $(+1$ 或者 -1). 最初的目标是模拟硑性材料的相变。作为 1924 年博士论文 的一部分, 恩斯特伊辛 (Ernst Ising) 表明, 一维模型没有表现出相变。因此, 预计该 模型没有特别的用途。然后在 1944 年, Lars Onsager(见图 15.4)导出了没有硑场 的二维伊辛模型的配分函数, 在有限温度下找到了一个临界点 $T_{c}[111]$ 后来在 1949 年 发表了一个方程来描述磁化的温度依赖性。Onsager 没有为他的公式提供任何证据, 但 众所周知, 他是使用 Toeplitz 行列式推导出来的 [112]。几年过去了, 直到杨在 1952 年建立了一个证明 [113]。从那时起, 伊辛模型成功地应用于大量物理和非物理问题, 例 如磁糸统、二元混合和意见形成模型。此外, 与实验数据相比, 伊辛模型通常与对某些 磁性材料的观察结果非常吻合[114]。迄今为止, 尚无关于 Ising 模型在三个维度上的一 般解析解。这就是为什么从数值的角度对这个数学模型进行如此深入研究的原因 [115119],
我们通过考虑位点处于二元状态的二维晶格来开始讨论 Ising 模型的性质 $\sigma_{i} \in 1,-1$ 只 与最近的邻居交互 (见图 3.6)。可以通过让站点还与最近的邻居和其他扩展社区进行 交互来放宽这种限制。自旋的相互作用由哈密顿量描述
$$
\mathcal{H}(\sigma)=-J \sum_{\langle i, j\rangle} \sigma_{i} \sigma_{j}-H \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i},
$$
其中第一项表示所有最近邻居之间的交互 (用总和表示 $\langle i, j\rangle$ ), 第二项说明每个站点与 外部磁场的相互作用 $H$, 有利于 $\sigma_{i}=+1$ 陈述如果 $H>0$. 在铁磁情况下 $(J>0)$, 能 量降低了 $-J$ 㛎果两个自旋是平行的, 而能量增加了 $+J$ 㛎果两个自旋是反平行的。为了 $H=0$, 存在两个基态 $T=0$, 即全部向上旋转或全部向下旋转。如果 $J<0$, 该系统 被称为反铁磁, 因为反平行自旋导致能量最小化。没有交互发生 $J=0$. 在铁磁伊辛系 统的情况下, 等式中的第一项。(3.20) 试图通过最小化整体能量来创建秩序, 这是将 自旋对齐在同一方向的结果。第二项倾向于使自旋沿外场方向排列 $H$. 虽然有序状态下 的能量较低, 但热波动往往会通过翻转单个自旋来破坏有序。

物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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