数学代写|数论代写Number Theory代考|Math1030 Mersenne Primes

如果你也在 怎样代写数论Number theory Math1030这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory的旧称是算术。到二十世纪初,它已被 “数论 “所取代。(”算术 “一词被公众用来指 “基本计算”;它在数理逻辑中也获得了其他含义,如Peano算术和计算机科学,如浮点算术。) 在20世纪下半叶,数论的使用重新获得了一些地位,可以说部分是由于法国的影响。特别是,作为一个形容词,arithmetical通常比数论的更受欢迎。

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Our earlier discussions on pseudoprime[refer to chapter-5] based on Fermat’s Little theorem, where for any composite integer $n, 2^{n}-1$ is a pseudoprime. Any number of the form $2^{n}-1$ is known to be $n$-th Mersenne number, after French Mathematician Father Marin Mersenne. Now, the present section deals with seeking some prime numbers of that form. From previous section, we have seen that for any positive integer $n$, if $2^{n}-1$ is prime then $n$ must be prime. But in general the converse of the last statement is not true, which gives birth to the notion of Mersenne prime i.e. for any prime $p$, if the integer $2^{p}-1$ is also prime then it is said to be Mersenne prime. Using the results on Mersenne Prime, we will discuss various methods of primality testing.

Mersenne primes are used in the Mersenne twister PRNG (pseudo-random number generator), these are used extensively in simulations, Montecarlo methods, etc. The CWC mode for block ciphers can uses $M_{127}$ as a prime number because $x\left(\bmod 2^{127}-1\right)$ is very easy to compute.

Definition 10.4.1. If $p$ is a prime and $M_{p}=2^{p}-1$ is also so, then $M_{p}$ is called Mersenne prime.

Example 10.4.1. The Mersenne number $M_{7}=2^{7}-1$ is prime but the Mersenne number $M_{11}=2^{11}-1=2047=23 \times 89$ is not so. Here $M_{7}$ is Mersenne prime but $M_{11}$ is not.

Here in the above example we have seen that $M_{7}$ is prime but $M_{11}$ is composite. Thus the formula that $2^{p}-1$ is prime for any prime $p$ fails to be true in general. So the hope for constructing prime numbers using this formula goes in vain. Now our next discussions focusses on constructing various methods for determining whether this special types of Mersenne numbers are prime or not. In next theorem, we have presented one particular type of test based on that.

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Problem 10.5.1. Any two distinct Mersenne numbers are coprime.
Solution 10.5.1. Let $p, q$ be two distinct primes where $q>p$. Note that $\operatorname{gcd}(p, q)=1$. It can also be obtained by Euclid’s algorithm. Then for any integer $k$ we have
$$
\begin{aligned}
q &=k p+r_{1}, \
p &=k_{1} r_{1}+r_{2}, \
r_{1} &=k_{2} r_{2}+r_{3}, \
& \because: \
r_{n-2} &=r_{n-1} k_{n-1}+r_{n}, \
&=r_{n-1} k_{n-1}+1 .
\end{aligned}
$$
Let $l$ be the common divisor of $M_{p}=2^{p}-1$ and $M_{q}=2^{q}-1$. Then we have,
$$
\begin{aligned}
\therefore & l \mid\left[\left(2^{q}-1\right)-2^{q-p}\left(2^{p}-1\right)\right], \
\Rightarrow & l \mid\left(2^{q-p}-1\right), \
\Rightarrow l \mid\left[\left(2^{q-p}-1\right)-2^{q-2 p}\left(2^{p}-1\right)\right], \
\Rightarrow & l \mid\left(2^{q-2 p}-1\right), \
& \because: \
\Rightarrow & l \mid\left(2^{q-k p}-1\right), \
\Rightarrow & l \mid\left(2^{r_{1}}-1\right), \
& \because: \
\Rightarrow & l \mid\left(2^{r_{n}}-1\right), \
\Rightarrow & l=1 . \therefore \operatorname{gcd}\left(M_{p}, M_{q}\right)=1 .
\end{aligned}
$$

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数论代写

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我们之前基于费马小定理对㕍素的讨论 [参考第 5 章], 其中对于任何复合整数 $n, 2^{n}-1$ 是一个伪素数。任 意数荲的表格 $2^{n}-1$ 1知是 $n$-th Mersenne 数, 以法国数学家 Marin Mersenne 神父命名。现在, 本节 讨论寻找这种形式的一些素数。从上一节中, 我们已经看到对于任何正整数 $n$, 如果 $2^{n}-1$ 那么是素数 $n$ 応 须是素数。但总的来说, 最后一个陈述的反面是不正确的, 这产生了梅森素数的概念, 即对于任何拳数 $p$, 如 果整数 $2^{p}-1$ 也是素数, 则称其为梅森素数。使用 Mersenne Prime 上的结果, 我们将讨论各种素性检验 方法。

Mersenne primes 用于 Mersenne twister PRNG(伪随机数生成器),它们广泛用于模拟、蓫特卡罗方 法等。分组密码的 CWC 模式可以使用 $M_{127}$ 作为素数,因为 $x\left(\bmod 2^{127}-1\right)$ 很㝘易计算。
昰义 10.4.1。如果 $p$ 是一个素数并且 $M_{p}=2^{p}-1$ 也是如此, 那么 $M_{p}$ 称为梅森素数。
例 10.4.1。梅森数 $M_{7}=2^{7}-1$ 是素数但梅森数 $M_{11}=2^{11}-1=2047=23 \times 89$ 并非如此。这里 $M_{7}$ 是梅森的主要目标 $M_{11}$ 不是。
在上面的例子中, 我们已经看到 $M_{7}$ 是素数但是 $M_{11}$ 是复合的。因此公式 $2^{p}-1$ 是任何素数的素数 $p$ 一般不 属实。所以用这个公式构造素数的希望落空了。现在我们接下来的讨论集中在构建各种方法来确定这种特殊 类型的梅森数是否为素数。在下一个定理中, 我们提出了一种基于此的特定类型的测试。


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问题 10.5.1。任意两个不同的梅森数县质。
解决方案 10.5.1。让 $p, q$ 是两个不同的素数, 其中 $q>p$. 注意 $\operatorname{gcd}(p, q)=1$. 也可以通过欧几里得算法得 到。那么对于任何整数 $k$ 我们有
$q=k p+r_{1}, p \quad=k_{1} r_{1}+r_{2}, r_{1}=k_{2} r_{2}+r_{3}, \quad \because r_{n-2}=r_{n-1} k_{n-1}+r_{n}, \quad=r_{n-1} k_{n-2}^{\Theta}$
让 $l$ 成为的公约数 $M_{p}=2^{p}-1$ 和 $M_{q}=2^{q}-1$. 然后我们有,
$$
\therefore l\left|\left[\left(2^{q}-1\right)-2^{q-p}\left(2^{p}-1\right)\right], \Rightarrow \quad l\right|\left(2^{q-p}-1\right), \Rightarrow l \mid\left[\left(2^{q-p}-1\right)-2^{q-2 p}\left(2^{p}-1\right)\right], \Rightarrow
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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