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数学分析Mathematical Analysis MTH131LR这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。
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数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Product Topology: The Finite Case
In section $4.4$, we defined the product of finitely many metric spaces. In this section, we develop a construction that generalizes the concept to the case of topological spaces. Thus we define a topology on the Cartesian product of a finite number of topological spaces. Needless to say, the product topology should agree with and extend the definition of the product metric.
Let $\left(X_{1}, \mathcal{T}{1}\right), \ldots,\left(X{n}, \mathcal{T}{n}\right)$ be topological spaces, and consider the Cartesian product $X=\prod{i=1}^{n} X_{i}$ of the underlying sets. Consider the following collection of subsets of $X$ :
$$
\mathfrak{\Im}=\cup_{i=1}^{n}\left{X_{1} \times \ldots \times U_{i} \times \ldots \times X_{n}: U_{i} \in \mathcal{T}_{i}\right} .
$$
Since $\cup{S: S \in \mathbb{S}}=X$, theorem 5.2.3 applies; hence the following definition is meaningful:
Definition. In the notation of the above paragraph, the product topology on $X$ is the weakest topology that contains $\mathfrak{S}$.
By construction, $\mathbb{S}$ is a subbase for the product topology (theorem 5.2.3). An open base for the product topology on $X$ consists of intersections of finitely many members of $\mathfrak{\Im}$. Since $\bigcap_{i=1}^{n}\left(X_{1} \times \ldots \times U_{i} \times \ldots \times X_{n}\right)=U_{1} \times \ldots \times U_{n}$, an open base for the product topology is the collection
$$
\mathfrak{B}=\left{U_{1} \times \ldots \times U_{n}: U_{i} \in \mathcal{T}_{i}\right}
$$
The set $\mathfrak{S}$ is referred to as the defining subbase for the product topology and the set $\mathfrak{B}$ is called the defining base for the product topology.
The following theorem establishes a property of the product topology that actually characterizes that topology and is frequently used as an alternative, equivalent definition of the product topology. Recall that $\pi_{i}$ denotes the projection of the product space $X$ onto the factor space $X_{i}: \pi_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=x_{i}$.
数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Connected Spaces
Intuitively speaking, a disconnected space comes in two pieces. One might be tempted to define a disconnected space as the union $\left(X_{1} \cup X_{2}, \mathcal{T}{1} \cup \mathcal{T}{2}\right)$ of two topological spaces $\left(X_{1}, \mathcal{T}{1}\right)$ and $\left(X{2}, \mathcal{T}{2}\right)$ where $X{1} \cap X_{2}=\varnothing$. A little reflection reveals that $\mathcal{T}{1} \cup \mathcal{T}{2}$ is not a topology. A topology $\mathcal{T}$ on $X=X_{1} \cup X_{2}$ that contains $\mathcal{T}{1} \cup \mathcal{T}{2}$ must contains $U_{1} \cup U_{2}$ for any two open sets $U_{1} \in \mathcal{T}{1}$ and $U{2} \in \mathcal{T}{2}$. In particular, $X{1} \in \mathcal{T}$ and $X_{2} \in \mathcal{J}_{2}$. Thus $X$ is the union of two open, disjoint proper subsets of $X$. This leads us to the following definition.
Definition. A topological space is said to be connected if it is not the union of two disjoint nonempty open subsets. If $X$ is not connected, we say it is disconnected. Thus $X$ is disconnected if $X=P \cup Q$, where $P$ and $Q$ are open, disjoint, and $P \neq \varnothing \neq Q$. The pair $(P, Q)$ is called a disconnection of $X$. It is clear that $X$ is disconnected if and only if it contains a proper, nonempty subset that is both open and closed.
Example 1. The space $X={0,1}$ with the discrete topology is disconnected because it is the union of the open sets ${0}$ and ${1}$. We will refer to this space as the discrete space ${0,1}$.
Theorem 5.5.1. A topological space $X$ is disconnected if and only if there exists a continuous function from $X$ onto the discrete space ${0,1}$.
Proof. Let $X$ be disconnected, and let $(P, Q)$ be a disconnection of $X$. The function $\varphi: X \rightarrow{0,1}$ defined by $\varphi(P)=0$, and $\varphi(Q)=1$ is clearly continuous.
Conversely, if $\varphi: X \rightarrow{0,1}$ is a continuous surjection, then $P=\varphi^{-1}(0)$ and $Q=\varphi^{-1}(1)$ is a disconnection of $X$.
Definition. A subset $X$ of $\mathbb{R}$ is an interval if whenever $x, y \in X$ and $x<z<y$, then $z \in X$
数学分析代写
数学代㝍|数学分析作业代㝍MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|The Product Topology: The Finite Case
在部分 $4.4$, 我们定义了有限多个度量空间的乘积。在本节中, 我们开发了一种将概念 推广到拓扑空间情况的构造。因此, 我们在有限数量的拓扑空间的笛卡尔积上定义了一 个拓扑。不用说, 产品拓扑应该与产品度量的定义一致并扩展。
让 $\left(X_{1}, \mathcal{T} 1\right), \ldots,(X n, \mathcal{T} n)$ 是拓扑空间, 并考虑笛卡尔积 $X=\prod i=1^{n} X_{i}$ 的基础 集合。考虑以下子集的集合 $X$ :
$\backslash$ mathfrak ${\backslash I m}=\backslash$ cup_$_{-}{\mathrm{i}=1}^{\wedge}{\mathrm{n}} \backslash$ left $\left{\mathrm{X}{-}{1} \backslash\right.$ times $\backslash$ dots $\backslash$ times $\mathrm{U}{-}{\mathrm{i}} \backslash$ times $\backslash$ ldots $\backslash$ times $X_{-}$
自从 $\cup S: S \in \mathbb{S}=X$, 定理 5.2.3 适用; 因此以下定义是有意义的:
定义。在上一段的符号中, 产品拓扑在 $X$ 是包含的最弱拓扑の.
通过施工, $\mathbb{S}$ 是产品拓扑的子基 (定理 5.2.3) 。产品拓扑的开放基础 $X$ 由有限多个成员
的交集组成 $\mathcal{I}$. 自从 $\bigcap_{i=1}^{n}\left(X_{1} \times \ldots \times U_{i} \times \ldots \times X_{n}\right)=U_{1} \times \ldots \times U_{n}$, 产品拓
扑的开放基是集合
$\backslash$ mathfrak ${B}=\backslash$ left $\left{U_{-}{1} \backslash\right.$ times $\backslash$ dots $\backslash$ times U_{n}: U_{i} \in \mathcal ${\text { T }}_{-}{$i $} \backslash$ right $}$
套装 $\mathfrak{S}$ 被称为产品拓扑和集合的定义子库 $\mathfrak{B}$ 被称为产品拓扑的定义基础。
以下定理建主了产品拓扑的属性, 该属性实际上表征了该拓扑, 并且经常用作产品拓扑
数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|Connected Spaces
直观地说, 一个不连贯的空间分为两部分。人们可能会想将一个不连贯的空间定义为联 合 $\left(X_{1} \cup X_{2}, \mathcal{T} 1 \cup \mathcal{T} 2\right)$ 两个拓扑空间 $\left(X_{1}, \mathcal{T} 1\right)$ 和 $(X 2, \mathcal{T} 2)$ 在哪里 $X 1 \cap X_{2}=\varnothing$. 稍微反思一下就可以看出 $\mathcal{T} 1 \cup \mathcal{T} 2$ 不是拓扑。拓扑 $\mathcal{T}$ 上 $X=X_{1} \cup X_{2}$ 包含 $\mathcal{T} 1 \cup \mathcal{T} 2$ 必须包含 $U_{1} \cup U_{2}$ 对于任何两个开集 $U_{1} \in \mathcal{T} 1$ 和 $U 2 \in \mathcal{T} 2$. 尤其是, $X 1 \in \mathcal{T}$ 和 $X_{2} \in \mathcal{J}_{2}$. 因此 $X$ 是两个开放的、不相交的真子集的并集 $X$. 这导致我们得出以下定
定义。如果拓扑空间不是两个不相交的非空开子集的并集, 则称其为连通空间。如果 $X$ 末连接, 我们说它已断开连接。因此 $X$ 如果断开连接 $X=P \cup Q$, 在哪里 $P$ 和 $Q$ 是开 放的, 不相交的, 并且 $P \neq \varnothing \neq Q$. 这对 $(P, Q)$ 被称为断开连接 $X$. 很清楚 $X$ 当且仅
当它包含一个适当的、非空的子集时, 它才断开连接, 该子集既是开放的又是封闭的。
示例 1 . 空间 $X=0,1$ 离散拓扑是不连通的，因为它是开集的并集 0 和 1 . 我们将㕸个空间 称为离散空间 0,1 .
标为离數宊昞 $0,1 .$
定理 5.5.1。拓扑空间 $X$ 当且仅当存在一个连续函数 $X$ 到离散空间 0,1 .
证明。让 $X$ 断开连接, 并让 $(P, Q)$ 断开连接 $X$. 功能 $\varphi: X \rightarrow 0,1$ 被定义为 $\varphi(P)=0$ , 和 $\varphi(Q)=1$ 显然是连续的。
相反, 如果 $\varphi: X \rightarrow 0,1$ 是一个连续的满射, 那么 $P=\varphi^{-1}(0)$ 和 $Q=\varphi^{-1}(1)$ 是断 开的 $X$.
定义。一个子集 $X$ 的 $\mathbb{R}$ 是一个区间 $x, y \in X$ 和 $x<z<y$, 然后 $z \in X$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。