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拓扑学Topology MA3201拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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In Sec. 23 we defined a locally compact space to be a topological space in which each point has a neighborhood with compact closure. Locally compact spaces often arise in the applications of topology to geometry and analysis, and since those which do are almost always Hausdorff spaces, we restrict our attention in this section to locally compact Hausdorff spaces.

The main fact about such a space is that it can be converted into a compact Hausdorff space by suitably adjoining a single point. The reader is perhaps familiar from analysis with the prototype of this process, in which the complex plane $C$ is enlarged by adjoining to it an “ideal point” called the point at infinity and denoted by $\infty$. This ideal point can be thought of as any object not in $C$, and we denote by $C_{\infty}$ the larger set $C \cup{\infty} . C_{\infty}$ is called the $e x-$ tended complex plane when the neighborhoods of $\infty$ (other than $C_{\infty}$ itself) are taken to be the complements in $C_{\infty}$ of the closed and bounded subsets (i.e., the compact subspaces) of $C$. These ideas add nothing to our understanding of the complex plane, but they do clarify many proofs and simplify the statements of many theorems, and they are valuable for this reason. Figure 27 gives an easy way of visualizing the extended complex plane. In this figure, the surface $S$ of a sphere of radius $1 / 2$ is rested tangentially on $C$ at the origin. It is customary to call the point of contact the south pole and the opposite point the north pole. The indicated projection from the north pole establishes a homeomorphism between $S$ minus its north pole and $C$, so from the topological point of view, $S$ minus its north pole can be regarded as essentially identical with the complex plane $C$. The north pole of $S$ can be considered to be the point at infinity, and passing from $C$ to $C_{\infty}$ amounts to using the point $\infty$ to plug up the hole in $C$ at the north pole. When $S$ is identified in this manner with the extended complex plane, it is usually called the Riemann sphere. In summary, the locally compact Hausdorff space $C$ has been made into the compact Hausdorff space $S$ by adding the single point $\infty$.

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Let $X$ be a locally compact Hausdorff space. Our present purpose is to generalize the theorems of Sec. 36 to this context.

A real or complex function $f$ defined on $X$ is said to vanish at infinity if for each $\epsilon>0$ there exists a compact subspace $C$ of $X$ such that $|f(x)|<\epsilon$ for every $x$ outside of $C$. On the real line, for instance, the functions $f$ and $g$ defined by $f(x)=e^{-x^{2}}$ and $g(x)=\left(x^{2}+1\right)^{-1}$ have this property, but the non-zero constant functions do not. It is easy to see that if $X$ is compact, then every real or complex function defined on $X$ vanishes at infinity, so in this case the requirement that a function vanish at infinity is no restriction at all.

We denote by $\mathcal{C}{0}(X, R)$ the set of all continuous real functions defined on $X$ which vanish at infinity. $\mathcal{C}{0}(X, C)$ is defined similarly. If $f$ is a function in one of these sets, then since $|f(x)|<\epsilon$ outside of some compact subspace $C$ of $X$, and $f$ is bounded on $C, f$ is necessarily bounded on all of $X$. It follows from this that $\mathcal{C}{0}(X, R) \subseteq \mathfrak{e}(X, R)$ and $\mathcal{C}{0}(X, C) \subseteq \mathcal{e}(X, C)$. Further, the remark in the preceding paragraph shows that when $X$ is compact we have equality in each case.

Lemma. $\mathcal{C}{0}(X, R)$ and $\mathcal{C}{0}(X, C)$ are closed subalgebras of $\mathcal{C}(X, R)$ and $\mathfrak{e}(X, C)$

PRoor. We first show that $\mathcal{e}{0}(X, R)$ is a closed subset of $\mathfrak{e}(X, R)$. It suffices to show that if $f$ is a function in $\mathfrak{e}(X, R)$ which is in the closure of $\mathfrak{e}{0}(X, R)$, then $f$ vanishes at infinity. Let $\epsilon>0$ be given. Since $f$ is in the closure of $\mathfrak{C}{0}(X, R)$, there exists a function $g$ in $\mathcal{C}{0}(X, R)$ such that $|f-g|<\epsilon / 2$, and this implies that $|f(x)-g(x)|<\epsilon / 2$ for all $x$. The function $g$ vanishes at infinity, so there exists a compact subspace $C$ of $\boldsymbol{X}$ such that $|g(x)|<\epsilon / 2$ for all $x$ outside of $C$. It now follows at once that
$|f(x)|=|[f(x)-g(x)]+g(x)| \leq|f(x)-g(x)|+|g(x)|<\epsilon / 2+\epsilon / 2=\epsilon$
for all $x$ outside of $C$, so $f$ vanishes at infinity. The same argument shows that $\mathfrak{e}_{0}(X, C)$ is a closed subset of $\mathfrak{e}(X, C)$.

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拓扑学代写

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我们将局部䋈致空间定义为拓扑空间, 其中每个点都姷一个紧闭邻域。局部紧致空间经常出现在 拓扑学应用于几何和分析中, 并且由于那些几乎总是豪斯多夫空间, 我们在本节中将注意力限制在局部坚致 豪斯多夫空间上。
关于这样一个空间的主要事实是, 通过适当地邻接一个点, 它可以转换成一个紧凑的豪斯多夫空间。读者或 许从分析中孰悉了这个过程的原型, 其中复平面 $C$ 通过与一个称为无穷远点的“理想点”相邻而扩大, 并表示 $C$ 至 $C_{\infty}$ 相当于使用点 $\infty$ 堵住这个洞 $C$ 在北极。什旦时候S以这种方式与扩展复平面标帜, 球。总之, 局部紧致 Hausdorff 空间 $C$ 已被制成坚淃的豪斯多夫空间 $S$ 通过添加单点 $\infty$.


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让 $X$ 是一个局部䝨的 Hausdorff 空间。我们目前的目的是推广 $\operatorname{Sec}$ 的定理。 36 在这种情况下。 实数或复数函数 $f$ 定义于 $X$ 据说如果对于每个 $\epsilon>0$ 存在紧致子空间 $C$ 的 $X$ 这样 $|f(x)|<\epsilon$ 对于每个 $x$ 在外 面 $C$. 例如, 在实线中, 函数 $f$ 和 $g$ 被定义为 $f(x)=e^{-x^{2}}$ 和 $g(x)=\left(x^{2}+1\right)^{-1}$ 有这个性质, 但非零常数 函数没有。很容易看出, 如果 $X$ 是紧致的, 那么每个实函数或敗函数定义在 $X$ 在无穷远处消失, 所以在这种 責下,函数在无穷远处消失的要求根本没有限制 我们表示 $\mathcal{C} 0(X, R)$ 定义的所有连续实函数的集合 $X$ 在无穷远处消失。 $\mathcal{C} 0(X, C)$ 定义类似。如果 $f$ 是其中 有 $X$. 由此可知 $\mathcal{C} 0(X, R) \subseteq \mathfrak{e}(X, R) \mathfrak{Z}$ 㓐的, 我们在每种情况下都有平等。 引理。 $\mathcal{C} 0(X, R)$ 和 $\mathcal{C} 0(X, C)$ 是的闭子代数 $\mathcal{C}(X, R)$ 和 $(X, C)$ 亲。我们首先证明 $e 0(X, R)$ 是的闭子集 $\mathfrak{e}(X, R)$. 足以证明如果 $f$ 是一个函数 $\mathfrak{e}(X, R)$ 这是在关闭 $\mathrm{c} 0(X, R)$, 然后 $f$ 消失在无穷远。让 $\epsilon>0$ 被给予。自从 $f$ 正在关闭 $C 0(X, R)$, 存在一个函数 $g$ 在 $\mathcal{C} 0(X, R)$ 这样 $|f-g|<\epsilon / 2$, 这意味着 $|f(x)-g(x)|<\epsilon / 2$ 对所有人 $x$. 功能 $g$ 在无穷远处消失, 所以 存在一个紧子空间 $C$ 的 $\boldsymbol{X}$ 这样 $|g(x)|<\epsilon / 2$ 对所有人 $x$ 在外面 $C$. 现在立即得出结论
$|f(x)|=|[f(x)-g(x)]+g(x)| \leq|f(x)-g(x)|+|g(x)|<\epsilon / 2+\epsilon / 2=\epsilon$ 对所有人 $x$ 在外面 $C$, 所以 $f$ 消失在无穷远。同样的论证表明 $\mathfrak{e}_{0}(X, C)$ 是的闭子集 $\mathfrak{e}(X, C)$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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