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金融代写|金融工程代写FINANCIAL ENGINEERING代写|Bounds on Option Prices
First of all, we note the obvious inequalities
$$
C^{\mathrm{E}} \leq C^{\mathrm{A}}, \quad P^{\mathrm{E}} \leq P^{\mathrm{A}}
$$
for European and American options with the same strike price $X$ and expiry time $T$. They hold because an American option gives at least the same rights as the corresponding European option.
Figure $7.3$ shows a scenario of stock prices in which the payoff of a European call is zero at the exercise time $T$, whereas that of an American call will be positive if the option is exercised at an earlier time $t<T$ when the stock price $S(t)$ is higher than $X$. Nevertheless, it does not necessarily follow that the inequalities in (7.7) can be replaced by strict ones; see Section 7.3.2, where it is shown that $C^{\mathrm{E}}=C^{\mathrm{A}}$ for call options on an asset that pays no dividends.
Exercise $7.10$
Prove (7.7) by an arbitrage argument.
It is also obvious that the price of a call or put option has to be non-negative because an option of this kind offers the possibility of a future gain with no liability. Therefore,
$$
C^{\mathrm{E}} \geq 0, \quad P^{\mathrm{E}} \geq 0 .
$$
Similar inequalities are of course valid for the more valuable American options. In fact the prices of options are nearly always strictly positive, except for some very special circumstances, for example, $C^{\mathrm{E}}=0$ for a call option with strike price $X=120$ dollars one day prior to exercise when the underlying stock is trading at $\$ 100$ and daily price movements are limited by stock exchange regulations to $\pm 10 \%$.
In what follows we are going to discuss some further simple bounds for the prices of European and American options. The advantage of such bounds is that they are universal. They are independent of any particular model of stock prices and follow from the No-Arbitrage Principle alone.
金融代写|金融工程代写FINANCIAL ENGINEERING代写|European Options
We shall establish some upper and lower bounds on the prices of European call and put options.
On the one hand, observe that
$$
C^{\mathrm{E}}0$. This proves that $C^{\mathrm{E}}<S(0)$. On the other hand, we have the lower bound
$$
S(0)-X \mathrm{e}^{-r T} \leq C^{\mathrm{E}},
$$
which follows immediately by put-call parity, since $P^{\mathrm{E}} \geq 0$. Moreover, put-call parity implies that
$$
P^{\mathrm{E}}<X \mathrm{e}^{-r T},
$$
since $C^{\mathrm{E}}<S(0)$, and
$$
-S(0)+X \mathrm{e}^{-r T} \leq P^{\mathrm{E}}
$$
since $C^{\mathrm{E}} \geq 0$.
These results are summarised in the following proposition and illustrated in Figure 7.4. The shaded areas correspond to option prices that satisfy the bounds.
金融工程代写
金融代写|金融工程代写FINANCIAL ENGINEERING代写|Bounds on Option Prices
首先, 我们注意到明显的不平等
$$
C^{\mathrm{E}} \leq C^{\mathrm{A}}, \quad P^{\mathrm{E}} \leq P^{\mathrm{A}}
$$
相同执行价格的欧式和美式期权 $X$ 和到期时间 $T$. 他们之所以持有, 是因为美式期㪔至少与相应的欧式期权 具有相同的权利。
数字 $7.3$ 显示了股票价格情景, 其中欧式看筱期权的收益在行权时为零 $T$, 而美式看涨期权如果在较早的时 间行使, 则为正 $t<T$ 当股价 $S(t)$ 高于 $X$. 然而, 并不一定竟味着 (7.7) 中的不等式可以用严格的不等式代 替; 见第 7.3.2 节, 其中表明 $C^{\mathrm{E}}=C^{\mathrm{A}}$ 对于不支付股息的资产的看㳊期权。
锻㤨 $7.10$
通过夽利论证证明 (7.7)。
很明显, 看涨或看跌期枳的价格必须是非负的, 因为这种期权提供了末来收益的可能性而无需承担任何责 任。所以,
$$
C^{\mathrm{E}} \geq 0, \quad P^{\mathrm{E}} \geq 0
$$
类似的不平等当然适用于更有价值的美式期权。事实上，期棥的价格几乎总是严格为正的, 除了一些非常特 殊的情况, 例如, $C^{\mathrm{E}}=0$ 对于具有执行价格的看㳊期权 $X=120$ 行使前一天美元, 当标的股票交易价格 为 $\$ 100$ 每日价格变动受证券交易所法规的限制 $\pm 10 \%$.
在下文中, 我们将讨论欧式和美式期权价格的一些更简单的界限。这种界限的优点是它们是普遍的。它们独 立于任何特定的股票价格模型, 仅遵循无套利原则。
金融代写|金融工程代写FINANCI ENGINEERING代写|European Options
我们将对欧式看湌期权和看跌期林的价格建立一些上限和下限。
一方面, 观察到
$C^{\mathrm{E}} 0 \$$. Thisprovesthat $\$ C^{\mathrm{E}}<S(0) \$$. Ontheotherhand, wehavethelowerbound
$S(0)-X \backslash$ mathrm ${e}^{\wedge}{-r T} \backslash$ leq $C^{\wedge}{\backslash m a t h r m{E}}$,
whichfollowsimmediatelybyput – callparity, since $\$ P^{\mathrm{E}} \geq 0 \$$. Moreover, put – callparityim.
$\mathrm{P}^{\wedge}{\backslash \operatorname{mathrm}{\mathrm{E}}}<\mathrm{X} \backslash$ mathrm ${\mathrm{e}}^{\wedge}{-\mathrm{r} T}$
since $\$ C^{\mathrm{E}}<S(0) \$$, and
$-S(0)+X \backslash$ mathrm{e}^ ${-r T} \backslash$ leq $P^{\wedge}{\backslash$ mathrm ${E}}$
$\$ \$$
因为 $C^{\mathrm{E}} \geq 0$.
这些结果总结在以下命题中, 并在图 $7.4$ 中说明。阴影区域对应于满足界限的期权价格。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。