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实分析Real analysis乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。对从实变函数到复变函数的可微调性后果的研究，产生了全形函数的概念，并使复数分析成为另一门独特的分析分支学科。另一方面，从黎曼意义上的积分到勒贝斯格意义上的积分，导致了抽象度量空间概念的提出，这是度量理论中的一个基本概念。最后，积分从实线到高维空间的曲线和曲面的概括带来了矢量微积分的研究，其进一步的概括和形式化在微分几何和其他密切相关的几何学和拓扑学领域的微分形式和光滑（可微分）流形概念的演变中发挥了重要作用。
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数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|Integrability of Continuous and Monotone Functions
As an application of the previous theorem we prove that every continuous realvalued function and every monotone function on $[a, b]$ is Riemann integrable on $[a, b]$. As we will see, both of these results will also follow from Lebesgue’s theorem (Theorem 6.1.13).
THEOREM 6.1.8 Let $f$ be a real-valued function on $[a, b]$.
(a) If $f$ is continuous on $[a, b]$, then $f$ is Riemann integrable on $[a, b]$.
(b) If $f$ is monotone on $[a, b]$, then $f$ is Riemann integrable on $[a, b]$.
Proof. (a) Let $\epsilon>0$ be given. Choose $\eta>0$ such that $(b-a) \eta<\epsilon$. Since $f$ is continuous on $[a, b]$, by Theorem 4.3.4 $f$ is uniformly continuous on $[a, b]$. Thus there exists a $\delta>0$ such that
$$
|f(x)-f(t)|<\eta
$$
for all $x, t \in[a, b]$ with $|x-t|<\delta$. Choose a partition $\mathcal{P}$ of $[a, b]$ such that $\Delta x_{i}<\delta$ for all $i=1,2, \ldots, n$. Then by (3),
$$
M_{i}-m_{i} \leq \eta
$$
for all $i=1,2, \ldots, n$. Therefore
$$
\mathcal{U}(\mathcal{P}, f)-\mathcal{L}(\mathcal{P}, f)=\sum_{i=1}^{n}\left(M_{i}-m_{i}\right) \Delta x_{i} \leq \eta \sum_{i=1}^{n} \Delta x_{i}=\eta(b-a)<\epsilon
$$
Thus by Theorem 6.1.7 $f$ is integrable on $[a, b]$.
(b) Suppose $f$ is monotone increasing on $[a, b]$. For $n \in \mathbb{N}$, set $h=(b-a) / n$. Also for $i=0,1, \ldots, n$, set $x_{i}=a+i h$. Then $\mathcal{P}=\left{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ is a partition of $[a, b]$ which satisfies $\Delta x_{i}=h$ for all $i=1, \ldots, n$. Since $f$ is monotone increasing on $[a, b], m_{i}=f\left(x_{i-1}\right)$ and $M_{i}=f\left(x_{i}\right)$. Therefore,
$$
\begin{aligned}
\mathcal{U}(\mathcal{P}, f)-\mathcal{L}(\mathcal{P}, f) &=\sum_{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right] \Delta x_{i} \
&=h \sum_{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right]=\frac{(b-a)}{n}[f(b)-f(a)] .
\end{aligned}
$$
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|The Composition Theorem
We next prove that the composition $\varphi \circ f$ of a continuous function $\varphi$ with a Riemann integrable function $f$ is again Riemann integrable. As an application of Lebesgue’s theorem we will present a much shorter proof of this result later in the section.
THEOREM 6.1.9 Let $f$ be a bounded Riemann integrable function on $[a, b]$ with Range $f \subset[c, d] .$ If $\varphi$ is continuous on $[c, d]$, then $\varphi \circ f$ is Riemann integrable on $[a, b]$.
Proof. Since $\varphi$ is continuous on the closed and bounded interval $[c, d], \varphi$ is bounded and uniformly continuous on $[c, d]$. Let $K=\sup {|\varphi(t)|: t \in[c, d]}$, and let $\epsilon>0$ be given. Set $\epsilon^{\prime}=\epsilon /(b-a+2 K)$.
Since $\varphi$ is uniformly continuous on $[c, d]$, there exists $\delta, 0<\delta<\epsilon^{\prime}$, such that
$$
|\varphi(s)-\varphi(t)|<\epsilon^{\prime}
$$
for all $s, t \in[c, d]$ with $|s-t|<\delta$. Furthermore, since $f \in \mathcal{R}[a, b]$, by Theorem 6.1.7 there exists a partition $\mathcal{P}=\left{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ of $[a, b]$ such that
$$
\mathcal{U}(\mathcal{P}, f)-\mathcal{L}(\mathcal{P}, f)<\delta^{2}
$$
To complete the proof we will show that
$$
\mathcal{U}(\mathcal{P}, \varphi \circ f)-\mathcal{L}(\mathcal{P}, \varphi \circ f) \leq \epsilon
$$
By Theorem $6.1 .7$ it then follows that $\varphi \circ f \in \mathcal{R}[a, b]$.
For each $k=1,2, \ldots, n$, let $m_{k}$ and $M_{k}$ denote the infimum and supremum of $f$ on $\left[x_{k-1}, x_{k}\right]$. Also, set
$$
m_{k}^{}=\inf \left{\varphi(f(t)): t \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right]\right} \quad \text { and } \quad M_{k}^{}=\sup \left{\varphi(f(t)): t \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right]\right} .
$$
We partition the set ${1,2, \ldots, n}$ into disjoint sets $A$ and $B$ as follows:
$$
A=\left{k: M_{k}-m_{k}<\delta\right} \quad \text { and } \quad B=\left{k: M_{k}-m_{k} \geq \delta\right} .
$$
实分析代写
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS 代考|Integrability of Continuous and Monotone Functions
作为前面定理的应用, 我们证明了每个连续实值函数和每个单调函数 $[a, b]$ 黎曼可积在 $[a, b]$. 正如我们将看 到的, 这两个结果也将遵循勒贝格定理 (定理 6.1.13)。
定理 $6.1 .8$ 让 $f$ 是一个实值函数 $[a, b]$.
(a) 如果 $f$ 是连续的 $[a, b]$, 然后 $f$ 黎曼可积在 $[a, b]$.
(b) 如果 $f$ 是单调的 $[a, b]$, 然后 $f$ 黎曼可积在 $[a, b]$.
证明。(a) 让 $\epsilon>0$ 被给予。选择 $\eta>0$ 这样 $(b-a) \eta<\epsilon$. 自从 $f$ 是连续的 $[a, b]$, 由定理 4.3.4 $f$ 是一致连 续的 $[a, b]$. 因此存在一个 $\delta>0$ 这样
$$
|f(x)-f(t)|<\eta $$ 对所有人 $x, t \in[a, b]$ 和 $|x-t|<\delta$. 选择一个分区 $\mathcal{P}$ 的 $[a, b]$ 这样 $\Delta x_{i}<\delta$ 对所有人 $i=1,2, \ldots, n$. 然 后由 (3), $$ M_{i}-m_{i} \leq \eta $$ 对所有人 $i=1,2, \ldots, n$. 所以 $$ \mathcal{U}(\mathcal{P}, f)-\mathcal{L}(\mathcal{P}, f)=\sum_{i=1}^{n}\left(M_{i}-m_{i}\right) \Delta x_{i} \leq \eta \sum_{i=1}^{n} \Delta x_{i}=\eta(b-a)<\epsilon $$ 因此由定理 $6.1 .7 f$ 可积在 $[a, b]$. (b) 假设 $f$ 是单调递增的 $[a, b]$. 为了 $n \in \mathbb{N}$, 放 $h=(b-a) / n$. 也为 $i=0,1, \ldots, n$, 放 $x_{i}=a+i h$. $i=1, \ldots, n$. 自从 $f$ 是单调递增的 $[a, b], m_{i}=f\left(x_{i-1}\right)$ 和 $M_{i}=f\left(x_{i}\right)$. 所以, $$ \mathcal{U}(\mathcal{P}, f)-\mathcal{L}(\mathcal{P}, f)=\sum_{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right] \Delta x_{i} \quad=h \sum_{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right]=\frac{(b-a)}{n}[f $$
数学代写|实分析代㝍 REAL ANALYSIS 代考|The Composition Theorem
我们接下来证明组成 $\varphi \circ f$ 连续函数的 $\varphi$ 具有黎曼可积函数 $f$ 又是黎曼可积的。作为 Lebesgue 定理的应 用, 我们将在本节后面给出一个更简短的证明。 定理 6.1.9 让 $f$ 是一个有界黎㻴可积函数 $[a, b]$ 范围 $f \subset[c, d]$.如果 $\varphi$ 是连续的 $[c, d]$, 然后 $\varphi \circ f$ 黎㻴可积在 $[a, b]$. 证明。自从 $\varphi$ 在闭有界区间上是连续的 $[c, d], \varphi$ 是有界且一致连续的 $[c, d]$. 让 $K=\sup |\varphi(t)|: t \in[c, d]$ , 然后让 $\epsilon>0$ 被给予。放 $\epsilon^{\prime}=\epsilon /(b-a+2 K)$.
自从 $\varphi$ 是一致连续的 $[c, d]$, 那里存在 $\delta, 0<\delta<\epsilon^{\prime}$, 这样
$$
|\varphi(s)-\varphi(t)|<\epsilon^{\prime}
$$
对所有人 $s, t \in[c, d]$ 和 $|s-t|<\delta$. 此外, 由于 $f \in \mathcal{R}[a, b]$, 由定理 $6.1 .7$ 存在一个分区
$$
\mathcal{U}(\mathcal{P}, f)-\mathcal{L}(\mathcal{P}, f)<\delta^{2}
$$
为了完成证明, 我们将证明
$$
\mathcal{U}(\mathcal{P}, \varphi \circ f)-\mathcal{L}(\mathcal{P}, \varphi \circ f) \leq \epsilon
$$
按定理6.1.7然后它遵循 $\varphi \circ f \in \mathcal{R}[a, b]$.
对于每个 $k=1,2, \ldots, n$, 让 $m_{k}$ 和 $M_{k}$ 表示最低和最高 $f$ 上 $\left[x_{k-1}, x_{k}\right]$. 另外, 设置
$\$ \$$
$\mathrm{m}{-}{k}^{\wedge}{}=\backslash$ inf $\backslash$ left $\left{\right.$ varphi $(f(t)): * \backslash$ in $\backslash$ left $\left[x{-}{k-1}, x_{-}{k} \backslash\right.$ \ight $] \backslash$ right $}$ |quad \text ${$ 稆 $}$ lquad $M_{-}{k}^{\wedge}{}=\backslash$ sup $\backslash$ left $\left{\backslash\right.$ varphi $(f(t)): \dagger \backslash \operatorname{in} \backslash \operatorname{left}\left[x_{-}{k-1}, x_{-}{k} \backslash\right.$ right $] \backslash$ 正确的 $}$ 。
Wepartitiontheset $\$ 1,2, \ldots, n$ \$intodisjointsets $\$ A \$ a n d \$ B$ as follows :
$\mathrm{A}=\backslash \mathrm{left}\left{\mathrm{k}: \mathrm{M}{-}{\mathrm{k}}-\mathrm{m}{-}{\mathrm{k}}<\backslash\right.$ delta \right } } \backslash \text { quad } \backslash \text { text } { \text { 和 } } \backslash q u a d \mathrm { B } = \backslash \mathrm { left } { \mathrm { k } : \mathrm { M } _ { – } { \mathrm { k } } – \mathrm { m } _ { – } { \mathrm { k } } \backslash \text { geq } 增哩 $\backslash$ 右}。
$\$ \$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。