数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MATH475 Applications to Differential Equations

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泛函分析functional analysis 是数学分析的一个分支,其核心是研究具有某种极限相关结构(如内积、规范、拓扑等)的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究,以及对函数变换属性的表述,例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。

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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MATH475 Applications to Differential Equations

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Applications to Differential Equations

As an interlude to the main development of the theory, in this section we apply the completeness result of Theorem $2.2$ and the compactness result of Theorem $2.11$ to study the following initial value problem:
$$
\left{\begin{array}{l}
u^{\prime}(t)=f(t, u(t)), \quad t \in[0, T], \
u(0)=u_{0},
\end{array}\right.
$$

where $f:[0, T] \times \mathbb{K}^{d} \rightarrow \mathbb{K}^{d}$ is continuous and $u_{0} \in \mathbb{K}^{d}$ is given.
Global Existence and Uniqueness A global solution is continuously differentiable function $u:[0, T] \rightarrow \mathbb{K}$ satisfying $u(0)=u_{0}$ and $u^{\prime}(t)=f(t, u(t))$ for all $t \in[0, T]$.
Theorem 2.12 (Existence \& uniqueness, Picard-Lindelöf). If $f:[0, T] \times \mathbb{K}^{d} \rightarrow \mathbb{K}^{d}$ is continuous and there is a constant $L \geqslant 0$ such that for all $t \in[0, T]$ and $x, x^{\prime} \in \mathbb{K}^{d}$ we have
$$
\left|f(t, x)-f\left(t, x^{\prime}\right)\right| \leqslant L\left|x-x^{\prime}\right|,
$$
then (IVP) admits a unique global solution.
The condition on $f$ is often summarised by saying that $f$ is Lipschitz continuous in its second variable, uniformly with respect to its first variable.

The proof of Theorem $2.12$ is based on the following abstract fixed point theorem.

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Spaces of Integrable Functions

Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ be a measure space and fix $1 \leqslant p<\infty$. We define $\mathscr{L}^{p}(\Omega)$ as the set of all measurable functions $f: \Omega \rightarrow \mathbb{K}$ such that $$ \int_{\Omega}|f|^{p} \mathrm{~d} \mu<\infty . $$ For such functions we set $$ |f|_{p}:=\left(\int_{\Omega}|f|^{p} \mathrm{~d} \mu\right)^{1 / p} . $$ For $p=\infty$ we define $\mathscr{L}^{\infty}(\Omega)$ as the set of all measurable functions $f: \Omega \rightarrow \mathbb{K}$ that are $\mu$-essentially bounded, meaning that there is set $N \in \mathscr{F}$ of $\mu$-measure 0 such that $f$ is bounded on $C N$. For such functions we define $|f|_{\infty}$ as the $\mu$-essential supremum of $f$, $$ |f|_{\infty}:=\mu \text {-ess sup }|f(\omega)|:=\inf {r>0:|f| \leqslant r \mu \text {-almost everywhere }} .
$$
When there is no risk of confusion, the measure $\mu$ is omitted from this notation.

The spaces $\mathscr{L}^{p}(\Omega)$ are vector spaces:
Proposition $2.19$ (Minkowski inequality). Let $1 \leqslant p \leqslant \infty$. For all functions $f, g \in \mathscr{L}^{p}(\Omega)$ we have $f+g \in \mathscr{L}^{p}(\Omega)$ and
$$
|f+g|_{p} \leqslant|f|_{p}+|g|_{p} .
$$
Proof The result is trivial for $p=\infty$, so we only consider the case $1 \leqslant p<\infty$.

By elementary calculus it is checked that for all nonnegative real numbers $a$ and $b$ one has
$$
(a+b)^{p}=\inf _{t \in(0,1)} t^{1-p} a^{p}+(1-t)^{1-p} b^{p} .
$$

Applying this identity to $|f(\omega)|$ and $|g(\omega)|$ with $\omega \in \Omega$ and integrating with respect to $\mu$, for all fixed $t \in(0,1)$ we obtain
$$
\int_{\Omega}|f+g|^{p} \mathrm{~d} \mu \leqslant \int_{\Omega}(|f|+|g|)^{p} \mathrm{~d} \mu \leqslant t^{1-p} \int_{\Omega}|f|^{p} \mathrm{~d} \mu+(1-t)^{1-p} \int_{\Omega}|g|^{p} \mathrm{~d} \mu .
$$
Stated differently, this says that
$$
|f+g|_{p}^{p} \leqslant t^{1-p}|f|_{p}^{p}+(1-t)^{1-p}|g|_{p}^{p} .
$$

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泛函分析代写

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作为理论主要发展的揷曲, 在本节中我们应用定理的完备性结果 $2.2$ 和定理的紧致性结果 $2.11$ 研究以下初值 问题 :
$\$ \$$
$$
u^{\prime}(t)=f(t, u(t)), \quad t \in[0, T], u(0)=u_{0},
$$
正确的。
在哪里 $f:[0, T] \times \mathbb{K}^{d} \rightarrow \mathbb{K}^{d}$ 是连续的并且 $u_{0} \in \mathbb{K}^{d}$ 给出。
全局存在性和唯一性 全局解是连续可微函数 $u:[0, T] \rightarrow \mathbb{K}$ 今人满意的 $u(0)=u_{0}$ 和 $u^{\prime}(t)=f(t, u(t))$
对所有人 $t \in[0, T]$.
定理 $2.12$ (存在 $\backslash \&$ 唯一性, Picard-Lindelöf)。如果 $f:[0, T] \times \mathbb{K}^{d} \rightarrow \mathbb{K}^{d}$ 是连续的并且有一个常数
$L \geqslant 0$ 这样对于所有人 $t \in[0, T]$ 和 $x, x^{\prime} \in \mathbb{K}^{d}$ 我们有
$\left|f(t, x)-f\left(t, x^{\prime}\right)\right| \leqslant L\left|x-x^{\prime}\right|$,
然后(IVP)承认一个独特的全局解决方案。
条件为 $f$ 经常被总结为 $f$ 在第二个变量中是 Lipschitz 连续的,与第一个变疃一致。
昰理的证明 2.12基于以下抽象不动点定理。


数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Spaces of Integrable Functions


让 $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ 成为一个测量空间并修复 $1 \leqslant p<\infty$. 我们定义 $\mathscr{L}^{p}(\Omega)$ 作为所有可测量函数的集合 $f: \Omega \rightarrow \mathbb{K}$ 这样 $$ \int_{\Omega}|f|^{p} \mathrm{~d} \mu<\infty $$ 对于这样的功能, 我们设置 $$ |f|{p}:=\left(\int{\Omega}|f|^{p} \mathrm{~d} \mu\right)^{1 / p} . $$ 为了 $p=\infty$ 我们定义 $\mathscr{L}^{\infty}(\Omega)$ 作为所有可测黑函数的集合 $f: \Omega \rightarrow \mathbb{K}$ 那是 $\mu$-本质上是有界的, 竟味着存 在集合 $N \in \mathscr{F}$ 的 $\mu$-测鲤 0 使得 $f$ 有界 $C N$. 对于这样的函数, 我们定义| $\left.f\right|{\infty}$ 作为 $\mu-$ 必不可少的决赛 $f$, $$ |f|{\infty}:=\mu \text {-ess } \sup |f(\omega)|:=\inf r>0:|f| \leqslant r \mu \text {-almost everywhere . }
$$
在没有混淆风险的情况下, 该措施 $\mu$ 从这个符号中省略。
空间 $\mathscr{L}^{p}(\Omega)$ 是向量空间:
命题 $2.19$ (闵可夫斯基不等式)。让 $1 \leqslant p \leqslant \infty$. 对于所有功能 $f, g \in \mathscr{L}^{p}\left(\Omega\right.$ )我们有 $f+g \in \mathscr{L}^{p}(\Omega)$
$$
|f+g|{p} \leqslant|f|{p}+|g|{p} . $$ 证明结果是微不足道的 $p=\infty$, 所以我们只考虑这种情况 $1 \leqslant p<\infty$. 通过初等微积分检查所有非负实数 $a$ 和 $b$ 一个有 $$ (a+b)^{p}=\inf {t \in(0,1)} t^{1-p} a^{p}+(1-t)^{1-p} b^{p} .
$$
将此身份应用于 $|f(\omega)|$ 和 $|g(\omega)|$ 和 $\omega \in \Omega$ 并整合关于 $\mu$, 对于所有固定的 $t \in(0,1)$ 我们获得
$$
\int_{\Omega}|f+g|^{p} \mathrm{~d} \mu \leqslant \int_{\Omega}(|f|+|g|)^{p} \mathrm{~d} \mu \leqslant t^{1-p} \int_{\Omega}|f|^{p} \mathrm{~d} \mu+(1-t)^{1-p} \int_{\Omega}|g|^{p} \mathrm{~d} \mu .
$$
换句话说,这表示
$$
|f+g|{p}^{p} \leqslant t^{1-p}|f|{p}^{p}+(1-t)^{1-p}|g|_{p}^{p} .
$$

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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