数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MATH3402 Completeness

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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MATH3402 Completeness

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Applications to Differential Equations

For the remainder of this section we fix a measure space $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$. The main result of this section is the following completeness result for the spaces $L^{p}(\Omega)$.

Theorem 2.20 (Completeness). For all $1 \leqslant p \leqslant \infty$ the normed space $L^{p}(\Omega)$ is complete.
Proof First let $1 \leqslant p<\infty$, and let $\left(f_{n}\right){n \geqslant 1}$ be a Cauchy sequence with respect to the norm $|\cdot|{p}$ of $L^{p}(\Omega)$. By passing to a subsequence we may assume that
$$
\left|f_{n+1}-f_{n}\right|_{p} \leqslant \frac{1}{2^{n}}, \quad n=1,2, \ldots
$$
Define the nonnegative measurable functions
$$
g_{N}:=\sum_{n=0}^{N-1}\left|f_{n+1}-f_{n}\right|, \quad g:=\sum_{n=0}^{\infty}\left|f_{n+1}-f_{n}\right|,
$$
with the convention that $f_{0}=0$. By the monotone convergence theorem,
$$
\int_{\Omega} g^{p} \mathrm{~d} \mu=\lim {N \rightarrow \infty} \int{\Omega} g_{N}^{p} \mathrm{~d} \mu .
$$
Taking $p$ th roots and using Minkowski’s inequality we obtain
$$
|g|_{p}=\lim {N \rightarrow \infty}\left|g{N}\right|_{p} \leqslant \lim {N \rightarrow \infty} \sum{n=0}^{N-1}\left|f_{n+1}-f_{n}\right|_{p}=\sum_{n=0}^{\infty}\left|f_{n+1}-f_{n}\right|_{p} \leqslant 1+\left|f_{1}\right|_{p} .
$$
If follows that $g$ is finitely valued $\mu$-almost everywhere, which means that the sum defining $g$ converges absolutely $\mu$-almost everywhere. As a result, the sum
$$
f:=\sum_{n=0}^{\infty}\left(f_{n+1}-f_{n}\right)
$$
converges on the set ${g<\infty}$. On this set we have
$$
f=\lim {N \rightarrow \infty} \sum{n=0}^{N-1}\left(f_{n+1}-f_{n}\right)=\lim {N \rightarrow \infty} f{N} .
$$

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Approximation by Mollification

It is generally difficult to handle $L^{p}$-functions directly. There are two ways of dealing with this problem: by approximation it often suffices to consider functions that are easier to deal with, and by interpolation one can reduce matters to exponents that are easier to deal with. The present section is devoted to approximation techniques; interpolation is treated in Section 5.7.

We begin by proving that the $\mu$-simple functions are dense in $L^{p}(\Omega)$ for $1 \leqslant p<\infty$. Recall from Definition $1.49$ that a $\mu$-simple function is a simple function supported on sets of finite $\mu$-measure.

Proposition 2.28 (Approximation by $\mu$-simple functions). For $1 \leqslant p<\infty$, the $\mu$-simple functions are dense in $L^{p}(\Omega)$. The same result holds for $L^{\infty}(\Omega)$ if $\mu(\Omega)<\infty$.
Proof Fix a function $f \in L^{p}(\Omega)$.
First let $1 \leqslant p<\infty$. By dominated convergence we have
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \mathbf{1}{\left{\frac{1}{n} \leqslant|f| \leqslant n\right}} f=f
$$
in $L^{p}(\Omega)$. Moreover,
$$
\mu{|f| \geqslant 1 / n}=\int_{\Omega} \mathbf{1}{\left{|f| \geqslant \frac{1}{n}\right}} \mathrm{d} \mu \leqslant \int{\Omega} \mathbf{1}{\left{|f| \geqslant \frac{1}{n}\right}}|n f|^{p} \mathrm{~d} \mu \leqslant n^{p}|f|{p}^{p}<\infty .
$$
We may therefore assume that $f$ is bounded and $\mu$ is a finite measure. By considering real and imaginary parts separately we may also assume that $f$ is real-valued. Under these assumptions we have $f_{k} \rightarrow f$ in $L^{p}(\Omega)$, where
$$
f_{k}:=\sum_{j \in \mathbb{Z}} \mathbf{1}_{\left{j 2^{-k} \leqslant f<(j+1) 2^{-k}\right}} j 2^{-k}
$$
are $\mu$-simple functions (by the boundedness of $f$ these sums have only finitely many nonzero contributions).

If $f \in L^{\infty}(\Omega)$ with $\mu(\Omega)<\infty$, the functions $f_{k}$ defined above are $\mu$-simple and approximate $f$ uniformly.

More interesting is the fact that if $D$ is an open subset of $\mathbb{R}^{d}$, then the vector space $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(D)$ of all compactly supported smooth functions $f: D \rightarrow \mathbb{K}$ is dense in $L^{p}(D)$ for every $1 \leqslant p<\infty$. Here, and in what follows, the $\operatorname{support} \operatorname{supp}(f)$ of a continuous function $f: D \rightarrow \mathbb{K}$ is defined as the complement of the largest open set $U$ such that $f \equiv 0$ on $D \cap U$ or, equivalently, as the closure of the set ${x \in D: f(x) \neq 0}$.

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MATH3402 Completeness

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Applications to Differential Equations


对于本节的其余部分,我们固定一个测量空间 $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$. 本节的主要结果是空间的以下完整性结果 $L^{p}(\Omega)$.
定理 $2.20$ (完备性)。对所有人 $1 \leqslant p \leqslant \infty$ 规范空间 $L^{p}(\Omega)$ 已经完成。
证明先让 $1 \leqslant p<\infty$, 然后让 $\left(f_{n}\right) n \geqslant 1$ 是关于范数的柯西序列 $|\cdot| p$ 的 $L^{p}(\Omega)$. 通过传递给子序列, 我 们可以假设
$$
\left|f_{n+1}-f_{n}\right|{p} \leqslant \frac{1}{2^{n}}, \quad n=1,2, \ldots $$ 定义非员可测函数 $$ g{N}:=\sum_{n=0}^{N-1}\left|f_{n+1}-f_{n}\right|, \quad g:=\sum_{n=0}^{\infty}\left|f_{n+1}-f_{n}\right|
$$
与约定 $f_{0}=0$. 由单调收敛定理,
$$
\int_{\Omega} g^{p} \mathrm{~d} \mu=\lim N \rightarrow \infty \int \Omega g_{N}^{p} \mathrm{~d} \mu .
$$
服用 $p$ th 根并使用 Minkowski 不等式我们得到
$$
|g|{p}=\lim N \rightarrow \infty|g N|{p} \leqslant \lim N \rightarrow \infty \sum n=0^{N-1}\left|f_{n+1}-f_{n}\right|{p}=\sum{n=0}^{\infty}\left|f_{n+1}-f_{n}\right|{p} \leqslant 1+\mid $$ 如果遵循 $g$ 是有限值的 $\mu$-几乎无处不在, 这意味着总和定义 $g$ 绝对收敛 $\mu$-几乎无处不在。结果, 总和 $$ f:=\sum{n=0}^{\infty}\left(f_{n+1}-f_{n}\right)
$$
收敛于集合 $g<\infty$. 在这组我们有
$$
f=\lim N \rightarrow \infty \sum n=0^{N-1}\left(f_{n+1}-f_{n}\right)=\lim N \rightarrow \infty f N .
$$


数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Approximation by Mollification


一般比较难处理 $L^{p}$ – 直接起作用。有两种处理这个问题的方法:通过近似,考虑更㝘易处理的函数通常就足 够了,通过揷值可以将问题简化为更容易处理的指数。本节专门讨论近似技术;揷值在 $5.7$ 节中讨论。
我们首先证明 $\mu$-简单的函数密集于 $L^{p}(\Omega)$ 为了 $1 \leqslant p<\infty$. 从定义中召回 $1.49$ 那一个 $\mu$-simple 函数是在 有限集合上支持的简单函数 $\mu$-措施。
命题 $2.28$ (近似于 $\mu$-简单的功能) 。为了 $1 \leqslant p<\infty$ , 这 $\mu$-简单的函数密集于 $L^{p}(\Omega)$. 同样的结果适用 于 $L^{\infty}(\Omega)$ 如果 $\mu(\Omega)<\infty$.
证明修复函数 $f \in L^{p}(\Omega)$.
先让 $1 \leqslant p<\infty$. 通过主导收敛,我们有
$\backslash \lim {\mathrm{n} \backslash$ rightarrow $\backslash$ infty} $\backslash \mathrm{mathbf}{1}{\backslash \operatorname{left}{\backslash$ frac ${1}{\mathrm{n}} \backslash$ leqslant|f| $\backslash$ leqslant $\mathrm{n} \backslash$ right $}} \mathrm{f}=\mathrm{f}$
在 $L^{p}(\Omega)$. 而且,
$\backslash$ 亩 ${|\mathrm{f}| \backslash$ geqslant 1/n $}=\backslash i_{-}{\backslash \backslash$ Omega $} \backslash$ mathbf ${1}{\backslash$ eft ${|\mathrm{f}| \backslash \mathrm{geqslant} \backslash \mathrm{frac}{1}{\mathrm{n}} \backslash \mathrm{right}}} \backslash \mathrm{mathrm}{\mathrm{d}} \backslash \mathrm{mu} \backslash$ leqs
因此我们可以假设 $f$ 是有界的并且 $\mu$ 是一个有限的度量。通过分别考虑实部和虚部, 我们还可以假设 $f$ 是实 值。在这些假设下, 我们有 $f_{k} \rightarrow f$ 在 $L^{p}(\Omega)$, 在哪里
$f_{-}{k}:=\backslash$ sum_{j \in \mathbb $\left.{Z}\right} \backslash$ mathbf ${1}_{-}\left{\backslash l e f t\left{j 2^{\wedge}{-k} \backslash\right.\right.$ leqslant $f<(j+1) 2^{\wedge}{-k} \backslash$ right $\left.}\right} j 2^{\wedge}{-k}$
是 $\mu$-简单函数 (由 $f$ 这些和只有有限多个非零贡献)。
如果 $f \in L^{\infty}(\Omega)$ 和 $\mu(\Omega)<\infty$, 函数 $f_{k}$ 上面定义的是 $\mu$-简单和近似 $f$ 均匀地。
更有趣的是, 如果 $D$ 是的一个开子集 $\mathbb{R}^{d}$, 那么向量空间 $C_{\mathrm{c}}^{\infty}(D)$ 所有紧凑支持的平滑函数 $f: D \rightarrow \mathbb{K}$ 密集 在 $L^{p}(D)$ 对于每个 $1 \leqslant p<\infty$. 在此以及接下来的内容中, $\operatorname{support~} \operatorname{supp}(f)$ 连续函数的 $f: D \rightarrow \mathbb{K}$ 定
义为最大开集的补集 $U$ 这样 $f \equiv 0$ 上 $D \cap U$ 或者, 等价地, 作为集合的闭包 $x \in D: f(x) \neq 0$.

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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