如果你也在 怎样代写数论Number theory MAST90136这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory的旧称是算术。到二十世纪初，它已被 “数论 “所取代。（”算术 “一词被公众用来指 “基本计算”；它在数理逻辑中也获得了其他含义，如Peano算术和计算机科学，如浮点算术。） 在20世纪下半叶，数论的使用重新获得了一些地位，可以说部分是由于法国的影响。特别是，作为一个形容词，arithmetical通常比数论的更受欢迎。
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数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|Primitive Roots for Primes
In the foregoing section we have dealt with an important concept, known as primitive roots. In the present section we will study whether every prime has a primitive root or not. To proceed further, the concept of polynomial congruence will act as an important tool. The definition of polynomial congruence is as follows:
Definition 8.4.1. Let $f(x)$ be a polynomial with integral coefficients, then the expression $f(x) \equiv 0(\bmod m)$ is known to be polynomial congruence modulo $m$.
Here in polynomial congruence an integer $a$ is a root of $f(x)$ modulo $m$ if $f(a) \equiv 0(\bmod m)$. Also if $a$ is a root of $f(x)$ modulo $m$ then it is obvious that every integer which are congruent to $a$ modulo $m$ is also a root of $f(x) \equiv 0($ $\bmod m$ ).
For instance, let $f(x)=x^{2}+2 x+4$ has two incongruent roots modulo 6 and they are $x \equiv 2(\bmod 6), x \equiv-4(\bmod 6)$. If we choose $g(x)=x^{2}+2$ then it has no roots modulo 6 . The next theorem deals with roots of a polynomial modulo $p$, where $p$ is prime.
Theorem 8.4.1. (Lagranges): Let $f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ and $p \nmid a_{n}(n \geq 1)$, where $p$ is prime then the polynomial congruence $f(x) \equiv 0($ $\bmod p$ ) has at most $n$ incongruent solutions modulo $p$.
Proof. Let us apply the principle of Mathematical induction on $n$, degree of $f(x)$. If $n=1$ then $f(x)=a_{1} x+a_{0}$. Since $p \nmid a_{1}$ then $\operatorname{gcd}\left(a_{1}, p\right)=1$, thus the congruence equation $a_{1} x \equiv a_{0}(\bmod p)$ has unique solution[refer to Corollary 4.4.1]. Thus the result is true for $n=1$.
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|Worked out Exercises
Problem 8.5.1. Prove for an odd prime $p$, the only incongruent solutions of $x^{2} \equiv 1(\bmod p)$ are 1 and $p-1$.
Solution 8.5.1. Since $p$ is odd prime therefore, $2 \mid(p-1)$. Hence with reference to Corollary 8.4.1, the congruence equation has exactly 2 incongruent solutions. Clearly, 1 is a solution as $1 \equiv 1(\bmod p)$. Now $p-1$ is also a solution as $(p-1)^{2} \equiv 1(\bmod p)$. Therefore 1 and $p-1$ are solutions and they are incongruent modulo $p$.
Problem 8.5.2. Find all the positive integers less than 43 having order 6 modulo 43 , provided 3 is a primitive root of $43 .$
Solution 8.5.2. By virtue of Theorem 8.2.2, $3^{k}(1 \leq k \leq 42)$ are incongruent. Thus, all integers less than 43 are congruent to $3^{k}$ having the order $\frac{42}{\operatorname{gcd}(k, 42)}$ modulo 43[refer to Theorem 8.2.3]. Now
$$
\frac{42}{\operatorname{gcd}(k, 42)}=6 \Rightarrow \operatorname{gcd}(k, 42)=7 \Rightarrow k=7,35 \text {. }
$$
Thus, $3^{7}, 3^{35}$ have order 6 modulo 43 . Here,
$$
\begin{aligned}
& 3^{3}=27,3^{4}=81 \equiv-5(\bmod 43) \
\therefore & 3^{7} \equiv-135 \equiv-135+3 \cdot 43 \equiv 37 \equiv-6(\bmod 43) \
& 3^{7} \cdot 3^{7} \equiv(-6)(-6) \equiv 36 \equiv(-7)(\bmod 43) \
& 3^{18} \equiv(-7)(-5) \equiv 35 \equiv(-8)(\bmod 43) \
& 3^{32} \equiv 3^{14} \cdot 3^{18} \equiv(-7)(-8) \equiv 56 \equiv 13(\bmod 43) \
& 3^{33} \equiv 39 \equiv-4(\bmod 43) \
\therefore & 3^{35} \equiv 9(-4)=-36 \equiv 7(\bmod 43)
\end{aligned}
$$
Hence $7\left(\equiv 3^{35}\right), 37\left(\equiv 3^{7}\right)$ have order 6 modulo 43 .
数论代写
数学代写|数论代写NUMBER THEORY 代考|Primitive Roots for Primes
在前面的部分中, 我们朴理了一个重要的概念, 称为原始根。在本节中, 我们将研究是否每个素数都有一个 原根。更进一步, 多项式同余的概念将作为一个重要工具。多项式同余的定义如下:
定义 8.4.1。让 $f(x)$ 是具有整数系数的多项式，则表达式 $f(x) \equiv 0(\bmod m)$ 已知是多项式同余模 $m$. 这里在多项式同余一个整数 $a$ 是一个根 $f(x)$ 模块 $m$ 如果 $f(a) \equiv 0(\bmod m)$. 还有如果 $a$ 是一个根 $f(x)$ 模 块 $m$ 那么很明显, 每个整数都等于 $a$ 模块 $m$ 也是一个根 $f(x) \equiv 0(\bmod m)$.
例如, 让 $f(x)=x^{2}+2 x+4$ 有两个模 6 不一致的根, 它们是 $x \equiv 2(\bmod 6), x \equiv-4(\bmod 6)$. 如 果我们选择 $g(x)=x^{2}+2$ 那么它没有根模 6。下一个定理处理多项式模的根 $p$, 在哪里 $p$ 是素数。
定理 8.4.1。（拉格朗日）: 让 $f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ 和 $p \nmid a_{n}(n \geq 1)$, 在哪里 $p$ 是 素数, 那么多项式同余 $f(x) \equiv 0(\bmod p)$ 最多有 $n$ 模数不一致的解 $p$.
证明。让我们将数学归纳原理应用于 $n$, 程度 $f(x)$. 如果 $n=1$ 然后 $f(x)=a_{1} x+a_{0}$. 自从 $p \nmid a_{1}$ 然后 $\operatorname{gcd}\left(a_{1}, p\right)=1$, 因此同余方程 $a_{1} x \equiv a_{0}(\bmod p)$ 有唯一解[参见推论 4.4.1]。因此结果对于 $n=1$.
数学代写|数论代写NUMBER THEORY 代考|Worked out Exercises
问题 8.5.1。证明奇素数 $p$, 唯一不一致的解 $x^{2} \equiv 1(\bmod p)$ 是 1 和 $p-1$.
解决方案 8.5.1。自从 $p$ 因此是奇素数, $2 \mid(p-1)$. 因此, 参考推论 8.4.1, 同余方程正好有 2 个不一致的 解。显然, 1 是一个解决方䋈 $1 \equiv 1(\bmod p)$. 现在 $p-1$ 也是一个解决方䅁 $(p-1)^{2} \equiv 1(\bmod p)$. 因 此 1 和 $p-1$ 是解决方案, 它们是不一致的模数 $p$.
问题 8.5.2。找到所有小于 43 且具有 6 阶模 43 的正整数, 前提是 3 是 43 .
解决方案 8.5.2。根据定理 8.2.2, $3^{k}(1 \leq k \leq 42)$ 不一致。因此, 所有小于 43 的整数都等于 $3^{k}$ 有订单 $\frac{42}{\operatorname{gcd}(k, 42)}$ 模 43[㣍见定理 8.2.3]。现在
$$
\frac{42}{\operatorname{gcd}(k, 42)}=6 \Rightarrow \operatorname{gcd}(k, 42)=7 \Rightarrow k=7,35
$$
因此, $3^{7}, 3^{35}$ 有订单 6 模 43 。这里,
$$
3^{3}=27,3^{4}=81 \equiv-5(\bmod 43) \therefore \quad 3^{7} \equiv-135 \equiv-135+3 \cdot 43 \equiv 37 \equiv-6(\bmod 43) 3^{7}
$$
因此 $7\left(\equiv 3^{35}\right), 37\left(\equiv 3^{7}\right)$ 有订单 6 模 43 。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。