金融代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|IMSE760 Martingales and Stopping Times

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随机微积分Stochastic Calculus应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程(为纪念诺伯特-维纳而命名),它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来,维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中,以模拟股票价格和债券利率的时间演变。

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Let $M$ be a process defined on a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ and $(\mathcal{F} .)$ be a filtration.
Definition 2.19 $M$ is said to be $\left(\mathcal{F}{.}\right)$-martingale if $M$ is $\left(\mathcal{F}{.}\right)$adapted, $M_{t}$ is integrable for all $t$ and for $0 \leq s<t$ one has
$$
\mathrm{E}{\mathrm{P}}\left[M{t} \mid \mathcal{F}{s}\right]=M{s} .
$$
Definition 2.20 $M$ is said to be $\left(\mathcal{F}{.}\right)$-submartingale if $M$ is $\left(\mathcal{F}{.}\right)$adapted, $M_{t}$ is integrable for all $t$ and for $0 \leq s<t$ one has
$$
\mathrm{E}{\mathrm{P}}\left[M{t} \mid \mathcal{F}{s}\right] \geq M{s} .
$$
Remark $2.21$ Likewise $M$ is said to be a supermartingale if $N$ defined by $N_{t}=$ $-M_{t}$ is a submartingale.

When there is only one filtration under consideration, we will drop reference to it and call $M$ to be a martingale (or a submartingale). If $M$ is a martingale and $\phi$ is a convex function on $\mathbb{R}$, then Jensen’s inequality implies that $\phi(M)$ is a submartingale provided each $\phi\left(M_{t}\right)$ is integrable. In particular, if $M$ is a martingale with $\mathrm{E}\left[M_{t}^{2}\right]<\infty$ for all $t$ then $M^{2}$ is a submartingale. We are going to be dealing with martingales that have r.c.l.l. paths. The next result shows that under minimal conditions on the underlying filtration one can assume that every martingale has r.c.l.l. paths.

金融代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|A Version of Monotone Class Theorem

The following functional version of the usual monotone class theorem is very useful in dealing with integrals and their extension. Its proof is on the lines of the standard version of monotone class theorem for sets. We will include a proof; because of the central role, this result will play in our development of stochastic integrals.

Definition 2.62 A subset $\mathbb{A} \subseteq \mathbb{B}(\Omega, \mathcal{F})$ is said to be closed under uniform and monotone convergence if $f, g, h \in \mathbb{B}(\Omega, \mathcal{F}), f^{n}, g^{n}, h^{n} \in \mathbb{A}$ for $n \geq 1$ are such that
(i) $f^{n} \leq f^{n+1}$ for all $n \geq 1$ and $f^{n}$ converges to $f$ pointwise
(ii) $g^{n} \geq g^{n+1}$ for all $n \geq 1$ and $g^{n}$ converges to $g$ pointwise
(iii) $h^{n}$ converges to $h$ uniformly then $f, g, h \in \mathbb{A}$.

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随机微积分代写

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让 $M$ 是在概率空间上定义的过程 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ 和 $(\mathcal{F} .)$ 做个过滤。
定义 $2.19 M$ 据说是 $(\mathcal{F} .)$-鞅如果 $M$ 是 $\left(\mathcal{F}\right.$. 适应, $M_{t}$ 对所有入都是可积的 $t$ 并且对于 $0 \leq s<t$ 一个有
$$
\mathrm{EP}[M t \mid \mathcal{F} s]=M s .
$$
定义 $2.20 M$ 据说是 $(\mathcal{F} .)$-submartingale 如果 $M$ 是 $\left(\mathcal{F}\right.$.)适应, $M_{t}$ 对所有人都是可积的 $t$ 并且对于 $0 \leq s<t$ 一个有
$$
\mathrm{EP}[M t \mid \mathcal{F} s] \geq M s
$$
评论 2.21同样地 $M$ 据说是超鞅, 如果 $N$ 被定义为 $N_{t}=-M_{t}$ 是一个亚鞅。
当只考虑一个过滤时, 我们将删除对它的引用并调用 $M$ 成为鞅(或亚鞅)。如果 $M$ 是鞅并且 $\phi$ 是一个凸函 数 $\mathbb{R}$, 那么 Jensen不等式意味着 $\phi(M)$ 是一个 submartingale 提供每个 $\phi\left(M_{t}\right)$ 是可积的。特别是, 如果 $M$ 是鞅 $\mathrm{E}\left[M_{t}^{2}\right]<\infty$ 对所有入 $t$ 然后 $M^{2}$ 是一个亚鞅。我们将处理具有 rcll 路径的鞅。下一个结果表明, 在底层过滤的最小条件下, 可以假设每个鞅都有 rcll 路径。


金融代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|A Version of Monotone Class Theorem


通常单调类定理的以下函数版本在处理积分及其扩展时非常有用。它的证明是基于集合单调类定理的标准版 本。我们将包括一个证明; 由于中心作用, 这个结果将在我们开发随机积分中发挥作用。
定义 $2.62$ 一个子集 $\mathbb{A} \subseteq \mathbb{B}(\Omega, \mathcal{F})$ 称在一致且单调收敛下是闭合的, 如果
$f, g, h \in \mathbb{B}(\Omega, \mathcal{F}), f^{n}, g^{n}, h^{n} \in \mathbb{A}$ 为了 $n \geq 1$ 是这样的
(i) $f^{n} \leq f^{n+1}$ 对所有人 $n \geq 1$ 和 $f^{n}$ 收敛到 $f$ 逐点
(ii) $g^{n} \geq g^{n+1}$ 对所有人 $n \geq 1$ 和 $g^{n}$ 收敛到 $g$ 逐点
(iii) $h^{n}$ 收敛到 $h$ 然后均匀地 $f, g, h \in \mathbb{A}$.

金融代写|随机微积分代写Stochastic Calculus代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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