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计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|The Notion of an Infinite Sequence
Definition $5.1$ Let $X$ be a set. An (infinite) sequence with values in $X$ is a mapping from $\mathbb{N}$ to $X$.
Thus each natural number $n$ (the index) is mapped to an element $a_{n}$ of $X$ (the $n$th term of the sequence). We express this by using the notation
$$
\left(a_{n}\right){n \geq 1}=\left(a{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right) .
$$
In the case of $X=\mathbb{R}$ one speaks of real-valued sequences, if $X=\mathbb{C}$ of complexvalued sequences, if $X=\mathbb{R}^{m}$ of vector-valued sequences. In this section we only discuss real-valued sequences.
Sequences can be added
$$
\left(a_{n}\right){n \geq 1}+\left(b{n}\right){n \geq 1}=\left(a{n}+b_{n}\right){n \geq 1} $$ and multiplied by a scalar factor $$ \lambda\left(a{n}\right){n \geq 1}=\left(\lambda a{n}\right){n \geq 1} . $$ These operations are performed componentwise and endow the set of all real-valued sequences with the structure of a vector space. The graph of a sequence is visualised by plotting the points $\left(n, a{n}\right), n=1,2,3, \ldots$ in a coordinate system, see Fig. $5.1$.
Experiment 5.2 The M-file mat05_1a.m offers the possibility to study various examples of sequences which are increasing/decreasing, bounded/unbounded, oscillating, convergent. For a better visualisation the discrete points of the graph of the sequence are often connected by line segments (exclusively for graphical purpose)this is implemented in the M-file mat05_1b. m. Open the applet Sequences and use it to illustrate the sequences given in the M-file mat05_1a.m.
Sequences can either be defined explicitly by a formula, for instance
$$
a_{n}=2^{n},
$$
or recursively by giving a starting value and a rule how to calculate a term from the preceding one,
$$
a_{1}=1, \quad a_{n+1}=2 a_{n} .
$$
The recursion can also involve several previous terms at a time.
计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|The Completeness of the Set of Real Numbers
As remarked in the introduction to this chapter, the completeness of the set of real numbers is one of the pillars of real analysis. The property of completeness can be expressed in different ways. We will use a simple formulation which is particularly helpful in many applications.
Proposition $5.10$ (Completeness of the set of real numbers) Each monotonically increasing sequence of real numbers that is bounded from above has a limit (in $\mathbb{R}$ ).
Proof Let $\left(a_{n}\right){n \geq 1}$ be a monotonically increasing, bounded sequence. First we prove the theorem in the case that all terms $a{n}$ are non-negative. We write the terms as decimal numbers
$$
a_{n}=A^{(n)} \cdot \alpha_{1}^{(n)} \alpha_{2}^{(n)} \alpha_{3}^{(n)} \ldots
$$
with $A^{(n)} \in \mathbb{N}{0}, \alpha{j}^{(n)} \in{0,1, \ldots, 9}$. By assumption there is a bound $T \geq 0$ so that $a_{n} \leq T$ for all $n$. Therefore, also $A^{(n)} \leq T$ for all $n$. But the sequence $\left(A^{(n)}\right){n \geq 1}$ is a monotonically increasing, bounded sequence of integers and therefore must eventually reach its least upper bound $A$ (and stay there). In other words, there exists $n{0} \in \mathbb{N}$ such that
$$
A^{(n)}=A \quad \text { for all } n \geq n_{0} .
$$
Thus we have found the integer part of the limit $a$ to be constructed:
$$
a=A . \ldots
$$
Let now $\alpha_{1} \in{0, \ldots, 9}$ be the least upper bound for $\alpha_{1}^{(n)}$. As the sequence is monotonically increasing there is again an $n_{1} \in \mathbb{N}$ with
$$
\alpha_{1}^{(n)}=\alpha_{1} \text { for all } n \geq n_{1}
$$
and consequently
$$
a=A \cdot \alpha_{1} \ldots
$$
Let now $\alpha_{2} \in{0, \ldots, 9}$ be the least upper bound for $\alpha_{2}^{(n)}$. There is an $n_{2} \in \mathbb{N}$ with
$$
\alpha_{2}^{(n)}=\alpha_{2} \text { for all } n \geq n_{2}
$$
and consequently
$$
a=A \cdot \alpha_{1} \alpha_{2} \ldots
$$
Successively one defines a real number
$$
a=A \cdot \alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} \alpha_{4} \ldots
$$
in that way. It remains to show that $a=\lim {n \rightarrow \infty} a{n}$. Let $\varepsilon>0$. We first choose $j \in \mathbb{N}$ so that $10^{-j}<\varepsilon$. For $n \geq n_{j}$
$$
a-a_{n}=0.000 \ldots 0 \alpha_{j+1}^{(n)} \alpha_{j+2}^{(n)} \ldots,
$$
since the first $j$ digits after the decimal point in $a$ coincide with those of $a_{n}$ provided $n \geq n_{j}$. Therefore,
$$
\left|a-a_{n}\right| \leq 10^{-j}<\varepsilon \text { for } n \geq n_{j} .
$$
计算方法代写
计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|The Notion of an Infinite Sequence
定义5.1让 $X$ 成为一个集合。一个 (无限) 序列, 其值为 $X$ 是来自的映射 $\mathbb{N}$ 至 $X$.
因此每个自然数 $n$ (索引) 映射到一个元素 $a_{n}$ 的 $X$ (这 $n$ 序列的第一项)。我们通过使用符号来表达这一点
$$
\left(a_{n}\right) n \geq 1=\left(a 1, a_{2}, a_{3}, \ldots\right) .
$$
如果是 $X=\mathbb{R}$ 有人谈到实值序列, 如果 $X=\mathbb{C}$ 筫值序列的, 如果 $X=\mathbb{R}^{m}$ 向量值序列。在本节中, 我们 只讨论实值序列。 可以添加序列
$$
\left(a_{n}\right) n \geq 1+(b n) n \geq 1=\left(a n+b_{n}\right) n \geq 1
$$
并乘以一个标量因子
$$
\lambda(a n) n \geq 1=(\lambda a n) n \geq 1 .
$$
这些操作是按分量执行的, 并苻予所有实值序列的集合以向量空间的结构。通过绘制点来可视化序列图 $(n, a n), n=1,2,3, \ldots$ 在坐标系中, 见图。5.1.
实验 $5.2 \mathrm{M}$ 文件 mat05_1a.m 提供了研究递增/递减、有界/无界、振荡、收敛的各种序列示例的可能性。 为了更好地可视化, 序列图的离散点通常由线段连接 (专门用于图形目的), 这在 M 文件 mat05_1b 中实 现。米。打开小程序序列并使用它来说明 $M$ 文件 mat05_1a.m 中给出的序列。
例如，序列可以通过公式明确定义
$$
a_{n}=2^{n},
$$
或者递归地给出一个起始值和一个如何从前一个计算术语的规则,
$$
a_{1}=1, \quad a_{n+1}=2 a_{n} .
$$
递归还可以一次涉及多个先前的项。
计算机代写|计算方法代写 ALGORITHMIC METHODS代写|The Completeness of the Set of Real Numbers
正如本章导言所述, 实数集的完备性是实数分析的支柱之一。完整性属性可以用不同的方式表示。我们将使 用一个在许多应用中特别有用的简单公式。
主张 $5.10$ (实数集的完备性) 从上面有界的每个单调递增的实数序列都有一个极限 (在 $\mathbb{R})$ 。 证明让 $\left(a_{n}\right) n \geq 1$ 是一个单调递增的有界序列。首先我们在所有项的情况下证明定理 $a n$ 是非负的。我们将 术语写为十进制数
$$
a_{n}=A^{(n)} \cdot \alpha_{1}^{(n)} \alpha_{2}^{(n)} \alpha_{3}^{(n)} \cdots
$$
和 $A^{(n)} \in \mathbb{N} 0, \alpha j^{(n)} \in 0,1, \ldots, 9$. 假设有一个界限 $T \geq 0$ 以便 $a_{n} \leq T$ 对所有人 $n$. 因此, 也 $A^{(n)} \leq T$ 对所有人 $n$. 但是顺序 $\left(A^{(n)}\right) n \geq 1$ 是一个单调递增的有界整数序列, 因此必须最终达到其最小上界 $A$ (并 留在那里)。换句话说, 存在 $n 0 \in \mathbb{N}$ 这样
$$
A^{(n)}=A \quad \text { for all } n \geq n_{0} .
$$
因此我们找到了极限的整数部分 $a$ 待建:
$$
a=A \ldots
$$
现在让 $\alpha_{1} \in 0, \ldots, 9$ 是最小的上限 $\alpha_{1}^{(n)}$. 随着序列单调递增, 再次出现 $n_{1} \in \mathbb{N}$ 和
$$
\alpha_{1}^{(n)}=\alpha_{1} \text { for all } n \geq n_{1}
$$
因此
$$
a=A \cdot \alpha_{1} \ldots
$$
现在让 $\alpha_{2} \in 0, \ldots, 9$ 是最小的上限 $\alpha_{2}^{(n)}$. 有一个 $n_{2} \in \mathbb{N}$ 和
$$
\alpha_{2}^{(n)}=\alpha_{2} \text { for all } n \geq n_{2}
$$
因此
$$
a=A \cdot \alpha_{1} \alpha_{2} \ldots
$$
连续一个定义一个实数
$$
a=A \cdot \alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} \alpha_{4} \ldots
$$
以这种方式。仍有待证明 $a=\lim n \rightarrow \infty a n$. 让 $\varepsilon>0$. 我们首先选择 $j \in \mathbb{N}$ 以便 $10^{-j}<\varepsilon$. 为了 $n \geq n_{j}$
$$
a-a_{n}=0.000 \ldots 0 \alpha_{j+1}^{(n)} \alpha_{j+2}^{(n)} \ldots
$$
自从第一次 $j$ 小数点后的数字 $a$ 与那些不谋而合 $a_{n}$ 假如 $n \geq n_{j}$. 所以,
$$
\left|a-a_{n}\right| \leq 10^{-j}<\varepsilon \text { for } n \geq n_{j} .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。